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集合创新题
【导语】
由八省联考开幕的新高考打破了原来数学命题的固有模式，各种知识点都可能成为压轴题、各题的难度也不一定由易到难。因此为了应对2023届高考，集合相关较难题也需要掌握与见识，以免高考时自乱阵脚。
本专题主要包括以下几类问题：
集合的个数问题、集合的商余关系、集合的新定义问题。
【技巧点拨】
解决集合的个数问题时，要抓住相关数字特征，还要记住相关知识点。例如：一个有n个元素的集合，有2n个子集（由排列组合而来，对于一个元素在与不在都有两种可能），有2n-1个非空子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集，还要掌握排列组合的相关解法。
解决集合的商余问题时，如果没有特别好的办法，建议将各自集合写出几项来观察，进而得出答案。
解决集合的新定义问题时，要注意理解题目中的概念，再运用。
【对点训练】
第一部分：集合个数问题
1．满足的集合共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．已知非空集合、满足以下两个条件：（1），；（2）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素.则有序集合对的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1），；（2）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．对于非空数集，其所有元素的算术平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①；②．则称为的一个“保均值子集”．据此，集合的“保均值子集”有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．集合，是的一个子集，当时，若有，且，则称为的一个“孤立元素”，那么中无“孤立元素”的非空子集有（ ）个．
A．16 B．20 C．24 D．28
6．若对任意的，则，就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为___________.
7．若，且，，则称为集合的孤立元素那么，集合的无孤立元素的四元子集有______个
8．设集合B是集合An＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为An的“和谐子集”．求：
（1）集合A1的“和谐子集”的个数；
（2）集合An的“和谐子集”的个数．
第二部分：集合的商余关系
1．集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，则
A． B． C． D．
3．集合与集合的关系为
A． B． C． D．
4．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，，则集合的大小关系是（ ）
A． B．C C． D．A
第三部分：集合的新定义问题
1．非空集合具有下列性质：
①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
2．已知非空集合，设集合，.分别用、、表示集合、、中元素的个数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则可能为18 D．若，则不可能为19
3．已知非空集合M满足，若存在非负整数k（），使得对任意，均有，则称集合M具有性质P，则具有性质P的集合M的个数为______________.
4．设集合，选择A的两个非空子集B和C，要使C中最小的数大于B中的最大数，则不同的选择方法有________；
5．设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.
（1）若集合，求集合的“耦合集”；
（2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；
（3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.
【参考答案】
第一部分：集合的个数问题
1．B
【详解】由题意知或或或，共个，故选B．
2．C
【详解】由题意可知，集合不能是空集，也不可能为.
若集合只有一个元素，则集合为；
若集合有两个元素，则集合为、、；
若集合有三个元素，则集合为、、；
若集合有四个元素，则集合为.
综上所述，有序集合对的个数为.
3．B
【详解】中元素个数不能为0，否则有4个元素，不合题意，
中元素个数不能为2，否则中有一个含有元素2，且集合中元素个数为2，不合题意，
中元素个数只能是1或3，因此有或．共2对．
4．D
【详解】
解：非空数集，2，3，4，中，所有元素的算术平均数，
集合的“保均值子集”有：，，，，，，1，，，2，，，5，2，，，2，3，4，共7个；
5．B
【详解】
解：∵集合，是的一个子集，当时，若有，且，则称为的一个“孤立元素”，
∴单元素集合都含孤立元素，
中无“孤立元素”的2个元素的子集为，共5个；
中无“孤立元素”的3个元素的子集为，共4个；
中无“孤立元素”的4个元素的子集为，共6个；
中无“孤立元素”的5个元素的子集为，共4个；
中无“孤立元素”的6个元素的子集为，共1个；
∴中无“孤立元素”的非空子集有20个，
6．15
【详解】
由题意可知：，，，满足，将和看成一个元素，
所以的所有非空子集中“具有伙伴关系”的集合：
即为，，，四个“大元素”所构成的集合的非空子集，
所以“具有伙伴关系”的集合的个数为，
7．21
【详解】
考虑满足题意的某个集合中最小的元素与最大的元素，
设此集合为则，，否则，或为孤立元素），
于是，，
而，则、的选法共有种故集合的无孤立元素的四元子集有21个.
8．（1）4；（2）.
【详解】
解：（1）由题意有：A1＝，
则集合A1的“和谐子集”为：共4个，
故答案为：4；
（2）记An的“和谐子集”的个数等于an，即An有an个所有元素的和为3的整数倍的子集，
另记An有bn个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有个所有元素的和为3的整数倍余2的子集
易知：a1＝4，b1＝2，＝2，
集合An+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）
①集合集合An＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共an个，
②仅含一个元素的“和谐子集”共an个，
同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共an个，
同时含三个元素的“和谐子集”共an个，
③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共cn个，
同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共cn个，
④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共bn个，
同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共bn个，
所以集合An+1的“和谐子集”共有an+1＝4an+2bn+2cn，
同理：bn+1＝4bn+2an+2cn，cn+1＝4cn+2an+2cn，
所以，所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，
求得：an＝bn+2n，
同理an＝cn+2n，
又an+bn+cn＝23n，
解得：
故答案为：
第二部分：集合的商余关系
1．C
【详解】
，
表示整数，表示奇数，故，
故A错误，B错误，C正确，而中的元素有分数，故D错误.
2．D
【详解】
对于M，当n=2k，k∈Z时，
x=4k-1∈M，x=4k-1∈N，
当n=2k-1，k∈Z时，
x=4k-3∈M，x=4k-3N，
∴集合M、N的关系为N M．
3．B
【详解】
集合M中的任意元素都有，由题意可知为奇数
由于集合N中的任意元素都有
所以
4．B
【详解】
,
5．A
【详解】
由题得，
，
.
所以.
第三部分：集合的新定义问题
1．C
【详解】由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误.
2．D
【详解】
已知，.
又、、表示集合、、中元素的个数，将问题转化为排列组合问题，
对于AB，，，，则，故B正确；
但若考虑重复情况，即由相邻元素构成，例，则，，即，故A正确；
对于CD，，，，则，故D错误；
但若考虑重复情况，即由相邻元素构成，例，则，，即，故可能为18，故C正确；
3．8
【详解】
当时，为.
当时，为
当时，为
当时，为.
所以满足条件的集合有8个.
4．
【详解】
由题意得：
当集合中的最大元素为时，满足题意的集合共有1个，对应的集合共有个，即满足题意的共有个；
当集合中的最大元素为时，满足题意的集合共有个，对应的集合共有个，即满足题意的共有个；
当集合中的最大元素为时，满足题意的集合共有个，对应的集合共有个，即满足题意的共有个；
当集合中的最大元素为时，满足题意的集合共有个，对应的集合共有个，即满足题意的共有个；
当集合中的最大元素为时，满足题意的集合共有个，对应的集合共有个，即满足题意的共有个；
综上：满足题意的不同的选择方法有：
，
故答案为：.
5．（1）；（2）证明见详解；（3）5个
【详解】
解：（1）由已知条件②得的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以；
（2）证明：因为，由已知条件②得的可能元素为：，由条件③可知得，同理得，所以对于任意，有；
（3）因为，由（2）知得即，同理，所以，又因为的可能元素为：，所以共5个元素.
【真题练习】
1．（2012课标，理1）．已知集合={1，2，3，4，5}，={(，)|∈，∈，∈}，则中所含元素的个数为（ ）
．3 ．6 ．8 ．10
【答案】D．
【解析】={（2，1），(3，1)，(4，1)，（5，1），（3，2），(4，2)，（5，2），（4，3），（5，3），（5，4）}，含10个元素，故选D．
2．【2015湖北】已知集合，
，定义集合，则中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C
【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合
的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
3．【2013广东，理8】设整数，集合，令集合，且三条件恰有一个成立，若和都在中，则下列选项正确的是
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】特殊值法，不妨令，，则，
，故选B．
如果利用直接法：因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，．综合上述四种情况，可得，．
4．【2012福建，文12】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={丨∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：
①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数，属于同一“类”的充要条件是“∈[0]”．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①2011=2010+1=402×5+1∈[1]，正确；由-3=-5+2∈[2]可知②不正确；根据题意信息可知③正确；若整数，属于同一类，不妨设，∈[k]={丨n∈Z}，则=5n+k，=5m+k，n，m为整数，=5(n-m)+0∈[0]正确，故①③④正确，答案应选C．
5．【2013海南，文15】对于E={}的子集X={}，定义X的“特征数列”为，其中 ，其余项均为0，例如子集{}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0
子集{}的“特征数列”的前三项和等于 ；
若E的子集P的“特征数列” 满足，，1≤≤99；
E 的子集Q的“特征数列” 满足，，1≤≤98，则P∩Q的元素个数为_________．
【解析】 (1) 子集{}的特征数列为：1，0，1，0，1，0，0，0……0．所以前3项和等于1+0+1=2．
(2)∵E的子集P的“特征数列” 满足，，1≤≤99；
∴P的“特征数列”：1，0，1，0 … 1，0． 所以P = ．
∵E 的子集Q的“特征数列” 满足，，1≤≤98，，可知：j=1时，=1，∵，∴==0；同理=1==…=．Q的“特征数列”：1，0，0，1，0，0 …1，0，0，1．所以Q = ．
∴ ，∵97=1+（17-1）×6，∴共有17个相同的元素．
7．【2018北京，理20】设为正整数，集合
．对于集合中的任意
和，记
．
(1)当时，若，，求和的值；
(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
(3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．
【解析】
(1)因为，，所以
，
．
(2)设，则．
由题意知，，，∈{0，1}，且为奇数，
所以，，，中1的个数为1或3．
所以B{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．
将上述集合中的元素分成如下四组：
（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．
经验证，对于每组中两个元素，，均有．
所以每组中的两个元素不可能同时是集合的元素．
所以集合中元素的个数不超过4．
又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件，
所以集合中元素个数的最大值为4．
(3)设，
，则．
对于（）中的不同元素，，经验证，．
所以（）中的两个元素不可能同时是集合的元素．
所以中元素的个数不超过．
取且（）．
令，则集合的元素个数为，且满足条件．
故是一个满足条件且元素个数最多的集合．

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