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第5讲 三角函数图像与性质
一、思维导图：
请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：
二、知识梳理：
1. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
定义域 R R ________
值域 ________ ________ R
周期性 ________ ________ ________
奇偶性 ________ ________ 奇函数
单调增区间 ________ ________ ________
单调减区间 ________ ________ 无
对称中心 ________ ________
对称轴方程 ________ ________ 无
答案：　[－1,1]　[－1,1]　2π　2π　π　奇函数　偶函数　　[2kπ－π，2kπ]　　　[2kπ，2kπ＋π]　(kπ，0)　　x＝kπ＋　x＝kπ
例1．（2019.全国理（新课标Ⅱ））下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
【答案】A
【解析】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．
2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1) y＝Asin(ωx＋φ)表示一个振动量的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0, x∈R) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
例2．（2021.全国新高考Ⅰ）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.故选：A.
例3．（2019.全国文（新课标Ⅱ））若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题意知，的周期，得．故选A．
例4． （2021.全国乙（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．
例5．三角函数解析式
（1）.（2021.全国甲（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【答案】
【解析】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
(2).(2020.新高考1)下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而.故选：BC.
例6．问题
（1）.（2022·全国甲（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．故选：C．
（2）．（2012.全国理（课标卷））已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得,，
，
，．故A正确．
（3）．（2019.全国理（新课标Ⅲ））设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，
∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，
∵，故③正确．故选D．
例7.三角函数最值问题
（1）．（2014.全国理（全国Ⅱ卷））函数的最大值为_________.
【答案】1
【解析】由题意知：=
==
==，即，因为，所以的最大值为1.
（2）．（2017.全国理（新课标2卷））函数（）的最大值是__________．
【答案】1
【解析】化简三角函数的解析式，
可得
，由，可得，当时，函数取得最大值1．
（3）．（2018.全国理（新课标I卷））已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.
(2)用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
(3)函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤如下:
例8.（2022·浙江卷） 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.
例9．（2021.全国乙（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.故选：B.
例10．（2016.全国）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的周期为，
将函数的图象向右平移个周期即个单位，
所得图象对应的函数为，故选D.
三、巩固练习：
1.（2022·全国甲（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.
2.（2022·全国乙（文）） 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D
3.（2022·新高考Ⅰ） 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.故选：A
4.（2022·北京卷） 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 在上单调递增
【答案】C
【解析】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
5.（2022·新高考Ⅱ）函数的图象以中心对称，则（ ）
A. 在单调递减
B. 在有2个极值点
C. 直线是一条对称轴
D. 直线是一条切线
【答案】AD
【解析】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
6．（2020.全国文（新课标Ⅰ））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为.故选：C
7．（2020.全国文（新课标Ⅲ））已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对.故选：D
8．（2019.全国理（新课标Ⅰ））关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
9．（2019.全国文（新课标Ⅱ））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
10．（2019.全国文（新课标Ⅲ））函数在的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由，
得或，，
．
在的零点个数是3，故选B．
11．（2018.全国理（全国卷II））若在是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解析：因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，选A.
12．（2018.全国卷Ⅲ（文））函数的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：由已知得
的最小正周期故选C.
13．（2017.全国）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【解析】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选D．
14．（2016.全国文（新课标2卷））函数的部分图象如图所示，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.
14．（2016.全国）函数的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】：因为，而，所以当时，取得最大值5，选B.
15．（2015.全国理（新课标Ⅰ））函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
16．（2012.全国文（课标卷））已知ω>0，，直线和是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为和是函数图象中相邻的对称轴，所以，即.又，所以，所以，因为是函数的对称轴所以，所以，因为，所以，检验知此时也为对称轴，所以选A.
17．（2020.全国理（新课标Ⅲ））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
18．（2019.全国文（新课标Ⅰ））函数的最小值为___________．
【答案】.
【解析】，
，当时，，
故函数的最小值为．
19．（2018.全国卷Ⅲ理）函数在的零点个数为________．
【答案】
【解析】：
由题可知，或
解得,或
故有3个零点．
20．（2014.全国）函数的图象可由函数的图象至少向右平移_____个单位长度得到．
【答案】
【解析】：,故应至少向右平移
21.（2022·全国乙（理）） 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
22.（2022·北京卷） 若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【解析】∵，∴
∴
故答案为：1，
23．（2021.全国甲（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【解析】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.第5讲 三角函数图像与性质
一、思维导图：
请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：
二、知识梳理：
1. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
定义域 R R ________
值域 ________ ________ R
周期性 ________ ________ ________
奇偶性 ________ ________ 奇函数
单调增区间 ________ ________ ________
单调减区间 ________ ________ 无
对称中心 ________ ________
对称轴方程 ________ ________ 无
例1．（2019.全国理（新课标Ⅱ））下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1) y＝Asin(ωx＋φ)表示一个振动量的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0, x∈R) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
例2．（2021.全国新高考Ⅰ）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2019.全国文（新课标Ⅱ））若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）
A．2 B． C．1 D．
例4． （2021.全国乙（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
例5．三角函数解析式
（1）.（2021.全国甲（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
(2).(2020.新高考1)（多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A. B. C. D.
例6．问题
（1）.（2022·全国甲（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2）．（2012.全国理（课标卷））已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（3）．（2019.全国理（新课标Ⅲ））设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
例7.三角函数最值问题
（1）．（2014.全国理（全国Ⅱ卷））函数的最大值为_________.
（2）．（2017.全国理（新课标2卷））函数（）的最大值是__________．
（3）．（2018.全国理（新课标I卷））已知函数，则的最小值是_____________．
(2)用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
(3)函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤如下:
例8.（2022·浙江卷） 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
例9．（2021.全国乙（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
例10．（2016.全国）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B． C． D．
三、巩固练习：
1.（2022·全国甲（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
2.（2022·全国乙（文）） 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
3.（2022·新高考Ⅰ） 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
4.（2022·北京卷） 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 在上单调递增
5.（2022·新高考Ⅱ）（多选）函数的图象以中心对称，则（ ）
A. 在单调递减
B. 在有2个极值点
C. 直线是一条对称轴
D. 直线是一条切线
6．（2020.全国文（新课标Ⅰ））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020.全国文（新课标Ⅲ））已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称
8．（2019.全国理（新课标Ⅰ））关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
9．（2019.全国文（新课标Ⅱ））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
10．（2019.全国文（新课标Ⅲ））函数在的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2018.全国理（全国卷II））若在是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2018.全国卷Ⅲ（文））函数的最小正周期为
A． B． C． D．
13．（2017.全国）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
14．（2016.全国文（新课标2卷））函数的部分图象如图所示，则
A． B．
C． D．
14．（2016.全国）函数的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
15．（2015.全国理（新课标Ⅰ））函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
A． B．
C． D．
16．（2012.全国文（课标卷））已知ω>0，，直线和是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=
A． B． C． D．
17．（2020.全国理（新课标Ⅲ））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
18．（2019.全国文（新课标Ⅰ））函数的最小值为___________．
19．（2018.全国卷Ⅲ理）函数在的零点个数为________．
20．（2014.全国）函数的图象可由函数的图象至少向右平移_____个单位长度得到．
21.（2022·全国乙（理）） 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
22.（2022·北京卷） 若函数的一个零点为，则________；________．
23．（2021.全国甲（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

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