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第二讲 平抛运动与斜抛运动
考点一： 平抛运动的运动性质
考点一：平抛运动和斜抛运动均为匀变速曲线运动
【例1】在一次铅球投掷比赛中，球离手时初速度为v0，落地时的末速度为v，不计空气阻力，能正确表示铅球速度变化过程的图是（ A ）
考点二：平抛运动的处理方式
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
例1·如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点。已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。
例2·(多选)飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们日常休闲的必备活动。一般打飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小。现有一靶的第10环的半径为1 cm，第9环的半径为2 cm……以此类推，若靶的半径为10 cm，在进行飞镖训练时，当人离靶的距离为5 m，将飞镖对准第10环中心以水平速度v投出，g＝10 m/s2。则下列说法中正确的是(　　)
A．当v≥50 m/s时，飞镖将射中第8环线以内 B．当v＝50 m/s时，飞镖将射中第6环线
C．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v至少为50 m/s
D．若要击中靶子，飞镖的速度v至少为25 m/s
例3·在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图4－2－6所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2) 质点经过P点时的速度大小。
课堂·巩固练习1
1·(多选)对于平抛运动，下列说法正确的是(　BD　)
A．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关
B．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的
D．平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动
2·取水平地面为重力势能零点。一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。不计空气阻力。该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为(　　)
A. B. C. D.
3·如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出(　　)
A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能
4·如图所示，装甲车在水平地面上以速度v0＝20 m/s沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h＝1.8 m。在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触。枪口与靶距离为L时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v＝800 m/s。在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s＝90 m后停下。装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹。(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g＝10 m/s2)
(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；
(2)当L＝410 m时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离；
(3)若靶上只有一个弹孔，求L的范围。
考点四：平抛运动的推论以及斜面模型（三个模型与五种考法）
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α
例1·如图所示，AB 为足够长的斜面，从A点以水平速度v0抛出一个球，此时落点到A点的水平距离为x1；从A点以水平速度3v0抛出小球，这次落点到A点的水平距离为x2。不计空气阻力，则x1∶x2等于(　C　)
A．1∶3 B．1∶6 C．1∶9 D．1∶12
例2·如图所示是倾角为45°的斜坡，在斜坡底端P点正上方某一位置Q处以速度v0水平向左抛出一个小球A，小球恰好能垂直落在斜坡上，运动时间为t1。若在小球A抛出的同时，小球B从同一点Q处开始自由下落，下落至P点的时间为t2。则A、B两球在空中运动的时间之比t1∶t2等于(不计空气阻力)(　D　)
A．1∶2 B．1∶ C．1∶3 D．1∶
例3·山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动．如图所示，一滑雪坡由斜面AB和圆弧面BC组成，BC圆弧面和斜面相切于B，与水平面相切于C，竖直台阶CD底端与倾角为θ的斜坡DE相连。第一次运动员从A点由静止滑下通过C点后飞落到DE上，第二次从AB间的A′点（图中未标，即AB>A′B）由静止滑下通过C点后也飞落到DE上，运动员两次与斜坡DE接触时速度与水平方向的夹角分别为和，不计空气阻力和轨道的摩擦力，则（ B ）
A.φ1>φ2 B.φ1<φ2 C.φ1=φ2 D.无法确定两角的大小关系
例4·某质点作匀变速曲线运动，依次经过A、B、C三点，运动轨迹如图所示．已知过B点切线与AC连线平行，D点为AC线段的中点，则下列关于质点从A点运动到B点所用的时间与质点从B点运动到C点所用的时间的大小关系；质点经过B点时的加速度a的方向的说法中，正确的是
A. 不一定等于，a 的方向一定由B点指向D点
B. 不一定等于，a 的方向不一定由B点指向D点
C. 一定等于，a 的方向不一定由B点指向D点
D. 一定等于，a 的方向一定由B点指向D点
例5·如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R。将一个小球从a点以初速度沿ab方向抛出。设重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法错误的是（ ）
当小球的初速度时，掉到环上时的竖直分速度最大
B．当小球的初速度时，将撞击到环上的圆弧ac段
C．当取适当值，小球可以垂直撞击圆环 D．无论取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
例6·如图所示，一个质量为0.4 kg的小物块从高h＝0.05m的坡面顶端由静止释放，滑到水平台上，滑行一段距离后，从边缘O点水平飞出，击中平台右下侧挡板上的P点．现以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板的形状满足方程y＝－6（单位：m），不计一切摩擦和空气阻力，g＝10m／s2，则下列说法正确的是（ AB ）
A．小物块从水平台上O点飞出的速度大小为1m/s B．小物块从O点运动列P点的时间为l s
C．小物块刚到P点时速度方向与水平方向夹角的正切值等于5
D．小物块刚到P点时速度的大小为10 m/s
课堂·巩固练习2
1·2022年2月4日第24届冬奥会将在北京-张家口举行，跳台滑雪是比赛项目之一。如图是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，整个雪道由倾斜的助滑雪道AB和着陆雪道CD以及水平的起跳平台BC组成，AB与BC圆滑连接。运动员从助滑雪道AB上A点由静止开始下滑，到达C点后水平飞出以后落到CD上F点,此时速度方向与CD面的夹角为α，之后沿CD下滑到达D点。图中E是运动轨迹上的某一点，在该点运动员的速度方向与雪道CD平行。（不计雪道的摩擦力和空气阻力）
A.如果运动员从A点上方由静止开始下滑，落到CD上速度方向与CD面的夹角大于α
B.如果运动员从A点下方由静止开始下滑，落到CD上速度方向与CD面的夹角小于α
C.E点与C、F两点距离相等 D.从C点到E点所用时间与从E点到F点所用时间相同
2·如图所示，一长为L的木板，倾斜放置，倾角为45°，现有一弹性小球，从与木板上端等高的某处自由释放，小球落到木板上反弹时，速度大小不变，碰撞前后，速度方向与木板的夹角相等，欲使小球一次碰撞后恰好落到木板下端，则小球释放点距木板上端的水平距离为(　D　)
L B.L C.L D.L
3·如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体轴线的正上方的P点，将一个小球以水平速度v0垂直圆柱体的轴线抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是（　C　）
B． C． D．
4·(多选)如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1由此可判断(　　)
A．A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3
B．A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1
C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1
D．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
5·如图所示，小球从倾角为θ的斜面顶端A点以速率v0做平抛运动，则下列说法正确的是(　　)
A．若小球落到斜面上，则v0越大，小球飞行时间越长
B.若小球落到斜面上，则v0越大，小球末速度与竖直方向的夹角越大
C．若小球落到水平面上，则v0越大，小球飞行时间越长
D．若小球落到水平面上，则v0越大，小球末速度与竖直方向的夹角越大
6·如图所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点。若小球初速变为v，其落点位于c，则(　　)
A．v03v0
附加练习：
7·如图所示，一小球以速度v0从倾角为α＝53°的斜面顶端A处水平抛出，垂直落到在斜面底端与斜面垂直的挡板上的B点，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
A．小球到达B点的速度大小为v0 B．斜面的长度为
C．小球到达B点时重力的瞬时功率为mgv0 D．B点到水平面的高度为
8·如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0＝3 m/s水平抛出，与此同时释放在顶端静止的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块(小球和滑块均视为质点，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)抛出点O离斜面底端的高度；
(2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ。
考点四：抛体运动的对称可逆性
抛体运动的轨迹是抛物线，抛体运动以抛物线对称轴左右对称，包括：运动的速度、位移、时间抛体运动可以逆向沿原轨迹抛回
例1·静止的城市绿化洒水车，由横截面积为S的水龙头喷嘴水平喷出水流，水流从射出喷嘴到落地经历的时间为t，水流落地点与喷嘴连线与水平地面间的夹角为θ，忽略空气阻力(重力加速度g取10 m/s2)，以下说法正确的是(　　)
A．水流射出喷嘴的速度大小为gttan θ B．空中水柱的水量为
C．水流落地时位移大小为
D．水流落地时的速度大小为2gtcos θ
例2·如图所示，一网球运动员对着墙练习发球，运动员离墙的距离为L，某次球从离地高H处水平发出，经墙反弹后刚好落在运动员的脚下，设球与墙壁碰撞前后球在竖直方向的速度大小、方向均不变，水平方向的速度大小不变，方向相反，则(　　)
A．球发出时的初速度大小为L B．球从发出到与墙相碰的时间为
C．球与墙相碰时的速度大小为 D．球与墙相碰点离地的高度为H
考点五: 抛出点和初速度的确定
水平方向是匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，利用两个方向上运动的等时性和两个方向的运动性质来确定初速度和抛出点。
例·(多选)“嫦娥二号”探月卫星的成功发射，标志着我国航天又迈上了一个新台阶。假设我国宇航员乘坐探月卫星登上月球，如图所示是宇航员在月球表面水平抛出小球的闪光照片的一部分。已知照片上小方格的实际边长为a，闪光周期为T，据此可知(　BC　)
A．月球上的重力加速度为 B．小球平抛的初速度为
C．照片上A点一定是平抛的起始位置 D．小球运动到D点时速度大小为
考点六：平抛运动的相遇问题
两物体在同一时间到达空间的同一位置，利用二者的运动时间关系和相遇时的速度或位移方向关系解决问题。
例1·如图所示，将a、b两小球以大小为20 m/s的初速度分别从A、B两点相差1 s先后水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10 m/s2，则抛出点A、B间的水平距离是(　D　)
A．80 m　　B．100 m C．200 m D．180 m
例2·（多选）如图所示,相距l 的两小球A、B 位于同一高度h(l,h 均为定值). 将A 向B 水平抛出的同时, B 自由下落. A、B 与地面碰撞前后,水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反. 不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间,则（ AD ）
A·A、B 在第一次落地前能否相碰,取决于A 的初速度
B·A、B 在第一次落地前若不碰,此后就不会相碰
C·A、B 不可能运动到最高处相碰 D·A、B 一定能相碰
考点七：斜抛运动的三种处理方式
斜抛运动有三种处理方式：1、分解速度 2、分解加速度 3、不分解
例·如图所示，AB为倾角为斜面，小球从A点以初速度v0(方向与斜面成角)抛出，恰好落到斜面底端的B点，不计空气阻力，则AB两点间的距离为( C )
A· B·
C· D·
课堂·巩固练习3
1·如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别垂直打在竖直木板上M、N、P三点。假设不考虑飞刀的转动，并可将其看做质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是(　D　)
A．三把刀在击中板时动能相同 B．三次飞行时间之比为1∶∶
C．三次初速度的竖直分量之比为3∶2∶1
D．设三次抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1>θ2>θ3
2·如图，宽为L的竖直障碍物上开有间距d＝0.6m的矩形孔，其下沿离地高h＝1.2m，离地高H＝2m的质点与障碍物相距x。在障碍物以v0＝4m/s匀速向左运动的同时，质点自由下落，为使质点能穿过该孔，L的最大值为多少米？若L＝0.6m，x的取值范围是多少米？（取g＝10m/s2）0.8m 0.8m3·如图所示，球1和球2均从同一点水平抛出，起抛点离水平地面的高度为H，水平速度分别为v1和v2（v1> v2）。球1抛出后刚好能越过位于xp处的竖直杆顶端，并落于地面上的R点，R点与O点的距离为R。球2抛出后落于地面，与地面做弹性碰撞，反弹后也刚好能越过杆顶，并落在同一点R。试求：
（1）两球初速度的比值；
（2）杆的位置xp；
（3）杆的高度h。
4·大学新生军训演练中，同学们正在教官指导下进行投掷训练。
（1）若已知手榴弹出手时速率为v0，与水平方向的夹角为θ，则手榴弹在空中运动的最小速率为多少？
（2）若已知手榴弹出手时速率为v0，则其与水平方向夹角为多少时射程最远？最远射程为多少？
（3）若已知目标离投掷点（手榴弹脱手时的位置）的水平距离为s，竖直高度为h，手榴弹质量为m。要准确命中目标，对手榴弹至少要做多少功？（以上过程中，均忽略空气阻力。）
课后·巩固练习2
1·如图，可视为质点的小球，位于半径为m的半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点．过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度为：（不计空气阻力，重力加速度为g=10m/s2）( )
B． C． D．
2·如图所示，固定半圆弧容器开口向上，AOB是水平直径，圆弧半径为R，在A、B两点，分别沿AO、BO方向同时水平抛出一个小球，结果两球落在了圆弧上的同一点，从A点抛出的小球初速度是从B点抛出小球初速度的3倍，不计空气阻力，重力加速度为g，则
A.从B点抛出的小球先落到圆弧面上 B.从B点抛出的小球做平抛运动的时间为
C.从A点抛出的小球初速度大小为
D.从A点抛出的小球落到圆弧面上时，速度的反向延长线过圆心O
3·如图，小球甲从A点水平抛出，同时将小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时速度大小相等，方向夹角为30°，已知B、C高度差为h，两小球质量相等，不计空气阻力，由以上条件可知
A．小球甲作平抛运动的初速度大小为
B． 甲、乙两小球到达C点所用时间之比为
C． A、B两点高度差为 D． 两小球在C点时重力的瞬时功率大小相等
4·如图所示是运动员将网球在边界A处正上方B点水平向右击出，恰好过网C的上边沿落在D点的示意图，不计空气阻力，已知，网高，AC=x，重力加速度为g，下列说法中正确的是
A落点D距离网的水平距离为 B网球的初速度大小为
C．若击球高度低于，无论球的初速度多大，球都不可能落在对方界内
D．若保持击球高度不变，球的初速度只要不大于，一定落在对方界内

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