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2023届高三一轮复习 恒成立问题
一．恒成立问题——参变分离法
一、基础知识：
1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：，等
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
③，则只需要
，则只需要
④，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。
二、典型例题：
例1：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_______
例2：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________
例3：若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是 ．
例4：设函数，对任意的恒成立，则实数的取值范围是________________
例5：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．
例6：设正数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
例7：已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围
例8：若不等式对任意正数恒成立，则正数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
例9：已知函数 ，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
例10：已知函数,若,且 对任意恒成立,则的最大值为_________.
二．恒成立问题——数形结合法
一、基础知识：
1、函数的不等关系与图像特征：
（1）若，均有的图像始终在的下方
（2）若，均有的图像始终在的上方
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数
3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：
（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图
（2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义
（3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征
二、典型例题：
例1：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________
例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________
例3：若不等式对任意恒成立，求的取值范围
例4：若,不等式恒成立,则的取值范围是______
例5：已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_____________
例6：已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_____________
例7：已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________
例8：设，若时均有，则_________
例9：已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
例10：已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，若，则实数的取值范围是_____________
三．恒成立问题——最值分析法
最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功。是导数中的难点问题。
一、基础知识：
1、最值法的特点：
（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参
（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论
2、理论基础：设的定义域为
（1）若，均有（其中为常数），则
（2）若，均有（其中为常数），则
3、技巧与方法：
（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：
① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）
② 缩小参数与自变量的范围：
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）
观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围
（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号。
（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。
二、典型例题：
例1：设，当时，恒成立，求的取值范围
例2：已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________
例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围
例4： 已知，若对任意的，均有，求的取值范围
例5： 已知函数对任意的，均有，求实数的范围
例6：已知函数，
（1）求函数的单调区间
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围
例7：已知函数，曲线在点处的切线方程为。其中为自然对数的底数
（1）求的值
（2）如果当时，恒成立，求实数的取值范围
例8： 设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.
（1）求函数，的解析式；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
例9：设函数
（1）若为的极值点，求实数
（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.注：为自然对数的底数
三、近年模拟题题目精选（三类方法综合）
1、已知定义域为的奇函数，当时，，且对，恒有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2、已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4、设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5、设函数其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6、已知定义在上的函数满足：
①
② 对所有的，且，有
若对所有的，恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7、已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8、已知函数，在区间内任取两个不相等的实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9已知，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______
10、已知不等式对一切恒成立，则的取值范围是_____
11、若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是___________
12、已知不等式组的解集是关于的不等式解集的一个子集，则实数的取值范围是_______
13、若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_________
14、已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是___________
15、已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为_______
16、关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______
17已知函数，，若，则实数的取值范围是
18、已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_______
19、已知，若恒成立，则实数的取值范围是________
20、若不等式对满足的一切实数恒成立，则实数的取值范围是________
21、已知，函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)是否存在实数,使得恒成立？若存在,求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．
22、已知函数，其中
（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围
23、已知函数。
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数，讨论函数的单调性；
（3）若（2）中函数有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围。
24、设函数，其中
（1)讨论函数极值点的个数，并说明理由
（2）若成立，求的取值范围
25、设函数
（1）证明：在单调递减，在单调递增
（2）若对于任意，都有，求的取值范围
26、已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程
（2）求证：当时，
（3）设实数使得对恒成立，求的最大值
27、已知函数，是自然对数的底数
（1）当时，求函数的单调区间
（2）① 若存在实数，满足，求实数的取值范围
② 若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围

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