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7.3万有引力理论的成就
三、宇宙速度
1．三种宇宙速度比较
宇宙速度 数值(km/s) 意义
第一宇宙速度 7.9 地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是最小发射速度(最大环绕速度)
第二宇宙速度 11.2 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(脱离速度)
第三宇宙速度 16.7 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度(逃逸速度)
2．第一宇宙速度的计算方法
(1)由G＝m得v＝。
(2)由mg＝m得v＝。
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。
3．估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由G＝mg，得天体质量M＝。
②天体密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由G＝mr，得M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
一、单选题
1．我国发射的“嫦娥一号”卫星经过多次变轨后，最终成功进入环月工作轨道。如图所示，卫星既可以在离月球比较近的圆轨道a上运动，也可以在离月球比较远的圆轨道b上运动。卫星在两个轨道上的运动均可视为匀速圆周运动，已知引力常量为G。若已知“嫦娥一号”的轨道半径r和在此轨道上运行的周期T，则可计算出月球的质量M，下列表达式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．卫星绕某一行星的运动轨道可近似看成是圆轨道，观察发现每经过时间t，卫星运动所通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ。已知引力常量为G，由此可计算该行星的质量为（　　）
A． B．
C． D．
3．已知值，下列哪组数据不能计算出地球的质量（　　）
A．已知地球的半径和地球表面的重力加速度
B．已知卫星围绕地球运动的轨的半径和周期
C．已知卫星围绕地球运动的轨的半径和线速度
D．已知卫星围绕地球运动的周期和卫星质量
4．2021年2月10日，我国首次火星探测任务“天问一号”火星探测器实施近火捕获制动，开启了环绕火星之旅。假设天问一号探测器在绕火星做圆周运动时距火星表面高为h，绕行的周期为；火星绕太阳公转的周期为，公转半径为R。太阳半径为，火星半径为。若忽略其他星球对天问一号探测器的影响，则火星与太阳质量之比为（　　）
A． B． C． D．
5．2020年10月26日，“遥感三十号”07组卫星在西昌卫星发射中心成功发射。若该卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度大小v，地球半径为R，引力常量为G，则地球的平均密度为（　　）
A． B． C． D．
6．2020年11月嫦娥5号进行了环月球表面飞行，已知嫦娥5号紧贴月球表面飞行一圈所需时间为T，引力常量为G，则可求出的数据是（　　）
A．月球质量 B．月球半径
C．月球密度 D．嫦娥5号的质量
7．2021年5月15日，天问一号成功着陆于火星乌托邦平原，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功，之后祝融号火星车将开展巡视探测。若经探测，火星的自转周期为T，火星车在赤道处的重力为，在极地处的重力为，已知万有引力常量为G，火星可视为球体。则火星的平均密度可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
8．关于行星运动的规律，下列说法符合史实和事实的是（　　）
A．开普勒在大量数据的研究基础上，推导出了行星运动的规律
B．牛顿通过扭秤实验结合“理想模型”物理思想测得引力常量G
C．天王星是亚当斯和开普勒共同研究推算出来的，后人称其为“笔尖下发现的行星”
D．在地球表面可以发射一颗卫星，绕地球运行周期小于84分钟
9．根据中国航天局官方消息，如图所示的中国火星探测器“天问一号”已于2021年春节期间抵达火星轨道，随后将择机着陆火星，并对火星进行科学探测。已知火星直径为地球直径的P倍，火星质量为地球质量的K倍，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则“天问一号”在对火星做近距离观测而绕火星做匀速圆周运动时的速率约为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
10．下列说法正确的是（　　）
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C．天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．以上说法都不对
11．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转的速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动，由此能得到半径为R,密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T，下列表达式正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，实现了人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G。嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的（ ）
A．线速度为 B．角速度为
C．周期为2π D．向心加速度为
三、解答题
13．已知月球的质量为M1，半径为R，则月球表面的落体加速度是多少？月球绕地球转动的周期是T，轨道半径为r，写出地球质量M2的表达式。（引力常量为G）
14．宇航员在一星球表面上的h高处，以初速度竖直向上抛出一小球，经过时间t小球落到星球表面。已知该星球的半径为R，万有引力常数为G，不计星球表面上的气体阻力，则该星球表面的重力加速度和质量分别为多大？
15．2019年5月17日23时48分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，成功发射了第四十五颗北斗导航卫星。假设该卫星在距离地球表面高为h处绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，地球的体积为，忽略地球自转。求：
(1)地球的平均密度ρ；
(2)该人造卫星绕地球运动的周期T。
参考答案：
1．A
【解析】
【详解】
“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，已知“嫦娥一号”的轨道半径r和在此轨道上运行的周期T，则
解得：月球的质量
故A项正确，BCD三项错误。
故选A。
2．B
【解析】
【详解】
设卫星的质量为m，卫星做匀速圆周运动的轨道半径为r，由万有引力提供向心力，则有
其中
联立可得
故B正确，ACD错误。
故选B。
3．D
【解析】
【分析】
【详解】
A．已知地球的半径和地球表面的重力加速度，由黄金代换公式可得
得
故已知地球的半径和地球表面的重力加速度，能计算出地球的质量，A不符合题意；
BD．已知卫星围绕地球运动的轨道的半径和周期，由公式
得
故已知卫星围绕地球运动的轨的半径和周期，能计算出地球的质量，B不符合题意；已知卫星围绕地球运动的周期和卫星质量，不能计算出地球的质量，故D符合题意；
C．已知卫星围绕地球运动的轨道的半径和线速度，由公式
得
故已知卫星围绕地球运动的轨的半径和线速度，能计算出地球的质量，C不符合题意；
故选D。
4．D
【解析】
【分析】
【详解】
由牛顿第二定律得
万有引力定律公式为
火星绕太阳公转时由万有引力提供向心力，故有
同理，天问一号探测器绕火星运动时有
联立解得
故D正确。
故选D。
5．A
【解析】
【详解】
由
可得地球的密度
故选A。
6．C
【解析】
【分析】
【详解】
对嫦娥5号有
解得
月球的密度为
故选C。
7．B
【解析】
【分析】
【详解】
火星车在极地处的重力
在赤道处
火星的平均密度
联立解得
故选B。
8．A
【解析】
【详解】
A． 开普勒在大量数据的研究基础上，推导出了行星运动的规律，故A正确；
B． 卡文迪许通过扭秤实验结合“理想模型”物理思想测得引力常量G，故B错误；
C． 英国的亚当斯和法国的勒维耶独立地利用万有引力定律计算出了海王星的轨道，人们称海王星为“笔尖下发现的行星”，故C错误；
D． 由地球的万有引力提供向心力得：周期，如果轨道半径取地球半径，可以得出卫星做圆周运动的最小周期为84min，故D错误。
故选A。
9．A
【解析】
【分析】
【详解】
设地球的质量为M，根据“黄金代换”公式GM=R2g可得：
所以火星的质量为
M火=
火星半径为PR，根据
解得
故选A。
10．AC
【解析】
【详解】
海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远镜观察发现的；由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行星，进而发现了海王星。故AC正确，BD错误。
故选AC。
11．BC
【解析】
【详解】
AB.当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即
解得：
①
故B正确，A错误；
CD. 星球的质量
代入①式可得：
故C正确，D错误．
12．BC
【解析】
【详解】
A．根据万有引力提供向心力，有
G=m
得线速度
v=
故A错误；
B．根据万有引力提供向心力，有
G=mω2r
得角速度
ω=
故B正确；
C．根据万有引力提供向心力，有
G=mr
得周期
T=2π
故C正确；
D．根据万有引力提供向心力，有
G=ma
得向心加速度
a=
故D错误。
故选BC。
13．，
【解析】
【详解】
设月球表面的落体加速度为g，月球表面质量为m的物体所受重力等于万有引力，则有
解得
月球绕地球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得
解得
14．；
【解析】
【详解】
设该星球表面的重力加速度为g，依题意有
解得
根据星球表面物体重力等于万有引力
解得
15．(1)；(2)
【解析】
【详解】
(1)地球表面附近有
解得
又
，
所以有
(2)根据万有引力提供向心力有
解得
又
所以

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