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第4讲 三角恒等变换
一、思维导图：
请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：
二、知识梳理：
1. 角的概念的推广
(1) 定义：角可以看成平面内一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2) 分类
(3) 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
(4) 象限角的集合：
2. 弧度制的定义和公式
(1) 定义：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2) 公式：
角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式 l＝
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3. 任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．
4. 三角函数的符号规律
例1．（2020.全国理（新课标Ⅱ））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
5.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan_α．
例2．（“1”的代换）（2016.全国）若 ，则
A． B． C． D．
6.六组诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α
口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限
例3．（2019.全国文（新课标Ⅰ））tan255°=( )
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
7.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β,(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β,(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β,(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β,(S(α＋β))
tan(α－β)＝,(T(α－β))
tan(α＋β)＝,(T(α＋β))
例4．（2017.全国文（新课标1卷））已知，tanα=2，则=______________．
例5．（2018.全国文（全国卷II））已知，则__________．
8.二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α,(S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α,(C2α)
例6．（2021.全国乙（文））（ ）
A． B． C． D．
tan 2α＝．(T2α)
9.辅助角公式
角的终边过点.
例7．（2017.全国文（新课标2））函数的最大值为__________.
三、巩固练习：
1.（2022·新高考Ⅱ） 角满足，则（ ）
A. B.
C. D.
2．（2021.全国新高考Ⅰ）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021.全国甲（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2020.全国理（新课标Ⅲ））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
5．（2020.全国文（新课标Ⅲ））已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2020.全国理（新课标Ⅰ））已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2019.全国理（新课标Ⅱ））已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B． C． D．
8．（2017.全国文（新课标3））已知，则．
A． B． C． D．
9．（2016.全国理）若，则
A． B． C． D．
10．（2015.全国）若 ，则
A． B． C．1 D．
11．（2014.全国理（新课标Ⅰ））设且则（ ）
A． B． C． D．
12．（2020.全国文（新课标Ⅱ））若，则__________．
13．（2018.全国）已知，，则__________．
14．（2013.全国文（新课标1卷））设当时，函数取得最大值，则______.
15.（2022·浙江） 若，则__________，_________．第4讲 三角恒等变换
一、思维导图：
请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：
二、知识梳理：
1. 角的概念的推广
(1) 定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2) 分类正角　负角　零角
(3) 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
(4) 象限角的集合：
2. 弧度制的定义和公式
(1) 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2) 公式：
角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式 l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3. 任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．
4. 三角函数的符号规律
例1．（2020.全国理（新课标Ⅱ））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D.
5.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan_α．
例2．（“1”的代换）（2016.全国）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
分子分母同时除以，即得：.故选D.
6.六组诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α
口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限
例3．（2019.全国文（新课标Ⅰ））tan255°=( )
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【答案】D
【解析】：=
7.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β,(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β,(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β,(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β,(S(α＋β))
tan(α－β)＝,(T(α－β))
tan(α＋β)＝,(T(α＋β))
例4．（2017.全国文（新课标1卷））已知，tanα=2，则=______________．
【答案】
【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．
例5．（2018.全国文（全国卷II））已知，则__________．
【答案】.
【解析】，解方程得.
8.二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α,(S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α,(C2α)
例6．（2021.全国乙（文））（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，
.故选：D.
tan 2α＝．(T2α)
9.辅助角公式
角的终边过点.
例7．（2017.全国文（新课标2））函数的最大值为__________.
【答案】
【解析】：函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，可知函数的最大值为：．
三、巩固练习：
1.（2022·新高考Ⅱ） 角满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】,
即：，
即：,所以,
2．（2021.全国新高考Ⅰ）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．
3．（2021.全国甲（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
，，，解得，
，.
4．（2020.全国理（新课标Ⅲ））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】，，
令，则，整理得，解得，即.
5．（2020.全国文（新课标Ⅲ））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
则：，，
从而有：，即.
6．（2020.全国理（新课标Ⅰ））已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
7．（2019.全国理（新课标Ⅱ））已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，．
，又，，又，，故选B．
8．（2017.全国文（新课标3））已知，则．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.所以选A.
9．（2016.全国理）若，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】： ，
且，故选D.
10．（2015.全国）若 ，则
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】：由，得或，所以，故选A．
11．（2014.全国理（新课标Ⅰ））设且则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：由已知得，，去分母得，，所以
，又因为，，所以，即，选
12．（2020.全国文（新课标Ⅱ））若，则__________．
【答案】
【解析】.故答案为：.
13．（2018.全国）已知，，则__________．
【答案】
【解析】因为，
所以，①
因为，
所以，②
①②得，
即，解得，故本题正确答案为
14．（2013.全国文（新课标1卷））设当时，函数取得最大值，则______.
【答案】；
【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.
15.（2022·浙江） 若，则__________，_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．

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