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数学与传统文化
【导语】
为了打破西方各国的技术封锁，国家由此发布强基计划，也因此就更加注重增强文化自信。因此从这几年的高考题看，数学与传统文化的试题越来越普遍。为此,我们在进行2023届一轮复习时要注重对传统文化的讲解。
一方面，数学与传统文化的试题本身难度不大，只是要求运用新概念的能力。但是，由于学生对文字量大的题喜欢“跳”着看，很容易遗漏关键信息。所以在一轮复习时，要加强这种试题的训练，让学生面对这种题时，更加从容。
另一方面，数学与传统文化可来自数学课本后面的阅读材料，例如2022年的浙江卷就采用了课本中秦久韶的三斜求积。因此，要加强回归教材，理解阅读材料中与传统文化联系的部分，在一轮复习中融入进去，方能更好面对下一年高考。
这类试题主要有：《九章算术》、秦久韶的三斜求积、古代传统工艺的零部件、祖暅原理、古代数学的相关简单概念......
【真题例证】
1．（2022·全国（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·新高考II卷）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
3．（2022·浙江）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
【参考答案】
1．B
【详解】解：如图，连接，因为是的中点，所以，
又，所以三点共线，即，
又，所以，
则，故，所以
2．D
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
3．.【详解】因为，所以．
【对点训练】
一、祖暅原理
1．祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与距离为的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立.据此，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．根据祖暅原理，对于3D打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积.现在要用3D打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为，随高度的变化而变化，变化的关系式为，则该零件的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.满足的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为，由曲线围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为，则________
4．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕y轴旋转一周，得到一个旋转体，如用与x轴相距为，且垂直于y轴的平面，截这个旋转体，则截面图形的面积为______；这个旋转体的体积为______．
二、秦九韶——三斜求积
1．南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2.南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”.世界各国从小学 中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理 定律和解题原则.科学史家称秦九韶：“他那个民族 他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”.在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a b c S为三角形的三边和面积）表示，在斜中，，，为内角，，所对应的三边，若，且，则的面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
3．南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”.世界各国从小学 中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理 定律和解题原则.科学史家称秦九韶：“他那个民族 他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”.在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a b c S为三角形的三边和面积）表示，现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ）
A． B． C． D．12
4．南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”.世界各国从小学 中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理 定律和解题原则.科学史家称秦九韶：“他那个民族 他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”.在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a b c S为三角形的三边和面积）表示，在中，a b C分别为角A B C所对的边，若，且，则面积的最大值为___________.
三、其他问题
1．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何 ”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）斛．
A．22 B．36 C．46 D．66
3．刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆困，径二寸，高二寸．又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方益”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等
A． B． C． D．
4．《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加3颗．问：五人各得几何？”其大意为“有5人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程为（ ）
A．15里 B．12里 C．9里 D．6里
（多选）6．将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ）
A．当是偶数时，中间的一项取得最大值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．
C．
D．
（多选）7．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1═AB═2．下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥为“阳马”、四面体为“鳖膈”．
B．若平面与平面的交线为，且与的中点分别为M、N，则直线、、相交于一点．
C．四棱锥体积的最大值为．
D．若是线段上一动点，则与所成角的最大值为．
（多选）8．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则以下命题正确的是（ ）
A．与成角的余弦值为
B．，，，四点不共面
C．弧上存在一点，使得
D．以点为球心，为半径的球面与曲池上底面的交线长为
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________．
10．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”. “天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙寅、丙戌、…、癸已；…；共得到60个组合，称为六十甲子，周而复始，无穷无尽.干支纪年在我国历史学中广泛使用，特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干支纪年表示.例如甲午战争 戊戌变法 辛亥革命等等.1911年的辛亥革命推翻了统治中国两千多年的封建君主专制制度，建立了中国历史上第一个资产阶级共和政府，使民主共和的观念开始深入人心；1949年中华人民共和国的成立开辟了中国历史的新纪元，从此，中国结束了一百多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家，中国人民从此站起来了，成为国家的主人. 1911年是“干支纪年法”中的辛亥年，1949年是“干支纪年法”中的己丑年，那么2072年是“干支纪年法”中的______年.
【参考答案】
一、祖暅原理
1．A
【详解】由题意可知，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积为：
2．C
【详解】由祖眶原理，该零件在高为的水平截面的面积为.
而恰好与一个半径为2的半球在高为的水平截面面积一致，
所以该零件的体积等于该半球的体积：
3．
【详解】
如图，
当双曲线方程为，高度为时，双曲线与渐近线旋转一周所形成的图形是圆环，
其中小圆环的半径即，则小圆面积为，大圆半径为，则，
解得，所以大圆的面积为，
故圆环的面积为，为定值，
所以由祖暅原理可知，等轴双曲线与渐近线绕轴旋转一周所形成的几何体体积与底面半径为，高为的圆柱体体积一致，而球体体积，
所以，即
4．
【详解】（1）该双曲线的渐近线为，
则直线，与渐近线交于点，，
与双曲线交于点，，
则旋转体的截面应为一个圆环，
其内径，外径，故截面积为；
同理可得，作直线，也可得截面积为；
（2）根据祖暅原理，该旋转体的体积与底面积为，
高为的圆柱的体积相等，故其体积为.
二、三斜求积
1．B
【详解】由题意得，则
，
当且仅当，即时取等号，
所以三角形面积的最大值为.
2．B
【详解】因为，所以，
即，
，
因为且，则，
所以，所以，又，即，
所以，
所以，
所以时，.此时，，
而，所以.
3．A
【详解】由题意结合正弦定理可得：，
周长为，即，
，，.
所以，
4．【详解】解：因为且，
由余弦定理得，即，即，所以，
因为
当，即时，取得最大值．
三、其他问题
1．B
【详解】
解：设圆的半径为，则，，
由勾股定理可得，即，
解得，所以，，
所以，因此.
2．A
【详解】
设底面圆弧半径为R，
∵米堆底部弧长为8尺，∴·2πR=8，∴R=.
∴体积V=π××5.
∵π≈3，∴V≈(尺3)，∴堆放的米约为≈22(斛).
3．C
【详解】
棱锥，
由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于棱锥
所以图1中几何体体积为，
所以牟合方盖体积为．
4．D
【详解】
依题意，这5人得到的橘子数按从小到大的顺序排成一列构成公差的等差数列，
而数列的前5项和，由，解得，则，
所以分得橘子最多的人所得的橘子数为18.
5．D
【详解】
由题设，每天行程是公比为的等比数列，
所以，可得，故里.
6．BC
【详解】
解：对于A，根据杨辉三角的特点，当为偶数时，中间的一项取得最大值，当为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，所以当每一项取倒数时，再乘以同一个正数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以A错误；
对于B，第行的第2个数等于第行的第一个数和第行的第一个数相乘，所以B正确；
对于C，直接根据组合数的性质得，所以，所以C正确；
对于D，开始每个数均等于其“脚下”两个数之和，即，所以D错误.
7．ABD
【详解】
堑堵ABC A1B1C1是直棱柱，平面平面，平面平面，由得，平面，所以平面，四棱锥为“阳马”，
同理平面，平面，则，与垂直易得，四面体为“鳖膈”，
A正确；
与的中点分别为M、N，则，所以共面，又，所以相交，设，则，
而平面，平面，所以是平面与平面的一个公共点，必在其交线上，B正确；
，当且仅当时，等号成立，
所以，
即四棱锥体积的最大值为，C错；
由A选项推理知平面，平面，则，当时，，平面，所以平面，
又平面，所以，此时与所成角为，是最大值．D正确．
8．AD
【详解】
圆弧的圆心的原点，CD为x轴，BA为y轴过圆心O垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系如下图：
则 ，故 ，
所以 ，A正确；
对于B，连接 ，则有则，
∴ 与BC共面，即 四点共面，故B错误；
对于C，设在圆弧 存在一点 ，使得，
则有 ， ，此方程组无解，
即E点不存在，故C错误；
对于D，做如下俯视图：
，即以C为球心，为半径的球刚好过A点是球面与底面ABCD唯一的交点，
因为，在球面上，
设与圆弧的交点为，则 ，
解得 ，故，
球面与上底面的交线是以为圆心，半径为1的圆弧 ，则，
圆心角，由图知：，得.
，故D正确；
9．
【详解】
因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，
所以，得，
所以，
因为当时，盛水筒M位于点，
所以，
所以，
因为，
所以，得，
因为，所以，
所以，
所以，
所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为，
故答案为：
10．壬辰
【详解】
依题意天干以为周期循环，地支以为周期循环，
因为1911年的天干为辛，，所以年的天干为壬，
因为1911年的地支为亥，，所以年的地支为辰，
所以2072年是“干支纪年法”中的壬辰年.
故答案为：壬辰

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