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第2讲 复数
一、思维导图：
请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：
二、知识梳理：
1.基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫做复数，记作.
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。是的共轭复数.
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.
2.复数运算
（1）
（2）
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律.结合律.分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
注意：, ，
3.复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
三、高考试题：
1.（2022·新高考Ⅰ）2. 若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】由题设有，故，故，
故选：D
2.（2022·新高考Ⅱ）（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，故选：D.
3. （2022·全国甲（理））若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4.（2022·全国甲（文）） 若．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，所以．故选：D.
5.（2022·全国乙（文））设，其中为实数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为R，，所以，解得：．
故选：A.
6.（2022·全国乙（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
由,得,即，故选:
7.（2022·北京） 若复数z满足，则（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
【答案】B
【解析】由题意有，故．
故选：B．
8.（2022·浙江）已知（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，而为实数，故，故选：B.
9．（2021.新高考Ⅰ）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故，
故选：C.
10．（2021.新高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】，
在复平面内，复数对应的点的坐标为，，位于第一象限．故选：．
11．（2021.全国乙（文））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：.故选：C.
12．（2021.全国乙（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，则，
所以，，解得，因此，.故选：C.
13．（2021.全国甲（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，.
故选：B.
14. （2020.新高考Ⅰ）（ ）
A. 1 B. 1 C. i D. i
【答案】D
【解析】，故选：D
15．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】因为，所以 ．故选：C．
16．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】由题意可得：，则.
故.故选：D.
17．（2020.全国（文科）（新课标Ⅱ））（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
【答案】A
【解析】.故选：A.
18．（2020.全国（文科）（新课标Ⅲ））若，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
【答案】D
【解析】因为，所以.故选：D
19．（2020.全国（理科）（新课标Ⅲ））复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以复数的虚部为.
故选：D.第2讲 复数
一、思维导图：
请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：
二、知识梳理：
1.基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫做 ，记作.
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的 ， 叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫 ，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。是的 .
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.
2.复数运算
（1）
（2）
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律.结合律.分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
注意：, ，
3.复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
三、高考试题：
1.（2022·新高考Ⅰ）2. 若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
2.（2022·新高考Ⅱ）（ ）
A. B. C. D.
3. （2022·全国甲（理））若，则（ ）
A. B. C. D.
4.（2022·全国甲（文）） 若．则（ ）
A. B. C. D.
5.（2022·全国乙（文））设，其中为实数，则（ ）
A. B. C. D.
6.（2022·全国乙（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A. B. C. D.
7.（2022·北京） 若复数z满足，则（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
8.（2022·浙江）已知（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
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9．（2021.新高考Ⅰ）已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021.新高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2021.全国乙（文））设，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2021.全国乙（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2021.全国甲（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
14. （2020.新高考Ⅰ）（ ）
A. 1 B. 1 C. i D. i
15．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
16．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
17．（2020.全国（文科）（新课标Ⅱ））（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
18．（2020.全国（文科）（新课标Ⅲ））若，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
19．（2020.全国（理科）（新课标Ⅲ））复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．

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