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21.恒成立问题
一、参变分离法的适用范围
判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两个原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式由于两个字母的关系式过于“紧密”,会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，.
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则无法用参变分离法解决问题.
二、参变分离后会出现的情况及处理方法
假设为自变量，其范围为，为函数；为参数，为其表达式.
1．若的值域为：
（1），，则只需要.
，，则只需要.
（2），，则只需要.
，，则只需要.
（3），，则只需要.
，，则只需要.
（4），，则只需要.
，，则只需要.
2．若的值域为：
（1），，则只需要.
，，则只需要.
（2），，则只需要.
，，则只需要.
（3），，则只需要.
，，则只需要.
（4），，则只需要.
，，则只需要.
例1．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】恒成立的不等式为，其中，所以只需要.
令，则（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定的符号，先验边界值）.,，所以在上单调递减，因此在上单调递减.因此，因此.
例2．已知函数，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】由原不等式得.令，则.
令，则，所以当时，，即在单调递增，
因此，.所以当时
因此在上单调递增，在上最小值为
因此，即实数的取值范围是.
例3．已知函数, 对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 .
【答案】
【解析】先将放置不等号一侧，可得，所以
先求出的最大值.
可得在上单调递增，在上单调递减.故
所以若原不等式恒成立，只需.
不等式中含，可以考虑再进行一次参变分离，
则只需.
因此，所以，解得.
一、函数的不等关系与图像特征
（1）若，均有的图像始终在的下方.
（2）均有的图像始终在的上方.
二、什么情况下会考虑到数形结合？
利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：
（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图.
（2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义.
（3）题目中所给的条件大都能在图像上体现.
例1．已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，
可转化为存在唯一的整数，使得.因为
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
因为当时，，，所以.
又因为存在唯一的整数，使得，由图知
所以，即，解得.又因为，所以.故选D.
例2．函数(为常数，是自然对数的底数).
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.
【解析】（1）由知
=().
当时，，.令，则.
所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增.即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)由（1）知，当时，在上单调递减，故在内不存在极值点.
当时，设函数，，因此.
当时，时，，函数单调递增，
故在内不存在两个极值点.
当时，
函数在上存在两个极值点.
当且仅当时，解得，
综上可知，函数在上存在两个极值点时，的取值范围为.
技巧与方法
1.最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前先做好以下准备工作：
(1)观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）.
(2)缩小参数与自变量的范围，通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析），观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围.
2.首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂，不易分析其单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，在想办法解决其符号.
3.在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.
例1．已知函数，若对所有的都有成立，求实数的取值范围．
【解析】令，则．
令，解得．
①当时，对所有，所以在上是增函数，又因为，所以对，都有，即当时，对于所有，都有．
②当时，对于，所以在上是减函数
又因为，所以对都有
即当时，不是对所有的，都有成立．
综上可知，实数的取值范围是．
例2．已知函数对任意的，均有，求实数的范围．
【解析】由知（不易直接求出单调性，但是发现其中，且再求一次导，其导函数容易分析单调性，进而可解）．
所以，令，即，下面进行分类讨论:
①当时，，所以单调递增．所以，所以单调递增，所以满足条件．
②当时，（可正可负，而，所以讨论的符号）．
当时，恒成立，即恒大于零，则单调递增．所以，即单调递增，所以满足条件．
当，则时，，即在上单调递减，所以，所以在上单调递减， ，不符合题意，舍去．
综上可知，．
评注
解决此题，体会三点：
①单调性与零点是如何配合来确定的符号的；
②每一步的目的性很强，的作用就是以符号确定的单调性，所以解题时就关注的符号而符号的确定同样要靠二阶导数与一阶导函数的零点配合来得到；
③的零点是同一个，进而引发连锁反应．
例3．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：当时， ；
（3）设实数使得对恒成立，求的最大值．
（1）【解析】由已知得． 所以，所以曲线在点处的切线方程为．
（2）【证明】设，所以
，所以时，恒成立，即在上单调递增所以，即不等式．
【解析】设， 则
．
当时，由（2）可知不等式恒成立；当时，令，即，解得． 所以在上单调递减，在上单调递增．
所以与恒成立不等式矛盾，所以的最大值为．
方法四：放缩
1.不等式放缩
例6.已知函数（，为自然对数的底数），.
（1）若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
练习1. 已知函数.
当时，求函数的单调区间；
若，求的取值范围.
练习2.已知函数. 若，求的取值范围.
练习3．已知函数.
（1）求函数的极值;
（2）当时,若恒成立,求实数的取值范围.
练习4. 已知函数.
（1）当时，证明：;
（2）若对于定义域内任意，恒成立，求的范围.
已知参数范围进行局部放缩（加必要性探路）
例6：已知函数.
设是的极值点，求，并讨论的单调性；
当时，证明
练习．已知函数．
（1）设是的极值点，求的值；
（2）证明；当时，．
方法五：凸凹反转
例7.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：.
练习.（2020成都三诊理）已知函数.
当时，求的单调区间；
当时，证明：.
练习：设函数，曲线在点处的切线为．
（1）求；
（2）证明：．

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