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截面问题
【方法指导】
截面问题属于立体几何的压轴问题，所以请慎重使用！！！
截面问题就是要找截点，找截点的关键在于判断确定共面，一般而言有两个办法：
①过一点做不共线的一直线的平行线。如左图中DB//EF//D1B1，那么就可以说DD1B1B共面
②可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线
最后提醒：由于这类试题存在一定难度，所以只有反复练习之后才
能领悟其中精髓。再者此类问题一旦掌握方法，可以保
证下一次也能解决，所以学习以上的方法是很有必要的。
【对点训练】
一、单选题
1．在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为
A． B．
C． D．
2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）
A．64 B．62 C．34 D．32
3．如图，正方体的棱长为2，分别为的中点，则以下说法错误的是（ ）
A．平面截正方体所的截面周长为
B．存在上一点使得平面
C．三棱锥和体积相等
D．存在上一点使得平面
4．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB＝3，BC＝4，AC＝5，CC1＝7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为（ ）
A． B． C． D．
5．已知正方体棱长为4，P是中点，过点作平面满足平面，则平面与正方体的截面周长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是（ ）A． B． C． D．
①点的轨迹长度为； ②线段的轨迹与平面的交线为圆弧；
③的最小值为；
④过、、作正方体的截面，则该截面的周长为
二、多选题
7．如图，在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，上的动点(点不与点，重合)，若，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得点到平面的距离为
B．用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
C．平面
D．用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为
8．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则以下说法正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面周长为
B．上存在点P，使得平面
C．三棱锥和体积相等
D．上存在点P，使得平面
9．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是（ ）
A．直线直线
B．过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为
C．若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为
D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是
10．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为2 B．
C．异面直线EF与所成角的余弦值为
D．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是
11．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．直线与平面所成角的正弦值最大值为
C．当平面截直四棱柱所得截面面积为时， D．四面体的体积为定值
12．已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点，点在正方体表面上运动，以下命题正确的有（ ）
A．平面截正方体所得的截面面积为
B．三棱锥内切球的半径为
C．当点在棱运动时，平面与平面所成锐二面角的余弦值可以取到
D．当点在底面上时，直线与所成角为，则动点的轨迹长度为
13．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．棱上一定存在点，使得
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．过点作正方体的截面，则截面面积为
D．设点在平面内，且平面，则与所成角的余弦值的最大值为
14．如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A．棱上存在一点M，使得//平面
B．直线到平面的距离为
C．过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D．过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
【参考答案】
1．D
【详解】如图，延长EF与A1B1的延长线相交于M，连接AM交BB1 于H，
延长FE与A1D1的延长线相交于N，连接AN交DD1 于G，
可得截面五边形AHFEG．
2．A
3．B
【详解】对于A选项，连接，，
，分别为，的中点，，
，，，四点共线，
平面截正方体所得的截面为梯形，
截面周长，则，，，，设，所以，，
若平面，则，而显然不成立，
所以与不垂直，所以上不存在点，使得平面，
对于C选项， ，，
所以成立，C正确；对于D选项，取的中点，的中点，连接，，，
且，四边形为平行四边形，，
，平面，平面，平面，点为的中点，
上存在一点使得平面，故D正确.
4．D
【详解】由AB＝3，BC＝4，AC＝5得AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC，AB⊥平面BB1C1C，
将侧面BCC1B1折叠到平面ABB1A1内，如图，
连接，与BB1 的交点即为M，由相似可得BM＝3，
设四棱锥A﹣BCC1M的体积为V1，则，
三棱柱ABC﹣A1B1C1 的体积，
∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为．
5．A
【详解】取AD的中点M，AB的中点N，连结PD，则
平面PCD，CP，又MN面，PCMN
PC面，即平面为面，
，
6．D
【详解】设的中点为，则点的轨迹是平面上以为圆心，以2为半径的圆，所以点的轨迹长度为，故①错误；连接，易知线段的轨迹是圆锥的侧面，而平面与轴不垂直，所以线段的轨迹与平面的交线不是圆弧，故②错误；
以的中点为原点，分别以水平向右、垂直平分为轴、轴建立平面直角坐标系，则所在的直线方程为，则点到直线的距离为，所以的最小值为，故③正确；如下图，过作正方体的截面，为五边形，其中为的靠近的三等分点，为的靠近的四等分点.
可计算得，
，
所以该截面的周长为
7．ABD
【详解】A．连接，如图所示：
因为，所以易知，且平面平面，又已知三棱锥各条棱长均为，所以三棱锥为正四面体，
所以到平面的距离为：，
因为平面，所以，又，且，
所以平面，又平面，所以，
同理可得，且，所以平面，
又因为，所以到平面的距离，且，故正确；
B．如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接并将其延长与相交于，
因为，且，则，所以，所以即为，连接，
所以过，，的截面为四边形，由条件可知，且，所以四边形为梯形，故正确；C．连接，由A可知平面平面，
又因为平面，平面，所以不平行于平面，
所以平面不成立，故错误；
D．在上取点，过点作交于，过作交于，以此类推，依次可得点，此时截面为六边形，
根据题意可知：平面平面，
不妨设，所以，所以，
所以六边形的周长为：，故正确；
8．ACD
【详解】对于B选项，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，所以，，
若平面，则，而显然不成立，
所以与不垂直，所以上不存在点P，使得面，
对于A选项，连接，，
∵E，F分别为，的中点，故，而，故，
∴E﹐F，，C四点共线，∴平面截正方体所得的截面为梯形，
∴截面周长，
对于C选项，连接，故，
而平面即为平面，因，故到平面的距离为到平面的距离的，而到平面为，故到平面的距离为，
故，所以成立，C正确；
对于D选项，取的中点M，的中点N，连接，，，
∵且，∴四边形为平行四边形，∴，
∴，∵平面，平面
∴平面，∴点P为的中点，∴上存在一点Р使得平面，故D正确．
9．CD
【详解】对于：，，，，平面，
平面，假设，又因为，，，平面，
所以平面，此与平面矛盾，所以直线与直线不垂直，故选项错误；
对于：如图，取，的中点，，连接，，．
因为，，由三垂线定理得，，所以平面，
所以截正方体所得的截面为，故周长为，故错误；
对于：如图取则平面与平行，过作，
因为面，面，所以，
又因为，所以面，
所以即为到直线的距离的最小值，，故正确；
对于：如图，取的中点，由证明选项B可知，面，
又面，面，所以，，
又因为在正方体中，分别为棱的中点，
所以，，所以，，
又因为，所以平面，故点轨迹为．
在正方形中，当与重合时，最大；当时，最小．
所以，因为平面，所以为与平面所成的角，，则与平面成角正切的取值范围是，故正确．
10．BD
【详解】选项A：.判断错误；
选项B：连接、.正方体中，
，则面，又平面
故.判断正确；选项C：连接.
由E，F分别为AD，AB的中点，可知.
则为异面直线EF与所成角或其补角，又由为等边三角形可知，
，则异面直线EF与所成角大小为，.判断错误；
选项D：正方体中，由E，F，G分别为AD，AB，的中点，
可知，则梯形即为过点E，F，G的正方体的截面.
梯形中，上底，下底，腰，
则梯形的高为，故.判断正确.
11．ABD
【详解】当时，P为AC的中点，连接，，则，
因为平面，所以，又，所以平面，
因为平面，所以，A正确.
因为四棱柱为直四棱柱，所以，因为平面，
平面，所以平面，则点P到平面的距离等于点A到平面的距离.
设点A到平面的距离为，由,可得,
即,又
设与交于点，连接，则，
则, ，则
所以所以
设直线BP与平面所成的角为，，因为点P到平面的距离为定值，
则,所以当BP最小，即P为AC的中点时，直线BP与平面所成的角最大，
此时，所以，所以B正确.
当时，点P为AC上靠近点C的四等分点，过点P作的平行线分别交于
连接，由，所以，又
所以等腰梯形为平面截四棱柱所得截面图形.
易知，,等腰梯形的高，所以梯形的面积为，
由几何体的对称性可知，当平面截直四棱柱所得截面面积为时，或，C错误.
由上可知，平面，所以点P到平面的距离恒为定值，
因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，D正确.
12．ACD
【详解】选项，设中点为，连接，则，所以平面截正方体所得的截面为梯形，由对称性知，梯形为等腰梯形， 过点E作，在直角三角形中，，
所以，所以，所以A正确；
选项B，在三棱锥中，
设点为中点，所以，则面，
，所以
又三棱锥表面积为
又，则，故B错误；
选项C，以点为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，
设点，则，
设平面的法向量为，所以，取，则，
所以平面的法向量为，又平面法向量为
平面与平面所成锐二面角的余弦值
又，所以选项C正确；
选项D，，所以直线与所成角，即，所以，
所以点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆上，又点在底面上，如下图所示：
所以动点的轨迹长度为，故D正确；
13．BCD
【详解】建系如图，设，其中；；，
若棱上存在点，使得，则，整理得，此方程无解，A不正确；
取的中点，则四边形是边长为的正方形，其外接圆的半径为，
又底面，所以三棱锥的外接球的半径为，
所以其表面积为，B正确；过点作正方体的截面，截面如图中六边形，
因为边长均为，且对边平行，所以六边形为正六边形，
其面积为，C正确；
设，则,；
设是平面的一个法向量，则，令可得，即；
因为平面，所以，即；
设与所成角为，则；
当时，取最小值，所以与所成角的余弦值的最大值为，D正确；
14．BCD
【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
设棱上点，，则，若//平面，则有，
解得，与矛盾，即在棱上不存在点M，使得//平面，A不正确；
连AC，矩形是正方体的对角面，有，而P，Q分别为棱AB，BC的中点，
则，又平面，平面，于是有平面，
直线到平面的距离等于点到平面的距离h，因，
则，B正确；
取AD，CD的中点E，F，连接，则，即确定一个平面，如图，
依题意，，，即四边形是平行四边形，，
平面，平面，于是得平面，
显然，平面，平面，于是得平面，
而，平面，因此，平面平面，
即梯形是过与平面平行的正方体的截面，
而，则此等腰梯形的高，
所以过与平面平行的正方体的截面面积为，C正确；
过PQ的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时，该小圆直径是直线PQ被正方体的外接球所截弦，
由对称性知线段PQ中点N是这个小圆的圆心，令正方体的外接球球心为O，连接ON，OP，
则，而，而球半径，
则这个小圆半径，此圆面积为，D正确.

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