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1.1.2空间向量的数量积运算
【考点梳理】
考点一　空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
考点二　空间向量的数量积
定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质 ①a⊥b a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2
运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
考点三　 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型归纳】
题型一：空间向量数量积的概念辨析
1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
2．如图，已知正方体，设，，，则（ ）.
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．设，是两个空间向量，则， 一定共面
B．设，是两个空间向量，则
C．设，，是三个空间向量，则 ，，一定不共面
D．设，，是三个空间向量，则
题型二：求空间向量的数量积
4．如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．在三棱锥中，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
题型三：空间向量的数量积的应用（夹角和模）
7．四面体中，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如下图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，，将沿对角线AC折起，使，则点B，D间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
题型四：空间向量的数量积的综合
10．已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为( )
A．4 B．12 C．8 D．6
11．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（ ）
A．5 B． C． D．
12．在四棱柱中，四边形是边长为2的菱形，，，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③平面；④四棱柱的体积为.
A．4 B．3 C．2 D．1
【双基达标】
13．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（ ）
A．2 B． C． D．
14．四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（ ）
A． B． C． D．
15．在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则 的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
17．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
18．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
19．已知空间向量满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
20．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
21．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，在正四面体ABCD中，若E是BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．与不能比较大小
【高分突破】
一、单选题
23．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A． B． C． D．
24．已知四面体的所有棱长都是2，点是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
25．已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
26．如图，已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．-1
27．空间四边形中若则（ ）
A． B． C． D．
28．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
29．如图，在平行六面体中，，，，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
30．已知空间向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
31．如图，在大小为的二面角中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是（ ）
A． B．2 C．1 D．
32．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
33．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则（ ）．
A． B．1 C． D．2
34．已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
35．在四面体OABC中，，，，则与AC所成角的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
36．已知平行六面体中，，，，，．则的长为（ ）
A． B． C．12 D．
37．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
38．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵中，，P为的中点，则（ ）．
A．6 B． C．2 D．
二、多选题
39．已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是( )
A．
B．
C．
D．
40．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.记，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
41．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ）
A．
B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
42．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题
43．已知 是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.
44．如图，在平行六面体中，，，，，，点为棱的中点，则线段的长为______．
45．设空间中有四个互异的点A B C D，若，则的形状是___________.
46．已知空间向量与满足，且，若与的夹角为，则________．
四、解答题
47．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且．
(1)求的长；
(2)直线与所成角的余弦值．
48．如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，.
(1)证明：平面；
(2)若为中点，求的长.
49．已知四面体的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)判断与是否垂直；
(3)求异面直线BD与AC所成角的余弦值．
50．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD．
【详解】
若，则由且，不能得出，A错；
由数量积对向量加法的分配律知B正确；
若，则，当时就成立，不一定有，C错；
是与平行的向量，是与平行的向量，它们一般不相等，D错．
故选：B．
2．D
【解析】
【分析】
利用求出，再求出，则根据可得答案.
【详解】
设正方体的棱长为1，
因为
所以，
又，
，
又，
故选：D.
3．C
【解析】
由向量的平移可判断，；由向量数量积满足交换律 分配律可判断，.
【详解】
，设，是两个空间向量，则，一定共面，正确，因为向量可以平移；
，设，是两个空间向量，则，正确，因为向量的数量积满足交换律；
，设，，是三个空间向量，则，，可能共面，可能不共面，故C错误；
，设，，是三个空间向量，则，正确，
因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律.
故选：.
4．C
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判定定理及向量垂直的充要条件即可求解.
【详解】
对于A,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正确；
对于B, 因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，
平面,所以,即，所以，故B不正确；
对于C，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C正确．
对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，
平面,所以,即，所以，故D不正确.
故选：C.
5．D
【解析】
【分析】
先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】
由题意得，故.
故选：D.
6．A
【解析】
【分析】
根据已知条件，由，利用向量数量积的定义及运算律即可求解.
【详解】
解：因为三棱锥中，，，，
所以，
故选：A.
7．C
【解析】
【分析】
根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；
【详解】
解：因为，，所以
所以，
所以，又，所以，
所以，因为，所以；
故选：C
8．B
【解析】
【分析】
先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.
【详解】
解：，
，
，
，
所以，
故选：B
9．D
【解析】
【分析】
把 作为基底，将向量 用基底表示出来，求 的模即可.
【详解】
由图可知， ，
向量 与向量 的夹角为 ，向量 与向量 的夹角为 ，
，
；
故选：D.
10．C
【解析】
【分析】
设正方体内切球的球心为，则，，将问题转化为求的最大值.
【详解】
设正方体内切球的球心为，则，，
∴＝，
又点在正方体表面上运动，∴当为正方体顶点时，最大，且最大值为正方体体对角线的一半，，∴的最大值为.
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
先求的平方后再求解即可.
【详解】
，
故，
故选：C
12．A
【解析】
【分析】
①证得平面，结合线面垂直的判定定理即可判断；②结合空间向量的运算即可求出，进而求出结果即可判断；③证得和，结合线面垂直的判定定理即可判断；④根据棱柱的体积公式求出结果即可判断.
【详解】
因为，所以在底面内的射影落在直线上，所以，又，，所以平面，且平面，所以，故①正确；因为，所以
，所以，故②正确；因为，根据勾股定理，得，从而，因为，可得平面，故③正确；在中，，即为四棱柱的高，所以,故④正确；
故选：A.
13．B
【解析】
【分析】
由空间向量在向量方向上的投影为，运算即可的解.
【详解】
由题意，，，，
则空间向量在向量方向上的投影为.
故选：B.
14．A
【解析】
【分析】
根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于：若与垂直，又与垂直，则平面与垂直，则与垂直，与与不一定垂直矛盾，所以与不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0；
对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；
对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；
对于：根据题意，有平面，则，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0.
故选：．
15．D
【解析】
【分析】
以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得，结合向量的数量积的运算，即可求解.
【详解】
如图所示，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，
则，
当时，的最小值为.
故选：D.
16．B
【解析】
【分析】
建立适当的空间直角坐标系，求得两向量的坐标，利用空间向量的数量积的坐标运算公式计算即得所求．
【详解】
解：建立如图所示坐标系,则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），
故（1，0，0），（1，1，1），则 1，
故选：B．
17．B
【解析】
【分析】
根据空间向量运算求得.
【详解】
依题意，分别是的中点，
所以，
三角形是等边三角形，且边长为.
所以.
故选：B
18．B
【解析】
【分析】
由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案
【详解】
由题意可得,
所以，所以，
所以，
故选：B
19．D
【解析】
【分析】
设与的夹角为θ，由，得，两边平方化简可得答案
【详解】
设与的夹角为θ，
由，得，
两边平方，得，
因为，
所以，解得，
故选：D.
20．D
【解析】
【分析】
分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【详解】
分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
21．C
【解析】
【分析】
将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】
由题意得，，
因为
,
所以
，
所以，
故选：C
22．C
【解析】
【分析】
分别求出，即可得出答案.
【详解】
因为，
，所以.
故选：C.
23．C
【解析】
利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项.
【详解】
当长方体为正方体时，根据正方体的性质可知：
，
所以、、.
根据长方体的性质可知：，所以与不垂直，即一定不为.
故选：C
24．A
【解析】
根据，即 可求解.
【详解】
如图，可知，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查空间向量数量积的运算，属于基础题.
25．C
【解析】
【分析】
根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解.
【详解】
，，
则
.
故选：C．
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题.
26．A
【解析】
【分析】
以为基底向量表示后可求的值.
【详解】
，
所以
，
故选：A.
【点睛】
本题考查空间向量的数量积，注意根据题设条件确定一组基底，再把数量积的问题归结为基底向量的数量积问题，此类问题属于容易题.
27．B
【解析】
【分析】
根据向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积计算可得.
【详解】
因为
,
因为,,所以,
所以,
故选:B
【点睛】
本题考查了向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积,属于基础题.
28．D
【解析】
【分析】
将作为基底，用基底把表示出来，再由，可得，从而可求出
【详解】
令，因为，
所以，令，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
因为，，
所以，
所以，解得，
故选：D
29．B
【解析】
【分析】
根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】
故选：B
30．A
【解析】
【分析】
根据向量的数量积的运算公式，求得，结合，即可求解.
【详解】
由题意，空间向量，，，
可得，
则.
故选：A.
31．A
【解析】
【分析】
由题意，为二面角的平面角，故，可得，又，利用数量积运算性质展开即可得到答案
【详解】
由题意，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形
故，
可得为二面角的平面角，故
又，故异面直线所成角也为
,
故选：A
32．A
【解析】
【分析】
先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可.
【详解】
解：如图，设，，，棱长均为，
由题意，，，，
，，
，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A.
33．C
【解析】
【分析】
根据向量加减、数乘的几何意义可得，再由已知及向量数量积的运算律求.
【详解】
由题设，，
因为，
所以，
所以．
故选：C．
34．C
【解析】
【分析】
结合向量夹角，先求解， 再求解.
【详解】
．
故选：C.
35．B
【解析】
【分析】
以为空间的一个基底，求出空间向量求的夹角即可判断作答.
【详解】
在四面体OABC中，不共面，则，令，
依题意，，
设与AC所成角的大小为，则，而，解得，
所以与AC所成角的大小为.
故选：B
36．A
【解析】
【分析】
由，可得，再利用数量积运算性质即可得出．
【详解】
，，，，
，．
，
，
，
即的长为.
故选：A．
37．D
【解析】
【分析】
将用基底表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】
因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，
，
则
.
故选：D.
38．A
【解析】
【分析】
将转化为，应用向量数量积的运算率及线段的垂直关系求值即可.
【详解】
根据堑堵的几何性质知：，，．
因为，，
所以.
故选：A．
39．ABD
【解析】
【分析】
根据题意在一个长方体内部作出四面体ABCD，从图形上把各个向量对应的有向线段表示出来，对四个选项进行判断即可．
【详解】
由题可知，可做如图所示的长方体，设.
，
，故A正确；
，故B正确；
∵平面，∴，，∴，但无法判断AE和BC是否垂直，故C不一定正确；
由图易知，故＝0，故D正确.
故选：ABD．
40．ACD
【解析】
【分析】
根据题意，以作为基底，按照向量的线性运算和数量积公式，逐项计算即可得解.
【详解】
由，故A正确；
由为中点，
所以，
故B错误；
对C，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，
即模长为，夹角为，
，所以，故C正确；
，，
又，
所以，
故D正确.
故选：ACD.
41．ABD
【解析】
【分析】
A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积.
【详解】
，则，故，A正确；
，，，故，B正确；
连接，则，，即，同理，故四边形为矩形，
面积为，C错误；
过作面，易知在直线上，过作于，连接，由得面，易得，故，，，故平行六面体的体积为，
D正确.
故选：ABD.
42．BD
【解析】
【分析】
取基底，由空间向量数量积及其性质直接计算可得.
【详解】
设，，，则，，，
，，，
，，
所以．
故选：BD.
43．3
【解析】
【分析】
利用空间向量的数量积计算公式得到，求出最小值，进而求出答案.
【详解】
因为互相垂直，所以，
，
当且仅当时，取得最小值，最小值为9，
则的最小值为3.
故答案为：3
44．
【解析】
【分析】
利用向量数量积求得向量的模，即可求得线段的长
【详解】
则
即线段的长为
故答案为：
45．等腰三角形
【解析】
【分析】
由，利用向量的减法和数量积运算求解.
【详解】
解：因为，
所以，
则，即，
所以的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形
46．
【解析】
【分析】
利用空间向量数量积的定义进行求解即可.
【详解】
因为，与的夹角为，
所以由，
故答案为：
47．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）用表示出，然后平方转化为数量积的运算；
（2）用空间向量法求异面直线所成的角．
(1)
由题意，，
，
，
．
(2)
，，
，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
48．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由面面平行的判定定理与性质定理求解
（2）由空间向量数量积的运算律求解
(1)
过点作，交于点，连接，
由题意得，
故，，而平面，平面，
平面，同理得平面，
而，平面平面，
平面
(2)
由题意得，
故，
，
故
49．(1)，；
(2)与不垂直；
(3)﹒
【解析】
【分析】
(1)根据空间向量的线性运算即可求解；(2)判断是否为零即可判断与是否垂直；(3)根据向量数量积公式即可求解.
(1)
，
；
(2)
，
∴与不垂直；
(3)
，，，
且，
于是，
∴异面直线BD与AC所成角的余弦值为．
50．，
【解析】
【分析】
根据题中条件，由向量的线性运算，即可得出；再由向量模的计算公式，结合题中条件，可求出，即得出结果.
【详解】
解：因为是的中点，底面是正方形，
所以
，
又由题意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的长为.
试卷第1页，共3页

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