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第1讲　导数的概念及运算
考向预测 核心素养
导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型大多为选择题、填空题或解答题的第(1)问，中低档难度. 数学抽象、数学运算、直观想象
一、知识梳理
1．变化率问题
(1)变化率的概念
①定义：＝；
②作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢；
③几何意义：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图象上两点，则＝，平均变化率表示割线P1P2的斜率．
[提醒]　Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝＝.
2．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
[提醒]　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
(2)导函数
当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝.
3．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率，即
k＝＝f′(x0)．
4．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
5．导数的运算
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
(4)复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数为y′x＝y′u·u′x.
[提醒]　求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：′＝，(cos x)′＝sin x.
常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第二册P62练习T3改编)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3　　　　 B.3
C．6 D.－6
2．(人A选择性必修第二册P81习题5.2 T4(2)改编)曲线y＝xln x在点(1，0)处的切线方程为________．
3．(人A选择性必修第二册P79 例6(2)改编)y＝e－0.05x＋1的导数为________．
参考答案
1.解析：选D.由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝(－3Δt－6)＝－6.
2答案：y＝x－1
3答案：y′x＝－0.05 e－0.05x＋1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)
(4)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)
二、易错纠偏
1．(f′(x0)的意义不清致误)若f(x)＝，则f′＝________．
2．(导数运算法则运用错误)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________．
3．(不理解导数几何意义致误)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
参考答案
一、思考辨析
1答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
二、易错纠偏
1解析：f′＝
＝＝－.
答案：－
2解析：因为f′(x)＝－－2sin 2x，所以f′(0)＝－.
答案：－
3解析：设P(x0，y0)，对曲线方程求导得，y′＝－e－x，
所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
所以－x0＝ln 2，即x0＝－ln 2，
所以y0＝eln 2＝2，
所以点P的坐标为(－ln 2，2)．
答案：(－ln 2，2)
考点一　变化率问题(自主练透)
复习指导：通过函数的图象的变化趋势和运动过程理解变化率的概念，为导数的概念作铺垫．
1.
(链接常用结论3)如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是(　　)
A．[x1，x2] B.[x2，x3]
C．[x1，x3] D.[x3，x4]
2．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V＝d3，估计当d＝1 dm时，气球体积的瞬时变化率为(　　)
A．2π B.π
C. D.
3．(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　)
A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
4．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用会不断增加．已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80参考答案
1解析：选D.由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，，，结合题图可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
2解析：选C.设V＝f(d)＝d3，则f′(d)＝d2，
所以f′(1)＝，
即当d＝1 dm时，气球体积的瞬时变化率为.
故选C.
3解析：选ABD.该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，A正确；
＝＝(56＋7·Δt)＝56，B正确；
当t＝5时，s(5)＝7×52＋8＝183，C错误；
＝＝(70＋7·Δt)＝70，D正确．
故选ABD.
4解析：由题意得c′(x)＝′＝，
又因为c′(90)＝＝40.15，
所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40.15元/t.
答案：40.15
函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
平均变化率＝，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．
考点二　导数的运算(自主练透)
复习指导：1.能根据导数的定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
1．下列求导运算正确的是(　　)
A.′＝x B.(x2ex)′＝2x＋ex
C．(xcos x)′＝－sin x D.′＝1＋
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(　　)
A．2 B.4
C.6 D.8
3．(多选)下列结论中不正确的是(　　)
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2
C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x
4．已知f(x)＝sin ，则f′(x)＝________．
参考答案
1解析：选D.因为′＝－；　
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，
(xcos x)′＝cos x－xsin x，
′＝1＋，故D正确．
2解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，
令x＝2，得f′(2)＝－12.
再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.
3解析：选ACD.对于A，y′＝sin，故错误；
对于B，y′＝2xcos x2，故正确；
对于C，y′＝－5sin 5x，故错误；
对于D，y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误．
故选ACD.
4解析：因为f(x)＝sin＝－sin x，
所以f′(x)＝′
＝－cos x.
答案：－cos x
对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
考点三　导数的几何意义及应用(多维探究)
复习指导：了解导数的几何意义，知道函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率，能通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
角度1　求切线方程
(1)已知函数f(x)＝(2x－a)ex，且f′(1)＝3e，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为(　　)
A．x－y＋1＝0　　 B.x－y－1＝0
C．x－3y＋1＝0 D.x＋3y＋1＝0
(2)(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
【解析】　(1)因为f′(x)＝2ex＋(2x－a)ex
＝(2x＋2－a)ex，
所以f′(1)＝(4－a)e＝3e，
解得a＝1，
即f(x)＝(2x－1)ex，f(0)＝－1，
则f′(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＋1＝1×(x－0)，
即x－y－1＝0.
(2)设切点坐标为(x0，y0)，y0＝ln x0＋x0＋1，y′＝＋1，
所以y′|x＝x0＝＋1＝2，解得x0＝1，y0＝2，
所以切点坐标为(1，2)，
所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即y＝2x.
【答案】　(1)B　(2)y＝2x
角度2　求参数值(范围)
(1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B.(－∞，2)
C．(2，＋∞) D.(0，＋∞)
(2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．
【解析】　(1)由题意得f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．
所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，
则a＝2－.
因为x>0，所以2－<2，
所以a的取值范围是(－∞，2)．
(2)设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．
则切线方程分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，
y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，
化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，
依题意得
解得x1＝，
从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
【答案】　(1)B　(2)1－ln 2
导数几何意义的应用要点
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．
(3)函数图象在每一点处的切线斜率反映函数图象在相应点处的变化情况．
|跟踪训练|
1．(多选)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于y＝2x－1，则点P的坐标为(　　)
A．(1，3) B.(－1，3)
C．(－1，－3) D.(1，－3)
2．(2021·高考全国卷甲)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为____________．
3．已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝ax2－x－(a>0)，若直线y＝2x－b与函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象均相切，则a的值为________．
参考答案
1解析：选AB.因为f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P(1，3)或(－1，3)．经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上．
2解析：y′＝′＝，所以y′＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.
答案：y＝5x＋2
3解析：f′(x)＝，
设直线y＝2x－b与曲线y＝f(x)相切于点(x0，2ln x0)，
则＝2，所以x0＝1，
所以切点为(1，0)，
所以切线方程为y＝2x－2.
代入g(x)＝ax2－x－(a>0)得ax2－3x＋＝0，
所以Δ＝9－4a×＝0，所以a＝.
答案：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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