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三角恒等变换
【导语】
一些考生在考试时，往往会因不明白方法盲目地做，进而导致浪费了大量时间，甚至还没有做出来。本专题就致力于解决此问题。
【知识点讲解与技巧点拨】
做此类题型的关键是化为：一角一名一次（即化成只有一个角度、一个三角名称、一个次数，这三个“一”）
其基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。
公式复习
1.和角与差角公式
; ;
. (平方正弦公式);
.
=
(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
2.二倍角公式
. ..
3.倍角公式
sin2=2sin·cos cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2
4.半角公式
，
=
5.升幂公式
1+cos= 1-cos=
1±sin=()2 1=sin2+ cos2 sin=
6.降幂公式
sin2 cos2
sin2+ cos2=1 sin·cos=
7.积化和差公式
sin·cos=[sin(+)+sin(-)]
cos·sin=[sin(+)-sin(-)]
cos·cos=[cos(+)+cos(-)]
sin·sin= -[cos(+)-cos(-)]
8.和差化积公式
sin+sin= sin-sin=
cos+cos= cos-cos= -
tan+ cot= tan- cot= -2cot2
1+cos= 1-cos= 1±sin=()2
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
【对点训练】
一、单选题
1． 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．对任意，，恒有，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．______.
4．已知，且，则的值是___________.
三、解答题
5．在锐角中，已知，求的取值范围.
6．求下列各式的值：
（1）已知，求的值；
（2）求的值；
7．已知，，且，，求的值.
8．已知，，且，求、的值.
9．已知，，求的值．
10．已知，求的值．
【参考答案】
1．A .
2．B 解：由方程组，解得，．
．
3．1
4．
【详解】解：因为，且，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
5．. 因为，
所以.即，因为，所以，
所以，从而.
因为是锐角三角形，，解得，
则，于是，
所以，即.
6．（1）； ；（2） ．
【详解】（1），
．
（2．
7．
【详解】因为，所以，
所以，因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，所以.
8．
【详解】对 进行变形整理得，
，
即，上式可看作的一元二次方程，此方程有实根，，得，
但，∴，∵，，∴，
故，即，将代入，解得，
故.
9．
【详解】，则有①，
又已知，从而有②．
联立①②可得，．∴．
10．【详解】由得，，
，两式相除得，
则
【拔高训练】
一、填空题
1．求值：__________.
2．下列四个关系式中错误的个数__________.
①；②；③；④.
3．_________．
4．已知，则_________．
5．由，则______．
6．若，则__________．
7．若，则的值为________.
8．已知则______
9．的值为________．
10．___________．
11．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________.
12．______．
13．已知中，则则最小值是___
14．若平面向量，满足，，则的取值范围为___________.
15．（1） 计算：________；
（2）化简：________.
三、解答题
16．求下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
17.化简：（1）；（2）
【参考答案】
1．
【详解】解：
．
2．3个【提示】使用和差化积公式
3．【提示】使用和差化积公式
4．
,.
5．
【详解】由可得
.
6．
【详解】解：由得，
得，，
7．【提示】使用万能公式.
8．或
由得：或；
，
当时，；
当时，.综上所述：或.
9．2
【详解】原式
10．
【详解】
11．
【详解】因为，由正弦定理可得，
又，可得，可得，因为，可得，
可得，
可得，
因为，可得，可得，
可得.
12．
【详解】解：
．
13．
【详解】因为，所以，
所以,又
所以,所以.
因为中，,所以
所以,所以,
所以，
因为，所以为锐角.因为，所以，
所以.
当且仅当时等号成立.
14．
【详解】解：因为，，，
即，设，C为OA的中点，则，
∴B点轨迹是以AC为直径的圆，
设∠ACB＝α，则，
，
令，则，设，
则，令，可得，
故当时，，当时，，
所以当时，取得极大值也是最大值又，
故的取值范围为.
15．
【详解】（1）；
（2）.
16．（1）；（2）；（3）；（4）0.
【详解】（1）．
（2）．
（3）
．
（4）
．
17．（1）1（2）1
（1）原式====1
（2）原式====1

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