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高三数学第一轮复习专题 平面与平面垂直的题型
第一部分 基础知识
一、二面角：
1。半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，每一部分都叫做半平面。
2。二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。
棱为，面为为二面角记作：。
3。二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线OA、OB，叫做二面角的平面角。
二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的度数等于其平面角的度数。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
规律：几何法寻找二面角平面角的方法：
寻找棱的垂面。
面面垂直的判定定理：
面面垂直定义：两平面相交，若它们所成的二面角是直二面角，则称这两个平面垂直。
1.面面垂直判定定理：若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
证明：设，在内过B作
又 为二面角的平面角
又
2.推论：若一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。（小题中使用）
∥
证明：过作平面交平面于直线。
∥ ∥
又
又 。
三、面面垂直的性质定理：
1.面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
三个核心条件：
证明：在内过B作，则为二面角的平面角
又
第二部分 面面垂直的基本题型
题型一：证明两平面垂直
规律：证明两平面垂直，关键是要在一个平面中找到另一平面的垂线。
例1.在几何体中，四边形ABCD为矩形，，，求证：。
证明：
又
。
例2.在长方体中，，E是的中点，F是CE的中点。（1）求证：EA∥平面BDF；（2）求证：。
分析：可以看出，要证，只需证：。
（2）证明：
。
例3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，，，，且.
(1)求证：；
(2)若，，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.
【分析】
由已知，根据条件先推导，然后再根据，，结合，使用线面垂直的判定定理证明平面，然后再使用面面垂直的判定定理证明面面垂直即可；
规律总结：欲证面面垂直，先证线面垂直，即先在一个平面中找出另一平面的垂线，这一步需要眼光，多做题可以训练出眼光。
证明：
，，，
又，，，，
又平面，平面，，
又，平面，平面，
而平面，平面平面.
例4．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，且∠BAP =∠CDP =90°．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA⊥PD，PA = PD = 2，AB = 4，求三棱锥的体积．
【分析】
（1）证平面，由面面垂直的判定定理可得到证明；
证明：（1）
∵，∴，，
∵，∴，又∵，平面PAD，平面，
∴平面，∵AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
例5．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，，F分别是棱的中点，二面角为.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【分析】
作出辅助线，由余弦定理求出PB，从而由勾股定理逆定理得到线线垂直，从而证明线面垂直，得到面面垂直；
证明：(1)
连接PE，BE，
为AD中点，PE⊥AD，
，E为AD中点，BE⊥AD，
，AD⊥平面PBE，
平面PBE，AD⊥PB，
，E为AD中点，
，由勾股定理得：，
，由勾股定理逆定理可得：，
，
BE⊥AD，PE⊥AD，即为二面角的平面角，
=.
在三角形PEB中，由余弦定理得：，，
，，
，平面ABCD，
平面PBC，平面PBC⊥平面ABCD
例6．如图，在水平放置的直角梯形中，.以所在直线为轴，将向上旋转角得到，其中.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面的夹角余弦值不超过，求的范围.
【解析】
（1）首先利用线面垂直的判定定理证明平面，又由可证平面，再根据面面垂直的判定定理可证平面平面；
（1）证明：由题意，，且平面，平面；
又，平面，
而平面，平面平面；
例7．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，M为BC中点，且．
(1)求证：平面平面PMD；
(2)若平面平面ABCD，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
【解析】
结合已知条件及线面垂直的判定定理证明平面PDM，再由面面垂直的判定定理即可证明；
(1)证明：
在菱形ABCD中，，．
，为的中点，．
，平面PMD．
又平面DMC，平面平面PMD．
例8．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，，求二面角的余弦值．
【解析】
（1）易得，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
(1)证明：是圆的直径，，
又平面，平面，，
，且，平面，平面，
又平面，
平面平面；
题型二：面面垂直性质定理的应用。
规律：凡是已知条件中有面面垂直的，都要用到面面垂直的性质定理。注意：面面垂直性质定理有三个核心条件，缺一不可！
关键：找出两平面的交线，并在两平面中找出垂直于交线的垂线。
例1。如图，在四棱锥中，，
∥，为等边三角形，已知，（1）设M为PC上一点，证明：。（2）求四棱锥体积。
分析：要证，因为上动点，故只需证即可。而条件中的是一定要用上的，其交线为，故只需证即可。
（1）证明：
又
。
(2)取AD的中点O，连接PO，作于H
为等边三角形，O为AD中点
又
又
。
例2．如图，在四棱锥中，，平面平面ABCD．
(1)证明：平面ABCD；
(2)AD与平面PBD所成角的正弦值为，求三棱锥的表面积．
【解析】
（1）取AD中点为Q，由题意可得，，又平面平面，可得平面，，由线面垂直的判断定理即可证明；
(1)证明：取AD中点为Q，
在四棱锥中，，
，且，四边形为平行四边形，
，
，
又平面平面，平面平面，
平面，，
又，，
平面ABCD；
例3．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，为的中点．
(1)证明：；
(2)若面积为，求点到面的距离．
【解析】
【分析】
由平面平面，根据面面垂直性质定理证明平面，由此证明，
(1)证明：
在等边三角形中，为的中点，，
又∵ 平面平面，平面面，平面，∴平面，
∵平面， ∴ ；
例4．如图，在三棱锥中，平面平面平面.
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的大小.
【解析】
【分析】
（1）作于，先证平面，得，又，即可证得平面；
(1)证明：
作于，
平面平面，平面平面，平面，则平面，
又平面，则，
又平面，平面，则，又平面，，则平面；
例5．如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是的菱形，，平面PAD垂直于底面ABCD，G为AD边的中点. 求证：
(1)平面PAD；
(2)若，求多面体PABCD的体积.
【解析】
【分析】
（1）利用面面得到平面；
(1)证明：
四边形是的菱形，
∴为等边三角形，又为的中点，∴，
又∵平面平面，平面，平面平面，
∴平面；
例6．如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)点E在棱上，若，二面角的大小为，求实数的值．
【解析】
根据题意可得，结合面面垂直的性质定理可证平面；
(1)证明：
在中，，O为的中点，．
又平面平面，平面平面，
平面，平面．
例7．如图，在四棱锥中，面平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，满足，，点G在线段PC上，且.
(1)求证：；
(2)求证：PA平面BDG.
【解析】
（1）由结合面面垂直的性质证得面PCD，即可证得；
(1)证明：
由，可得，
又面平面ABCD，面平面ABCD，
平面，面，
又面，；

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