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第4讲 静力学解题方法专题训练 ⑴
[高考走向] 力的有关知识是高中物理的基础，所以三种常见的力，物体的受力分析、共点力的平衡条件等内容几乎是每年的必考内容．以本章内容单独命题时，往往是以选择题或填空题出现，与其它知识结合命题时， 一般出现在计算题中，且难度大一些．
[知识点拔]
　　1．重力虽由万有引力而产生，但重力并不等于万有引力．重心的位置与物体的质量分布有关，即使是外形规则的物体，其重心也不一定在它的几何中心．
　　2．轻绳中的弹力方向始终沿着轻绳；杆中的弹力方向不一定沿杆；面与面、点与面接触处的弹力方向垂直于面(曲面则垂直于接触点的切面)
　　3．判断静摩擦力方向一般有两种方法：(1)假设法；(2)根据物体的运动状态，用牛顿运动定律进行分析推理．静摩擦力的大小一般不能用f＝μ N来计算．
　　4．对物体进行受力分析常采用：(1)隔离法；(2)整体法；(3)隔离法与整体法同时使用．
　　5．求解平衡问题常采用：(1)正交分解法；(2)力的三角形法；(3)相似三角形法．
㈠ 正交分解法
从“定物体，分析力→建坐标，分解力→找规律，列方程→求结果，反思题”这样一个模式化的解题过程进行下去，总可以将题目解答出来．这种方法适用于物体受力个数较多且有些力不在互相垂直的两个方向上，而其它方法对力的个数较多的情况应用起来反而更复杂．
【例1】如图所示，质量为m＝5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数，求当物体做匀速直线运动时，牵引力F的最小值和方向角θ．
【例2】 如图，质量为m的物体，用水平细绳AB拉住，静止在倾角为θ的固定斜面上，求物体对斜面压力的大小．
　
小结：应用正交分解法解平衡问题的主要步骤是：① 定物体，分析力；②建坐标，分解力；③找规律，列方程；④解方程，得结论．⑤反思关键，形成经验．
【自我体验】1．如图所示，质量为m的物体在不受其它外力时恰能沿斜面匀速下滑，那么要将该物体匀速推上该斜面，需要加多大的水平外力F？已知斜面倾角为θ．
【课后训练】
１．如图所示，一个质量为m的木块在推力F作用下可沿竖直墙壁匀速运动，木块与竖直墙壁间的动摩擦因数为μ，F与竖直方向的夹角为θ．求推力F的大小．
思考：要使物体贴着墙壁静止，上图中的推力F应取何值．
(
水面
快艇
)2．在电视节目中，我们能看到一种精彩的水上运动——划水板运动，如下图所示，运动员在快艇的水平牵引下，脚踏倾斜滑板在水上滑行，设滑板是光滑的，滑板与水平方向的夹角为θ，水的密度为ρ，理论研究表明:水对滑板的作用力大小N=ρSv2sin2θ，式中的v为快艇的牵引速度.若人的质量为m，求快艇的水平牵引速度v.
3．如图所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求：
　（1）物体A所受到的重力；
　（2）物体B与地面间的摩擦力；
　（3）细绳CO受到的拉力．
４．如图所示，质量kg的木块套在水平杆上，并用轻绳与质量的小球相连．今用跟水平方向成α＝30°的力N拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m的相对位置保持不变，g=10m／s2，求运动过程中轻绳与水平方向夹角θ及木块A与杆间的动摩擦因数为μ ．
㈡ 整体法与隔离法
在解物理问题过程应用的整体法，是将几个具有相互作用或影响的物体看成一个整体或系统，进行分析或思考要解决的问题．在平衡问题中，通常所求的目标是某几个外力时，优先应用整体法．这时几个物体通常都处于平衡状态．隔离法是将具有相互作用或影响的物体隔离出来，单独对其中某一个物体进行分析．如果要求物体之间的相互作用力，则必须采取隔离法．整体法与隔离法常常结伴同行，共同处于同一问题，两者是相互依存的关系．
整体法与隔离法的含义和作用并不是这样简单，在今后的学习中还要经常应用到这两种解题方法．
　【例1】如图所示，两块相同的竖直木板A、B之间有质量均为m的四块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖静止不动．设所有接触面的摩擦因数均为μ，则第三块对第二块砖的摩擦力的大小为多大？
(
1
2
3
)【例2】三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半径为r0的环1上，彼此间距相等，绳穿过半径为r0的第2个圆环，另一端同样地系在半径为2r0的环3上，如图所示，环1固定在水平面上，整个系统处于平衡状态.试求第2个环中心与第3个环中心之间的距离.(三个环都是用相同的金属丝制作的，摩擦不计)
【自我体验】1．如图所示，A、B为相同的两个木块，叠放在水平地面C上，A、B用水平绳通过一个滑轮连接在一起，在滑轮上用一个水平力F，恰好使A、B两个木块一起沿水平地面向右匀速运动．不计轻绳和滑轮的质量以及滑轮轴的摩擦，关于A、B间的摩擦力f1和B、C间的摩擦力f2的大小，下列判断正确的是（　 　　）
A．f1= F/2, f2 = F/2 B．f1= F/2 , f2 = F
C．f1 =0 , f2 = F 　　　　D．条件不足，无法判断
【自我体验】2．有一直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m,两环间用一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）．现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN 和细绳上的拉力T的变化情况是（　 　　）
Ａ．FN不变，T变大　　　 B．FN不变，T变小 　
C．FN变小，T变小　　　 D．FN变大，T变小
静摩擦力的存在与否以及大小的计算通常有五种思路：
①根据静摩擦力存在的三个条件：弹力不为零；接触面粗糙、具有相对运动趋势．
应用假设法：假设接触面光滑时，物体的相对滑动方向即有摩擦时的相对运动趋势的方向．静摩擦力的方向跟相对运动趋势方向相反．
②根据共点力平衡条件． ③根据运动状态的变化（加速或减速）：牛顿第二定律的应用．
④根据相互作用规律（牛顿第三定律） ⑤应用力矩平衡条件（或杠杆平衡原理）
上面五种思路中，应用较多的是② ③ ④三种思路．应用物理规律分析力的存在与否以及大小的计算，是今后的主要方向．对于弹力和摩擦力这两种被动力，通常要根据物体的运动状态及其变化来确定它是否存在，然后才能运用相关规律进行计算．
【课后训练】
1．如图所示，质量为m的物体在沿斜向上的拉力F作用下沿放在水平地面上的质量为M的粗糙斜面匀速下滑，此过程中斜面体保持静止，则地面对斜面体（ ）
Ａ．无摩擦力 B．有水平向左的摩擦力
C． 支持力为（M+m）g D．支持力小于（M+m）g
2．如图所示，物体a, b, c，叠放在水平桌面上，水平力Fb=5N, Fc =10N ,分别作用在物体b、c上，a, b和c保持静止．用f1、f2 、f3分别表示a与b ,b与c，c与桌面间的静摩擦力的大小．则（ ）
A．f1=5N, f2 =0 ,f3 =5N B． f1=5N, f2=5N, f3 =0
C．f1=0, f2 =5N , f3 =5N D．f1=0, f2 =10N , f3 =5N
3．在粗糙水平面上有一个三角形木块abc, 在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量为m1和m2的木块，m1> m2, 如图所示，已知三角形木块和两个放在上面的木块都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块（ ）
A．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右
B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左
C．没有摩擦力的作用　　　
D．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因为m1、m2、θ1、θ2的数值并未给出
4．用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图甲所示．今对球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏向30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是图乙中的哪一个？（ ）
5．如图所示，球的质量为m, 斜面体的质量为M，倾角为θ=53°，球光滑，它与墙角、斜面间没有摩擦力作用，斜面体静止在粗糙的水平面上，这时地面对斜面体的支持力为多大，静摩擦力为多大？如果要使系统保持静止，地面与斜面体间的摩擦因数应满足什么条件？
6．如图所示，在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一端连着圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的静摩擦因数为0.75，另有一条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方．当细绳的端点挂上重物G，而圆环将要开始滑动时，试问：
　（1）长为30cm的细绳的张力是多少？
　（2）圆环将要开始滑动时，重物G的质量是多少？
　（3）角多大？
　　 第5讲 静力学解题方法及专题训练 ⑵
㈢　对称方法及应用
“对称是指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系．在物理学中的对称比数学具有更广泛的含义，如物质分布的对称——均匀球体，均匀带电球壳的电荷，弹力的伸长与压缩及产生的弹力，具有一定特点的往复运动等，这些只是对称的表达形式，而对称的深层本质却是不变性．所谓对称性或对称原理，就是事物经过某些变换后仍保持的不变性或某些不变性．或者说，在对称的条件下，一定的规律可以等效地迁移（不论在同一问题的不同过程中，还是在两个截然不同性质的问题中），从而避免繁琐的数学推证，一下抓住问题的物理本质，迅速而简捷地解决问题．在静力学部分，我们主要涉及到结构结称．
从科学思维方法的角度看，对称原理最突出的作用，是启迪和培养直觉思维能力．在分析和解答物理问题时，如果善于从对称性的角度度剖析问题的物理实质，抓住问题的“突破口”，问题就迎刃而解了．
　【例1】如图所示，A、B两物体重均为G =100N，A拴在绕过定滑轮O1的细绳一端，B吊在动滑轮O2上．整个装置静止不动，两个滑轮和细绳的重量及摩擦不计．求绕过动滑轮O2的两细绳间的夹角α．
　【例2】如图（a）所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，A、B两点到O点的距离相等，绳的长度为OA的两倍．图(b)所示为一质量和半径中忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略．现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？
　
　
　【自我体验】1． 如图所示,重为G的均匀链条．两端用等长的细线连接,挂在等高的地方,绳与水平方向成θ角．试求:⑴绳子的张力． ⑵链条最低点的张力．
【自我体验】2． 如图所示．在光滑的水平杆上,穿着两个重均为2N的球A, B, 在两球之间夹着一弹簧,弹簧的劲度系数为10N/m,用两条等长的线将球C与A,B相连,此时弹簧被压缩短10cm,两条线的夹角为60°．求: ⑴杆对A球的支持力多大？ ⑵ C球的重力多大
【课后训练】
　1．如图所示，一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一光滑的挂钩悬挂一重物，AO段中张力大小为T1，BO段张力大小为T2．现将右固定端由B沿杆慢移到Bˊ点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为（ ）
　A．T1变大，T2减小 B．T1减小，T2变大
C．T1、T2均变大 D． T1、T2均不变
　２．如图所示，质量为m的小球被三根相同的轻质弹簧a、b、c拉住，c 竖直向下，a、b 、c伸长的长度之比为3∶3∶1，则小球受c的拉力大小为（α=120°）（ ）
　 Ａ．mg 　　 B．0．5mg　　C．1．5mg D．3mg
　3．如图所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，滑轮轴上的摩擦不计．A、B两物体的质量分别为m1和m2 ,处于静止状态，则以下说法不正确的是（ ）
A．m2一定等于m1 B．m2一定大于m1g/ 2 C．θ1角与θ2角一定相等
D．当B的质量m2稍许增加时，绳子间的张角θ1+θ2一定增大，系统仍能达到平衡状态
　4．质量为10kg的均匀圆柱体放在倾角为60°的V型槽上，圆柱体与槽间的动摩擦因数为0．25 ．沿着圆柱体的轴向施加一个推力F，使圆柱体沿槽做匀速直线运动．求F的大小．
　
　5．如图所示，两根相同的橡皮绳OA和OB，开始时夹角为0°，在O点处打结吊一个重50N的物体后，结点O刚好位于圆心． A和B分别沿圆周向两边移至Aˊ和Bˊ,使∠AOAˊ=∠BOBˊ=60°．欲使结点仍在圆心处，则此时在结点处应挂多重的物体？
等效方法
等效方法是最重要的科学思维方法之一．等效方法的依据，就在于不同的物理现象、物理过程和物理规律，不仅具有其特殊性，而且在某些方面还具有同一性；等效方法的实质，是相互替代的效果相同；等效方法的结果，不仅可以使非理想模型变为理想模型，使复杂问题变成简单问题，而且可以使感性认识上升到理性认识，使一般理性认识升华到更深的层次．
在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、平均速度、重心、热功当量、交流电的平均值和有效值、几何光学中的三条特殊光线、虚像、虚物等，都是根据等效概念引入的．在分析和解答物理问题时，一般需要将普通语言转化物理语言，精炼为数学语言，实际上也是一个等效过程．
等效变换的思维方法，在中学物理中极为常用，它的含义非常广泛．只要研究对象（物理量、物理过程或系统）在某一方面的作用效果与另一个对象所起的作用效果相同，就可以在相互间进行变换．
等效方法的应用在中学物理解题范有组合等效、叠加等效、整体等效、运动等效．在力与物理体的平衡这一部分解题中主要应用到前三种等效变换．
【例1】并联弹簧的等效劲度系数 　串联弹簧的等效劲度系数
　　　　　　
　　　　　
【自我体验】1． 弹簧原长为20cm，下端挂一个重量为4N的物体时，弹簧长度为24cm ．若把弹簧剪去一半，挂一个重为3N的物体时，则弹簧的长度为多少？
【自我体验】2．一物体受到n个外力而处于平衡状态，其中一个力F1 =4．0N, 方向向右．如果所有其他（n—1）个外力都保持不变，只将F1的方向转过90°, 大小变为3N，则物体所受的合力大小是（ ） 　A．3．0N　 B．4．0N　　 C．5．0N　　 D．7．0N
【例2】如图所示，重力G =50N的物体静止在斜面上，斜面倾角θ= 37°．求斜面对物体的作用力．
【例3】如图所示，光滑圆环固定在竖直平面内，环上穿过带孔小球A、B，两球用轻绳系着．平衡时细绳与水平方向的夹角θ=30° ，此时B球恰好与环心O在同一水平面上，求A球与B球的质量之比mA∶mB =
【课后训练】
1．如图所示，物块A在斜面上恰能自由匀速下滑．斜面倾角为θ．现在对物块施一竖直向下的力F，F的作用线过物块的重心．则物块的运动状态是（ ）
　 Ａ．仍然做匀速运动　 B．加速下滑　
C．减速下滑　 D．变为静止
2．一个质点受到如图所示的五个共点力F1、F2、F3、F4、F5的作用，则质点所受合力的大小为（ ）
Ａ．2F4 B．2F5 C．F4+F5 D．F5
3．如图所示，质量为m的小球与三根相同的螺旋形轻弹簧相连，静止时，相邻两弹簧间的夹角均为120°．已知弹簧a、b对小球的作用力均为F，则弹簧对小球的作用力的
大小可能为（ ）
A．F　 B．F+mg 　 C．F-mg 　　D．mg-F
4．S1、S2表示劲度系数分别为k１、k2的两根轻弹簧，k1 >k2；a和b表示质量分别为ma 和mb的两个物块，ma> mb．将弹簧和物块按图所示的方式悬挂起来，要求两根弹簧的总长度最短，则应使 （ ）
Ａ．S1在上，a在上 B．S1在上，b在上 　
C．S2在上，a在上 　 D．S2在上， b在上
如果将整个装置倒过来放在水平地面上，使两弹簧总长度最短，又当选哪一个答案？（ ）
5．如图所示，质量分别为m和M的两物块，用劲度系数为k的轻质弹簧连接在起，放在水平地面上处于静止状态．当用一个竖直向下的力缓慢下压到一定程度后撒去这一外力．问：外力F至少要多大，当物块m上升到最高点时，M恰能离开地面？
(
K
1
K
2
m
1
m
2
)7．如图，原长分别为L1和L2，劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧竖直地悬挂在天花板上，两弹簧之间有一质量为m1的物体，最下端挂着质量为m2的另一物体，整个装置处于静止状态．现用一个质量为m的平板把下面的物体竖直地缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和，这时托起平板竖直向上的力是多少？m2上升的高度是多少？
第6讲 静力学解题方法及专题训练 ⑶
㈤　临界状态与临界方法
在物理中存在大量的临界问题．所谓临界问题，一般是指在物质的运动从一种形式转变为另一种形式，或者从一种物理现象转变为另一种物理现象、或者从一种物理过程转变为另一种物理过程的过程中，存在着一种突变状态——这是从量变到质量规律在物理中的生动表现．
物体处于这种突变状态——临界状态时，既具有转变前的基本特点，又具有转变后的基本特点．这种转变的条件——有时是一个或几个物理量达到特殊值——临界值．有时临界值则是以极值的形式表现出来，如最大值、最小值和零值．
分析和解决临界问题，有两种基本方法：一是演绎法——从一般到特殊的推理方法；二是临界法——从特殊到一般的推理方法．因为临界状态总比一般状态简单，所以解临界问题，临界法比演绎法简单，一般，只要认真分析物理过程，抓住临界状态，确定其临界条件，建立临界方程，就能突破难点．化难为易．化繁为简．
【例１】如图所示，绳子AB能承受的最大拉力为1000N, 轻杆AC能承受的最大压力为2000N, 问：A点最多能悬挂多重的物体？
【例2】如图所示，物体的质量为2kg,两根据轻绳AB和AC（LAB=2LAC）的一端连接于竖直墙壁上，另一端系于物体A上，且∠BAC = 60° ，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围．（g=10N/kg）
【自我体验】1．如图所示，重80N的物体A放置在倾角为30°的粗糙斜面上．有一根劲度系数为103N/m、原长为10cm的弹簧，其一端固定在斜面底端，另一端放置物体A后，弹簧长度缩短为8cm．现用一弹簧测力计沿斜面向上拉物体，若物体A与斜面间最大静摩擦力为25N，当弹簧长度仍为8cm时，弹簧测力计的读数可能为（ ）
A．0N 　　B．20N 　　C．40N　 D．60N
【课后训练】
１．如图所示，重225N的物体G由OA和OB两根绳子拉着，绳OB始终保持水平方向．已知两根绳子能承受的最大拉力均为150N．为了保持绳子不被拉断，绳子OA与竖直方向的夹角α的最大值应为多少？
　
２．如图所示，斜面固定，物体A重10N，物体B重10N，A与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.2， 绳重、绳与定滑轮间的摩擦均不计．要使A保持静止状态，水平拉力F应取何值？（可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）．
　
㈥　图解法
这里所介绍的图解法是利用矢量合成与分解的平行四边形定则或三角形定则，通过作图的方式找到解决问题的突破口或关键结论，从而比较简捷地完成解题过程．在作图过时要充分利用恒矢量和方向不变的矢量．
【例1】如图所示，用细线悬挂均匀小球靠在竖直墙上，如把线的长度缩短，则球对线的拉力T，对墙的压力FN的变化情况正确的是（ ）
A．T、FN都不变 　 B．T减小，FN增大
C．T增大，FN减小 D．T、FN都增大
　【例2】如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β多大时，AO所受压力最小？
　【例3】在两个共点的合成实验中，如图所示，用A、B两弹簧秤拉橡皮条的结点D，使其位于E处，α+β=90°，然后保持A的读数不变，当角α由图示位置逐渐减小时，欲使结点仍在E处，可采用的方法是（ ）
Ａ．增大B的读数，减小β角 　　B．减小B的读数，减小β角
C．减小B的读数，增大β角 　　D．增大B的读数，增大β角
　【自我体验】1．如图所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA使结点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时（ ）
Ａ．绳OA的拉力逐渐增大 　　　　 B．绳OA的拉力逐渐减小
C．绳OA的拉力先增大后减小 　　　D．绳OA的拉力先减小后增大
　【自我体验】2．如图所示，在竖直墙壁的顶端有一直径可以忽略的定滑轮，用细绳将质量m =2kg的光滑球沿墙壁匀速拉起来．起始时绳与墙壁间的夹角α=30°，终了时绳与墙壁间的夹角β = 60°．则在这过程中，拉力F的最大值和最小值分别是多少？球对墙壁的压力的大小在这个过程中是如何变化的？(g=10N/kg)
【课后训练】
1．用一根据轻绳把质量为0．5kg的小球悬挂在O点，用力F拉小球使悬线偏离竖直方向30°角，小球处于平衡状态，力F与竖直方向的夹角为θ，如图所示，若使力F取最小值，则θ=_______；此时绳的拉力为___________．
　2．如图所示，使弹簧秤Ⅱ从图示位置开始沿顺时针方向开始缓慢转动，在此过程中，保持结点O的位置不变，保持弹簧秤Ⅰ的拉伸方向不变．那么，在全过程中关于弹簧秤Ⅰ、Ⅱ的示数F1、F2的变化是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
　
　3．在力的合成实验中，用两弹簧秤拉橡皮筋的结点至O点，如图所示．今保持F1的读数不变，而逐渐减小α，仍要使橡皮筋的结点拉至O点，则可使用的方法有（ ）
　 Ａ．使F2的读数变大，β变小 　 B．使F2的读数变小，β变大　
　 C．使F2的读数变小，β变小 　　D．使F2的的读数变大，β变大
　4．半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，系于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不变，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直处C，如图所示．分析OA绳和BO绳所受拉力的变化情况？
　
　5．将一个大小20N的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成30°，试讨论：⑴ 另一个分力的大小不会小于多少，⑵ 若另一个分力的大小是20/（N），则已知方向的分力的大小是多少？
6．如图所示，在竖直平面的固定光滑圆轨道的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小环套在圆轨道上，用细线通过小孔系在环上，缓慢拉动细线，使环沿轨道上移，在移动过程中拉力F和轨道对小环的作用FN的大小变化情况是　(　　　 )
　　A．F不变，FN增大
B．F不变，FN不变
C．F减小，FN不变
D．F增大，FN减小　
７．如图所示,用两根绳子系住一重物,绳OA与天花板夹角θ不变,且θ＞45°,当用手拉住绳OB，使绳OB由水平慢慢转向OB′过程中，OB绳所受拉力将　(　　　 )
A．始终减少　　　　　 B．始终增大
　　C．先增大后减少　　　 D．先减少后增大
(
A
B
C
D
E
F
O
)力、物体的平衡试题精选
1．如图所示，三角形ABC三边中点分别为D、E、F，在三角形中任取一点O，如果OE、OF、DO三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为（ ）
A．OA B．OB C．OC D．DO
2．如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同:①中弹簧的左端固定在墙上；②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用；③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；④弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动．若认为弹簧的质量都为零，以l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（ ）
(
F
①
) (
F
②
F
)
(
A
B
x
) (
A
F
③
) (
A
F
④
)
A．l2 > l1 B． l4> l3 C．l1 > l3 D．l2 = l4
3．如图所示，弹簧的劲度系数为k，球重为G，球静止时在图中A位置．现用力将小球竖直向下移动x至B位置，则此时弹簧的弹力为（ ）
A．kx B．G – kx C．kx+G D．G
(
m
1
O
m
2
α
)4．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=600．两小球的质量比为m2/m1为（ ）
A． B． C． D．
5．一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动．探测器通过喷气而获得推动力。以下关于喷气方向的描述中正确的是（ ）
A．探测器加速运动时，沿直线向后喷气 B．探测器加速运动时，竖直向下喷气
C．探测器匀速运动时，竖直向下喷气 D．探测器匀速运动时，不需要喷气
(
A
B
Q
╮
m
2
θ
P
)6．如图所示，A、B两物体的质量分别为mA和mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计．如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ如何变化？（ ）
A．物体A的高度升高，θ角变大
B．物体A的高度降低，θ角变小
C．物体A的高度升高，θ角不变
D．物体A的高度不变，θ角变小
(
60
0
F
θ
O
)7．如图所示，用轻绳将小球悬于O点，力F拉住小球使悬线
偏离竖直方向600角，小球处于平衡状态，要使F有最小值，F与
竖直方向的夹角θ是（ ）
A．900 B．600 C．300 D．00
(
P
A
θ
B
)8．如图所示，竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，在Q的正上方的P点用丝线悬挂另一质点B，A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A、B两质点的电荷量逐渐减少，在电荷漏电完毕之前悬线对悬点P的拉力大小（ ）
A．变小 B．变大
C．不变 D．无法确定
(
O
θ
)9．如图所示，重为G的小球，用一细线悬挂在点O处．现用一大小恒定的外力F(F(
m
2
k
1
k
2
m
1
)10．如图所示，两木块质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面弹簧上(但不拴接)，整个系统处于静止状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在整个过程中下面木块移动的距离为（ ）
(
A
B
v
2
v
1
C
)A． B． C． D．
11．如图所示，质量为m的工件置于水平放置的钢板C上，二者间的动摩擦因数为μ，由于光滑导槽A、B的控制，工件只能沿水平导槽运动，现在使钢板以速度v1向右运动，同时用力F拉动工件(F方向与导槽平行)使其以速度v2沿导槽运动，则F的大小为（ ）
A．等于μmg B．大于μmg C．小于μmg D．不能确定
(
F
G
α
)12．如图所示，斜面体放在墙角附近，一个光滑的小球置于竖直墙和斜面体之间．若在小球上施加一个竖直向下的力F，小球处于静止．如果稍增大竖直向下的力F，而小球和斜面体都保持静止，关于斜面体对水平地面的压力和静摩擦力的大小的下列说法：①压力随力F的增大而增大；②压力保持不变；③静摩擦力随F的增大而增大；④静摩擦力保持不变．其中正确的是（ ）
A．只有①③正确
B．只有①④正确
C．只有②③正确
D．只有②④正确
(
P
Q
)13．如图所示，表面粗糙的固定斜面顶端安有滑轮，两物块P、Q用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦），P悬于空中，Q放在斜面上，均处于静止状态．当用水平向左的恒力推Q时，P、Q仍静止不动，则（ ）
A．Q受到的摩擦力一定变小 B．Q受到的摩擦力一定变大
C．轻绳上拉力一定变小 D．轻绳上拉力一定不变
(
α
1
乙
甲
α
2
)14．身高和质量完全相同的两人穿同样的鞋在同一水平地面上通过一轻杆进行顶牛比赛，企图迫使对方后退．设甲、乙对杆的推力分别为F1、F2．甲、乙两人身体因前顷而偏离竖直方向的夹角分别为α1、α2，倾角越大，此刻人手和杆的端点位置就越低，如图所示，若甲获胜，则（ ）
A．F1=F2 α1>α2 B．F1>F2 α1=α2
C．F1=F2 α1<α2 D．F1>F2 α1>α2
15．如图所示，两个等大的水平力F分别作用在B和C上．A、B、C都处于静止状态。各接触面与水平地面平行．A、C间的摩擦力大小为f1，B、C间的摩擦力大小为f2，C与地面间的摩擦力大小为f3．则 （ ）
(
A
B
C
F
F
)A．f1=0，f2=0，f3=0 B．f1=0，f2=F，f3=0
C．f1=F，f2=0，f3=0 D．f1=0，f2=F，f3=F
　　　　　第4讲 静力学解题方法及专题训练 参考答案
㈠ 正交分解法
【例1】[分析]本题考察物体受力分析：由于求摩擦力f时，N受F制约，而求F最小值，即转化为在物理问题中应用数学方法解决的实际问题．我们可以先通过物体受力分析．据平衡条件，找出F与θ关系．进一步应用数学知识求解极值．
[解] 作出物体m受力分析如图，由平衡条件．
　∑Fx=Fcosθ-μN=0 （1） 　∑Fy=Fsinθ+N-G=0 （2）
　由 cos（θ-Ф）=1 即 θ－Ф=0时
∴ Ф=30°，θ=30°
[说明] 本题中我们应用了数学上极值方法，来求解物理实际问题，这是在高考中考察的一项重要能力．在以后解题中我们还会遇到用如：几何法、三角形法等数学方法解物理问题，所以，在我们学习物理时，逐步渗透数学思想，对解决物理问题是很方便的．但要注意，求解结果和物理事实的统一性．
【例2】[分析] 本题主要考察，物体受力分析与平衡条件，物体在斜面上受力如图，以作用点为原点建立直角坐标系，据平衡条件∑F＝0，即
找准边角关系，列方程求解．
[解]解法一：以物体m为研究对象建立图所示坐标系，由平衡条件得：
Tcosθ－mgsinθ＝0 （1）　　　　　N-Tsinθ－mgcooθ＝0 （2）
　联立式（1）（2）解得 　N＝mg／cosθ
　 据牛顿第三定律可知，物体对斜面压力的大小为　N′＝mg／cosθ
解法二：以物体为研究对象，建立如图所示坐标系，据物体受共点力的平衡条件知：Ncosθ-mg=0
　∴ N＝mg／cocθ　　　　同理 N′=mg／cosθ
[说明]（1）由上面解法可知：虽然两种情况下建立坐标系的方法不同，但结果相同，因此，如何建立坐标系与解答的结果无关，从两种解法繁简不同，可以得到启示：处理物体受力，巧建坐标系可简化运算，而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳．
（2）用正交分解法解共点力平衡时解题步骤：选好研究对象→正确受力分析→合理巧建坐标系→根据平衡条件列方程　　求解（必要时讨论）
（3）不管用哪种解法，找准力线之间的角度关系是正确解题的前提，角度一错全盘皆错，这是非常可惜的．
（4）由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点，题目中物体受重力G，斜面支持N，水平细绳拉力T三个共点力作用而平衡，这三个力必然构成如图所示的封闭三角形力图．这一点在解物理题时有时很方便．
【自我体验】1．物体匀速下滑时，受三个力：mg 、FN、f . 滑斜面方向有
mg sinθ = μmg co sθ ,　 ∴ μ = tgθ.
对物体施以水平推力F时，向上匀速运动．受力情况如图所示．建立直角坐系，将重力mg和推力F分解在两个坐标轴上，由共点平衡条件得：
x轴上：Fcosθ= mgsinθ+f ……①
将②③代入①得 F =mg.
y轴上: FN = F sinθ+ mg co sθ ……② 又将μ=tgθ替换后得：
摩擦定律：f = μ FN ……③ F = mg.=mgtan2
点评：解题时注意题目叙述的层次及描述的物理过程，进行分层次表达（用图形或方程），将题目所给条件的文字表达方式翻译或转化成物理图形或数学物理方程，才能对问题有较清晰的理解和把握，才能进行运算．否则永远处于模糊状态．
【课后训练】
1．解：本题的关键条件是：“沿竖直墙壁匀速运动”，但并未确定向上或向下匀速运动，所以，要分“向上匀速运动”和“向下匀速运动”两种情况处理．即分类讨论．
⑴ 物体匀速向上运动．滑动摩擦力沿墙壁向上，受力情况如图所示．
建立直角坐标系，沿x轴和y轴分解力F．根据共点力平衡条件得：
x轴上：F sinθ= FN ……①　　　　y轴上：Fcosθ= f + mg ……②
公式： f = μFN ……③
将①、③代入②后得：F = ．
⑵ 物体沿墙壁匀速下滑时，只须将滑动摩擦力方向变为向上，则上面的方程②改写为：F cosθ+ f = mg ……④ 由方程①③④可解得：F= ．
2．
3．[分析]此题是在共点力作用下的物体平衡问题， 据平衡条件∑Fx=0，∑Fy=0，分别取物体B和定滑轮为研究对象，进行受力情况分析，建立方程．
　[解]如图2所示，选取直角坐标系．据平衡条件得:
f－T1sinα=0，　N＋T1cosα－mBg=0．
对于定滑轮的轴心O点有
T1sinα-T2sin30°=0，　 T2cos30°-T1cosα-mAg=0．
因为T1=mAg，得α=60°，解方程组得
（1）T1=40N，物体A所受到的重力为40N；
（2）物体B与地面间的摩擦力 f＝T1sinα=40sin60°≈34.6N；
（3）细绳CO受到的拉力
[说明] 　在本题中，我们选取定滑轮的轴心为研究对象，并认定T1与mAg作用在这点上，即构成共点力，使问题得以简化．
4．解：以小球为研究对象，受力如图，建立坐标轴
根据平衡条件
F cos300-Tcos =0 ①
F sin300+Tsin -mg =0 ②
联立① ② 得：T=10 N =300
以木块研究，受力如图
由平衡条件有：
Tcos-（Mg+ Tsin）=0 ③ 代入数据得 =
㈡ 整体法与隔离法
【例1】解：以四块砖为整体，所受外力情况：重力4mg、A板对砖块1的静摩擦力和木板B对砖块4的静摩擦力，由对称特点，两个静摩擦力相等，均为f, 所以整体共受三个外力，如图所示．由平衡条件得： 2f = 4mg ∴ f = 2mg
以1、2两块砖为整体，其受外力如图所示．因f =2mg，已跟两块砖所受重力2mg平衡，所以，第三块砖对第二块砖的摩擦力 f32 = 0.
同类拓展：将四块砖增加为五块砖，求第三块对第二块的摩擦力．这时，对五块砖构成的整体有： 2f = 5mg, ∴ f = 2 .5mg ．仍取1、2两块
砖为整体，要满足平衡条件，f32 = 0.5mg, 方向竖直向上．如图所示．
类推：如果A、B两板之间夹偶数块同样的砖，则正中接触面无摩擦力；如果是奇数块，则每一个接触面都要受到静摩擦力．方法是要求哪个接触面的静摩擦力，只要想象中把这个接触面分开，对其中一部分作受力分析，就可以求出所要求的摩擦力．这类题目总是先大整体，再小整体（即部分隔离）．
【例2】解：因A、B质量相同，材料相同，则与水平面间的动摩擦因数相同，水平面对A、B的滑动摩擦力分别为fAfB．取A、B系统为研究对象，因系统匀速直线运动，在水平方向有
F = fA + fB , fA = fB ,∴ fB = F/2 .
隔离B出来，B在水平面内受三个外力：水平支持面施加的动摩擦力fB、A对B的弹力FN、A对B的静摩擦力fAB, 如图所示．fAB⊥FN 根据共点平衡条件，FN与fAB的合力与fB等值反向，由力三角形得：FN = fB sinθ= F sinθ/2.
本题的解题思路仍然是整体法与隔离法结合相互作用力．隔离物体是选择B，如果选择A，同样可以解出来，只是A在水平面共受四个力．从受力分析角度看，隔离受力个数少的物体会使解题过程简捷一些．
【例3】解:过中心作一截面图，如图所示，由于对称，每根绳上张力相同，设为F.设环2的质量为m，则环3的质量为2m.
(
θ
2
3
r
0
d
F
)对环2和3整体有:3F = mg + 2mg
对环3有:3Fsinθ= 2mg
由以上两式得: 即，所以.
【自我体验】1．解：以A、B和滑轮为整体，在水平方向平衡，则f2与F构一对平衡力，所以f2应水平向左，大小f2 = F. 只在B、C两个选项中去确定．对滑轮有2 T = F,
∴ T = F/2 ．隔离A出来，A木块在水平方向受二个力而匀速运动，如图所示，所以f1 = T = F/2 .正确选项为B．
【自我体验】2．【例3】解：以P、Q两环为整体，因为OB杆光滑，在竖直方向上，整体受两个外力：重力2mg和水平杆AO对P环的支持力FN，所以FN =2mg为不变量．只能在A、B两个答案中去选，P环左移后，细绳与竖直方向的夹角θ变小，Q环受到的重力mg为不变量，所以将Q环隔离出来，在竖直方向应用平衡条件有：T cosθ= mg . cosθ↑,∴ T↓.　　正确答案为B
【课后训练】
1．B 2．C 3．C 4．A 5．（m+M）g , 0.6mg ≥
6．[分析]选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情况：圆环受到重力、细绳的张力T、杆对圆环的支持力N、摩擦力f的作用．
[解]因为圆环将要开始滑动，所以，可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题．由牛顿第二定律给出的平衡条件∑Fx=0，∑Fy=0，建立方程有
μN-Tcosθ=0， N-Tsinθ＝0． 所以 tg= =arctg= arctg
设想：过O作OA的垂线与杆交于B′点，由AO=30cm，tgθ=， 得B′O的长为40cm．在直角三角形中，由三角形的边长条件得AB′=50cm，但据题述条件AB=50cm，故B′点与滑轮的固定处B点重合，即得φ=90°．
（1）如图所示选取坐标轴，根据平衡条件有
Gcosθ+Tsinθ-mg=0， Tcosθ-Gsinθ=0． 解得 T≈8N
（2）圆环将要滑动时，得 mGg＝Tctgθ， mG=0.6kg．
（3）前已证明φ为直角．
【课后训练】
6. 思维过程 ：思路：由于缓慢拉动，圆环处于平衡状态．对圆环受力分析：圆环受到重力mg，细线的拉力F和轨道的弹力FN三个力的作用，受力分析如图，利用共点力的平衡处理．
　　解析一：用正交分解法．如图建立坐标系，各力在x、y方向上均平衡：
　　x方向　 FNsin2θ＝Fsinθ　 ①
　　y方向　 FNcos2θ+mg＝Fcosθ　　 ②
　　由①②得FN=mg
　　F=2mgcosθ
　　可见，在拉动过程中，轨道对环的弹力大小不变，拉力随θ角增
大而减小．
　　解析二：相似法．拉力F与弹力FN的合力与重力mg平衡，如图
1—22所示，则△OAB与△BCD相似，△OAB为等腰三角形，所以：
　　FN=mg　 F＝2mgcosθ
　　正确答案：C．
　　误区点拨：
　　从以上两种解法看，由于对力的平行四边形定则的理解和圆的数
学知识运用不当，容易出现错解．因此，解这类问题既要重视一般的
解题规律(即正交分解法和平行四边形法)，又要善于运用圆、平行四边
形的数学知识解决物理问题．
　　
思维迁移：
　　显然本题用相似形解决问题较简单，但无论哪种解析法，解题的关键是：正确画出受力分析图，运用力的平行四边形定则和圆的数学知识解决问题．

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