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《函数概念与性质》复习课(解析版）
【知识点梳理】
函数的概念：
1、函数的概念： ，映射的概念：
2、函数的三要素：定义域 ，值域 ，对应法则
3、分段函数：
4、复合函数：
5、抽象函数：
二、函数的性质：
1、奇偶性：
定义 叫奇函数， 叫偶函数 如果一个函数是奇函数或函偶数，其定义域必须满足
分类 (1) (2) (3) (4)
性质 奇函数关于 对称，偶函数关于 对称
偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数
奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶 偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶； 奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇 复合函数：同奇则奇，有偶则偶
若奇函数在处有意义，则有
奇函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性 偶函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性
若是奇函数，则 若是偶函数，则
若为奇函数 若为奇函数 若为奇函数，则= 若为奇函数，则=
任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和
特殊函数
2、单调性：
定义 叫单调增函数， 叫单调减函数
证明步骤 ①在定义域上任取 x1 x2 ；② 作差 f (x1) f ( x2 ) ；③ 变形判断
性质 奇函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性 偶函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性
增＋增＝增；减＋减＝减；增－减＝增；减－增=减
判定依据 对于函数，设 若满足，则是单调 函数 若满足，则是单调 函数 若满足，则是单调 函数
复合函数 同增异减
3、对称性：
三角函数的对称性 正弦函数的对称轴： ，对称中心： 余弦函数的对称轴： ，对称中心： 正切函数的对称轴： ，对称中心：
函数自身的对称性 若，则关于 对称 若，则关于 对称 若，则关于 对称 若，则关于 对称
两个函数的对称性 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称
4、周期性：
定义 叫周期函数，周期函数的定义域要求
三角函数的周期 正弦函数： 余弦函数： 正切函数：
结论 若，则的周期为
若，则的周期为
若，则的周期为
若，则的周期为
若，则的周期为
若的图象关于直线和都对称，则的周期为
若的图象关于点和点都对称，则的周期为
若的图象关于和直线都对称，则函数的周期为
5、零点：
定义 函数的零点
二分法 通过每次把的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法
零点定理 若 f (m) f (n) 0 ，则方程 f (x) 0 在区间(m, n) 内至少有一个实根
6、最值：
（一）求函数最值的常用方法：
利用基本初等函数的值域：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；
（2）配方法：主要用于二次函数求最值；
（3）换元法：无理函数，复合函数等，包括三角换元，注意新变量的取值范围；
（4）数形结合法：利用函数图像求最值，或根据几何意义（斜率、距离等）；；
（5）单调性法：结合函数单调性求最值；
（6）不等式法：利用常见的基本不等式，注意一正二定三相等；
（7）分离常数法：分式函数；
（8）判别式法：定义域为R有二次项的分式方程；
（9）转化法：利用某些式子的有界性进行转且化求最值；
（10）导数法：复杂时甚至要二次求导；
（11）其他法：包括向量法、构造法、平方法等
（二）恒成立问题：
（1）若成立，则
（2）若成立，则
三、函数的图像：
函数图像的几种常见变换：
（1）平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对而言）；
上下平移----“上加下减”(注意是针对而言).
（2）翻折变换：； .
（3）伸缩变换（）： ；
（4）对称变换：
函数的图像与的图像关于 对称；
函数的图像与函数的图像关于 对称；
函数的图像与函数的图像关于 对称；
函数的图像与它的反函数的图像关于 对称；
若函数满足，则的图像关于 对称；
对于两个函数,，则它们图像关于直线对称
【典例分析】
一、单选题：
1．（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.故选：D.
2．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
3．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
多选题：
5．（2021·河北衡水中学高三模拟）是定义在区间上的奇函数，其图像如图所示．令，则下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A．若，则函数的图象关于原点对称
B．若，则方程有大于2的实根
C．若，则方程有两个实根
D．若，则方程有三个实根
【答案】BD
【分析】根据函数图像及函数性质，数形结合，对选项一一分析即可.
【详解】当时，关于原点对称，根据图像平移知关于点对称，A错误；
时，方程，，由的图像知，在上有一个交点，故B正确；
时，，若使方程由两个根，由图知，必有，其他的非零a值均不满足，故C错误；
时，，由图知有三个交点，故D正确；故选：BD.
【点睛】将方程转化为，即变成图像交点问题，由数形结合求得结果.
6．（2021·山东省高三模拟）已知偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为奇函数 D．函数为偶函数
【答案】BC
【解析】对于选项,∵函数为偶函数，∴．
∵，∴，
则，即，∴，
故函数是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确；
对于选项,令，则．
在中，将换为，得，
∴，∴，
则函数为奇函数，所以选项C正确．
对于选项,由题意不妨取满足条件的函数，
则为奇函数，所以选项D错误．故选：BC.
7．（2021·全国·模拟预测）已知函数，则和满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】直接代入计算即可判断A；判断的单调性，可得成立,计算的值可判断B；分别计算以及可判断C；直接计算可判断D.
【详解】解:选项A:.故A正确;
选项B:为增函数，则成立，
，故B正确;
选项C: ，故C正确;
选项D:,故D错误.
故选：ABC
【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.
8．（2021·江苏苏州市·高三三模）定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（ ）
A．一次函数均为“k距周期函数” B．存在某些二次函数为“k距周期函数”
C．若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=x
D．若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]
【答案】AD
【分析】根据新定义进行证明判断A，假设二次函数是“k距周期函数”，然后由新定义推理判断B，用反例判断C，根据周期函数的定义求解判断D．
【详解】A．设一次函数为，则，其中，A正确；B．设二次函数为（），
，
若是“k距周期函数”，则，则，不满足新定义，B错误；
C．设，则是“1距周期函数”，且类周期为1，，C错；
D．设，则，即，
则，D正确．故选：AD．
【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，然后根据新定义解决问题．新定义的实质是恒成立（），因此可转化恒等式进行分析．
填空题：
9．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
10．（2021·上海市控江中学高三三模）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】先求出函数是定义在上的解析式，再分别讨论与在大于0和小于0时列出不等式，最后求并集.
【详解】由于函数是定义在上的奇函数，且当时，，
当时，，，此时，. 又，
综上所述，.
①当时，由，得，解得，此时，；
②当时，即当时，
由得，整理得，解得，此时；
③当由得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为 .故答案为：.
【点睛】解决本题类型的问题关键在于由已知奇函数部分解析式求定义域上奇函数解析式，并分段讨论求不等式解集.
11．（2021·上海市建平中学高三三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致.
【详解】在上单调递增，
在单调递减，则，即，
同时 需满足，即，解得，
综上可知故答案为：
【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题.
12．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是______.
【答案】
【分析】由题意，可知为方程的解的个数，判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数即可求解．
【详解】解：设，则方程有个根，即有个根，
，
所以在上单调递增，在，上单调递减，且，
当时，，
设，令得，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
作出与的大致函数图象，如图所示：
由图象可知的交点个数可能为1，2，3，4，
又，所以的值为2，3，4．
解答题：
13．（2021·广东省高三专题练习）已知函数.
（1）若函数的定义域为，求实数a的取值范围；
（2）若对于任意，恒有，求实数a的取值范围
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）函数的定义域为转化为恒成立问题，利用判别式，求出a的范围；
（2）用分离参数法，把求a的范围转化为恒成立问题，求最值.
【详解】（1）因为函数的定义域为.
所以恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围为.
（2）若对于任意，恒有，则对于任意，恒有成立，
即对于恒成立，记，，则只需.
当时，，所以，
所以，所以，所以实数的取值范围是.
【点睛】求参数范围的方法:（1）不分离常数，转化为不等式，解不等式即可；（2）分离参数法.
14．（2021·铅山县第一中学高一模拟）已知函数满足对一切都有，且，当时有．
（1）求的值；（2）判断并证明函数在R上的单调性；
（3）解不等式：．
【答案】（1）；（2）在R上是减函数；证明见解析；（3），或．
【分析】（1）先令求得，再令可求；
（2）利用定义，任取，化简判断的正负可得；
（3）设，可将不等式化为，解得，再利用单调性求解.
【详解】解：（1）令，得，则，
再令，得，即，从而．
（2）任取，
．
，即．在R上是减函数．
（3）由条件知，，
设，则，即，
整理，得，解得，
而，不等式即为，
又因为在R上是减函数，，即，
，从而所求不等式的解集为或．
【点睛】解决本题的关键是设，将不等式转化为，解得，利用单调性求解.
15．（2021·浙江高一期末）已知函数（1）若，求在上的最小值；（2）若，试讨论函数在上的单调性．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）当时，将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得在上的最小值；（2）任取、且，作差，通过通分、因式分解，然后分、两种情况讨论的符号，由此可得出结论.
【详解】（1）当时，且时，，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，当时，函数在上的最小值为；
（2）当时，，任取、且，即，
则，
①当时，因为，则，，，
所以，，即，此时，函数在上为增函数；
②当时，因为，则，，，
所以，，即，此时，函数在上为减函数.
综上所述，当时，函数在上为增函数；当时，函数在上为减函数.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值作差变形定号下结论.
16．（2021·浙江温州市·高三三模）已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数t的取值范围；
(2)当时，对任意的，恒成立，求整数n的最小值．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】(1)构造函数并求导，讨论这个函数的单调性，求出最小值为0时的x的最小值即可得解；(2)由(1)把给定恒成立的不等式等价转化为新函数不小于0恒成立，进而探讨整数n的范围即可得解.
【详解】(1)设，
令，时，时，在上递减，在上递增，所以，即，在R上递增，而，即当时，，当时，，所以实数t的取值范围是；
(2)由(1)知：当时，，当时，且为R上的奇函数，
当时，对任意的，恒成立，
只需当时，对任意的，，
即当时，对任意的，，
时，，，矛盾，即a>0，n≥0，
时，，矛盾，而，即n<1不成立，
当时，题目等价于当时，对任意的，恒成立，
①当时，显然成立，
②当时，，
③当时，，
所以时，时，对任意的，恒成立，
又时，，即时，时，对任意的，恒成立，综上，满足条件的整数，即n的最小值为1．
【点睛】根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
17．（2021·上海高三二模）设常数，函数．（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据奇函数定义可构造方程求得结果；（2）将问题转化为在上有实数解，令，可将问题进一步转化为在有实数解，通过分离变量法可得，由的值域可构造不等式求得的范围.
【详解】（1）由题意知：函数的定义域为，
是奇函数，，即，
即，整理可得：，对任意都成立，
，解得：．
（2）将问题转化为在区间上有实数解，
即关于的方程在区间上有实数解．
设，，，
则原问题等价于关于的方程（*）在区间上有实数解．
当时，方程（*）不成立，，
则方程（*）可化为：，
即函数与函数的图象有公共点．
函数为增函数，则该函数的值域为，
，解得：，即实数取值范围为.
18．（2021·湖南长沙一中高三月考）已知函数，.
（1）当 时， 若函数 存在零点，求实数的取值范围并讨论零点个数；
（2）当时，若对任意的， 总存在， 使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1），要使得在上有零点，判断的单调性可得
即可求的取值范围及零点个数（2）先由二次函数的性质求出，讨论和时的范围，根据题意得出两个集合的包含关系，列不等式组即可求解.
【详解】（1）令，则，
因为函数的对称轴为，所以在上单调递减，
要使得在有零点，则即，所以，
所以实数的取值范围为，由可得，所以，
当即时，有两个零点，当或时有个零点，
（2）当时，，所以在单调递减，在单调递增，
，
可得当，，记集合，由题意知：，
当时，在上是增函数，此时，
记集合
若对任意的， 总存在， 使成立，
则，所以，解得，
当时，在上是减函数，此时，
记集合
若对任意的， 总存在， 使成立，
则，所以，解得，综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．《函数概念与性质》复习课(原卷版）
【知识点梳理】
函数的概念：
1、函数的概念： ，映射的概念：
2、函数的三要素：定义域 ，值域 ，对应法则
3、分段函数：
4、复合函数：
5、抽象函数：
二、函数的性质：
1、奇偶性：
定义 叫奇函数， 叫偶函数 如果一个函数是奇函数或函偶数，其定义域必须满足
分类 (1) (2) (3) (4)
性质 奇函数关于 对称，偶函数关于 对称
奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶 偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶； 奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇 复合函数：
若奇函数在处有意义，则有
奇函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性 偶函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性
若是奇函数，则 若是偶函数，则
若为奇函数 若为奇函数 若为奇函数，则= 若为奇函数，则=
任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和
特殊函数
2、单调性：
定义 叫单调增函数， 叫单调减函数
证明步骤 ①在定义域上任取 x1 x2 ；② 作差 f (x1) f ( x2 ) ；③ 变形判断
性质 奇函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性 偶函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性
增＋增＝增；减＋减＝减；增－减＝增；减－增=减
判定依据 对于函数，设 若满足，则是单调 函数 若满足，则是单调 函数 若满足，则是单调 函数
复合函数
3、对称性：
三角函数的对称性 正弦函数的对称轴： ，对称中心： 余弦函数的对称轴： ，对称中心： 正切函数的对称轴： ，对称中心：
函数自身的对称性 若，则关于 对称 若，则关于 对称 若，则关于 对称 若，则关于 对称
两个函数的对称性 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称
4、周期性：
定义 叫周期函数，周期函数的定义域要求
三角函数的周期 正弦函数： 余弦函数： 正切函数：
结论 若，则的周期为
若，则的周期为
若，则的周期为
若，则的周期为
若，则的周期为
若的图象关于直线和都对称，则的周期为
若的图象关于点和点都对称，则的周期为
若的图象关于和直线都对称，则函数的周期为
5、零点：
定义 函数的零点
二分法 通过每次把的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法
零点定理 若 f (m) f (n) 0 ，则方程 f (x) 0 在区间(m, n) 内至少有一个实根
6、最值：
（一）求函数最值的常用方法：
利用基本初等函数的值域：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；
（2）配方法：主要用于二次函数求最值；
（3）换元法：无理函数，复合函数等，包括三角换元，注意新变量的取值范围；
（4）数形结合法：利用函数图像求最值，或根据几何意义（斜率、距离等）；；
（5）单调性法：结合函数单调性求最值；
（6）不等式法：利用常见的基本不等式，注意一正二定三相等；
（7）分离常数法：分式函数；
（8）判别式法：定义域为R有二次项的分式方程；
（9）转化法：利用某些式子的有界性进行转且化求最值；
（10）导数法：复杂时甚至要二次求导；
（11）其他法：包括向量法、构造法、平方法等
（二）恒成立问题：
（1）若成立，则
（2）若成立，则
三、函数的图像：
函数图像的几种常见变换：
（1）平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对而言）；
上下平移----“上加下减”(注意是针对而言).
（2）翻折变换：； .
（3）伸缩变换（）： ；
（4）对称变换：
函数的图像与的图像关于 对称；
函数的图像与函数的图像关于 对称；
函数的图像与函数的图像关于 对称；
函数的图像与它的反函数的图像关于 对称；
若函数满足，则的图像关于 对称；
对于两个函数,，则它们图像关于直线对称
【典例分析】
一、单选题：
1．（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
多选题：
5．（2021·河北衡水中学高三模拟）是定义在区间上的奇函数，其图像如图所示．令，则下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A．若，则函数的图象关于原点对称
B．若，则方程有大于2的实根
C．若，则方程有两个实根
D．若，则方程有三个实根
6．（2021·山东省高三模拟）已知偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为奇函数 D．函数为偶函数
7．（2021·全国·模拟预测）已知函数，则和满足（ ）
A． B．
8．（2021·江苏苏州市·高三三模）定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（ ）
A．一次函数均为“k距周期函数” B．存在某些二次函数为“k距周期函数”
C．若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=x
D．若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]
填空题：
9．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
10．（2021·上海市控江中学高三三模）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______.
11．（2021·上海市建平中学高三三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______.
12．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是______.
解答题：
13．（2021·广东省高三专题练习）已知函数.
（1）若函数的定义域为，求实数a的取值范围；
（2）若对于任意，恒有，求实数a的取值范围
14．（2021·铅山县第一中学高一模拟）已知函数满足对一切都有，且，当时有．
（1）求的值；（2）判断并证明函数在R上的单调性；
（3）解不等式：．
15．（2021·浙江高一期末）已知函数（1）若，求在上的最小值；（2）若，试讨论函数在上的单调性．
16．（2021·浙江温州市·高三三模）已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数t的取值范围；
(2)当时，对任意的，恒成立，求整数n的最小值．
17.（2021·上海高三二模)设常数，函数．（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．
18．（2021·湖南长沙一中高三月考）已知函数，.
（1）当 时， 若函数 存在零点，求实数的取值范围并讨论零点个数；
（2）当时，若对任意的， 总存在， 使成立，求实数的取值范围.

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