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第3讲 平面向量
一、知识梳理：
1. 向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量，其方向是任意的 记做0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0向量与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两个向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2. 向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1) 交换律： a＋b＝b＋a； (2) 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2) 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
例1.（2022·新高考Ⅰ） 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．故选：B．
3. 共线向量定理：向量平行(共线)的充要条件：a∥b a＝λb(b≠0)．向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得_ b＝λa __．
4. 两个重要结论
(1) 若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
(2) 若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，且点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
例2．（2018.全国理（新课标I））在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
6. 平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足 a＝λ1e1＋λ2e2__，我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．
7. 向量的坐标运算
(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)_，λa＝(λx1，λy1)_，|a|＝.
例3.（2022·全国乙（文）） 已知向量，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】因为，所以.故选：D
(2) 向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝
8. 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a，b共线 _ x1y2＝x2y1__.
例4．（2021.全国乙（文））已知向量，若，则_________．
【答案】
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，得：.
9. 数量积
(1). 向量的夹角：已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，那么∠AOB称为向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是_[0，π]__．
(2). 平面向量的数量积：已知两个非零向量a，b，θ为a，b的夹角，那么数量|a||b|cosθ叫做向量a，b的数量积，记做a·b.
(3). 平面向量数量积的性质
① 若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cosθ(θ为a，e的夹角)；
② a⊥b a·b＝0；
③ 当向量a，b同向时，a·b＝|a||b|，当向量a，b反向时，a·b＝_－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2，|a|＝；
④ cosθ＝(θ为a，b的夹角)；
⑤ |a·b|≤_|a||b|__.
例5.（2022·全国乙（理）） 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】：∵，又∵
∴9，∴故选：C.
例6.（2022·全国甲（理）） 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
(4). 平面向量数量积的运算律
① 交换律：a·b＝b·a；②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
③ 对任意的λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
(5). 平面向量数量积有关性质的坐标运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(θ为a，b的夹角)，则：
① a·b＝x1x2＋y1y2_；② a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
③ |a|＝_；④ cosθ＝＝.
例7.（2022·全国甲（文）） 已知向量．若，则______________．
【答案】
【解析】由题意知：，解得.
例8．（2021.全国乙（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以由可得，
，解得．
例9．（2022·新高考Ⅱ） 已知，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】,,即,解得,故选：C
二、课后练习：
1．（2018.全国理（新课标I））在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
2．（2021 新高考Ⅱ）已知向量，，，则　　．
【解析】方法1：由得或或，
或或，
又，，，，，
，，，．
故答案为：．
方法．
故答案为：．
3．（2021.全国新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
4．（2021.全国甲（文））若向量满足，则_________.
【答案】
【解析】∵∴
∴.答案为：.
5．（2021.全国甲（理））已知向量．若，则________．
【答案】,
，解得,故答案为：.
6．（2020.全国（理科）（新课标Ⅲ））已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，.
，
因此，.故选：D.
7.(2020.北京)已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
8. (2020.江苏)在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
【答案】
【解析】∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
9.（2020.新高考1）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.
10．（2017.全国理（新课标2））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
11．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））设向量，若，则______________.
【答案】5
【解析】由可得，又因为，
所以，即，故答案为：5.
12．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））设为单位向量，且，则______________.
【答案】
【解析】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以.故答案为：
13．（2020.全国（理科）（新课标Ⅱ））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：第3讲 平面向量
一、知识梳理：
1. 向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量，其方向是任意的 记做0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0向量与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两个向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2. 向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1) 交换律： a＋b＝b＋a； (2) 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2) 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
例1.（2022·新高考Ⅰ） 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
3. 共线向量定理：向量平行(共线)的充要条件：a∥b a＝λb(b≠0)．向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得__ _．
4. 两个重要结论
(1) 若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
(2) 若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，且点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
例2．（2018.全国理（新课标I））在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
6. 平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足 ，我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．
7. 向量的坐标运算
(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝.
例3.（2022·全国乙（文）） 已知向量，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
(2) 向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝
8. 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a，b共线 .
例4．（2021.全国乙（文））已知向量，若，则_________．
9. 数量积
(1). 向量的夹角：已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，那么∠AOB称为向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是 ．
(2). 平面向量的数量积：已知两个非零向量a，b，θ为a，b的夹角，那么数量|a||b|cosθ叫做向量a，b的数量积，记做a·b.
(3). 平面向量数量积的性质
① 若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cosθ(θ为a，e的夹角)；
② a⊥b a·b＝0；
③ 当向量a，b同向时，a·b＝|a||b|，当向量a，b反向时，a·b＝ ，特别地，a·a＝|a|2，|a|＝；
④ cosθ＝(θ为a，b的夹角)；
⑤ |a·b|≤ .
例5.（2022·全国乙（理）） 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
例6.（2022·全国甲（理）） 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
(4). 平面向量数量积的运算律
① 交换律：a·b＝b·a；②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
③ 对任意的λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
(5). 平面向量数量积有关性质的坐标运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(θ为a，b的夹角)，则：
① a·b＝ ；② a⊥b ；
③ |a|＝ ；④ cosθ＝＝.
例7.（2022·全国甲（文）） 已知向量．若，则______________．
例8．（2021.全国乙（理））已知向量，若，则__________．
例9．（2022·新高考Ⅱ） 已知，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
二、课后练习：
1．（2018.全国理（新课标I））在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
2．（2021 新高考Ⅱ）已知向量，，，则　　．
3．（2021.全国新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021.全国甲（文））若向量满足，则_________.
5．（2021.全国甲（理））已知向量．若，则________．
6．（2020.全国（理科）（新课标Ⅲ））已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
7.(2020.北京)已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
8. (2020.江苏)在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
9.（2020.新高考1）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.
10．（2017.全国理（新课标2））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
11．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））设向量，若，则______________.
12．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））设为单位向量，且，则______________.
13．（2020.全国（理科）（新课标Ⅱ））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.

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