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第三讲 圆周运动
考点一：圆周运动的描述
例1·如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边沿接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1＝35 cm，小齿轮的半径R2＝4.0 cm，大齿轮的半径R3＝10.0 cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。(假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动) [答案]　2∶175
例2·如图为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n1，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是(　B　)
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮边缘线速度大小为n1 D．从动轮的转速为n1
课堂·巩固练习1
1·如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　D　)
A．线速度大小之比为3∶2∶2 B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2 D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
2·科技馆的科普器材中常有如图所示匀速率的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小，大齿轮半径（内径）是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是（ C ）
A．小齿轮逆时针转动 B．小齿轮每个齿的线速度均相同
C．小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍
D．大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮的3倍
3·在汽车无极变速器中，存在如图所示的装置，A是与B同轴相连的齿轮，C是与D同轴相连的齿轮，A、C、M为相互咬合的齿轮。已知齿轮A、C规格相同，半径为R，齿轮B、D规格也相同，半径为1.5R，齿轮M的半径为0.9R。当齿轮M如图方向转动时（ ABD ）
A．齿轮D和齿轮B的转动方向相同 B．齿轮D和齿轮A的转动周期之比为1:1
C．齿轮M和齿轮C的角速度大小之比为9:10
D．齿轮M和齿轮B边缘某点的线速度大小之比为2:3
考点二：圆周运动中向心力的确定
向心力是效果力，有其他性质力提供，确定向心力时首先对物体受力分析找到指向圆心的合力即为向心力
例1·如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g。
(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
(2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k＜1，求小物块受到的摩擦力的大小和方向。
例2·用一条细线把质量为M的圆环挂起来，环上穿着两个质量为m的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动（如图所示）。如果两小环同时从大环顶部释放并沿相反方向自由滑下，下落过程中小环与大环圆心的连线与竖直线的夹角用θ表示。要使绳子拉力在小环下落过程的某时刻刚好变为零，则
必须满足什么条件？
当满足上述条件时，θ角达到多大时，绳子拉力刚好变为零。
课堂·巩固练习2
1·如图所示，两个半径均为R的甲、乙大环，都在竖直平面内，甲环是粗糙的，乙环是光滑的，两个大环上套有相同的小环，让甲环绕圆心O在竖直平面内做沿逆时针方向的匀速圆周运动，甲与小环的动摩擦因数为μ，小环相对大环静止的位置与大环圆心的连线与过圆心竖直线成一定角度；现让乙环绕过圆心的竖直轴做匀速圆周运动，结果小环相对大环静止的位置与圆心的连线与竖直轴所成角度与甲环中小环的情况相同，则乙环转动的角速度为(　　)
A. B. C. D.
2·如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小x＝0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ。
3·为确保行车安全， 在高速公路的不同路段都会竖有限速指示牌。若有一段直行连接弯道的路段，其弯道半径R为60 m，弯道路面的倾斜角度θ为5°，最大静摩擦力为压力的μ＝0.37倍。假定直行路段的限速为120 km/h，限速指示牌的可见视野为100 m，驾驶员的操作反应时间为2 s，为保持平稳减速，限定最大减速加速度为2.5 m/s2。已知tan 5°＝0.087，g＝10 m/s2，试计算：
(1)指示牌应标注的限速为多少？
(2)至少应该在弯道前多少距离处设置限速指示牌。
考点三：圆周运动的周期性和多解性
因为圆周运动进行的周期性的循环运动，故其在与其他知识相结合时出现多解问题
我们在分析此类问题时首先要找出其中一种运动情况，然后在进行周期性的叠加即可解决问题
例1·如图竖直薄壁圆筒内壁光滑、半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A的正下方h处亦开有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从B口处飞出，小球进入A口的速率v0 不可能是 （ ACD ）
A．πR B．πR C．πR D．2πR
例2·一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速运动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是：（ B ）
A．dv02＝L2g B．ωL＝π(1＋2n）v0 (n＝0，1，2，3，…）
C．v0＝ω D．dω2＝gπ2(1＋2n）2 (n＝0，1，2，3…）
例3·如图所示，水平放置的圆盘上，在其边缘C点固定一个小桶，桶的高度不计，圆盘半径为R＝1 m，在圆盘直径CD的正上方，与CD平行放置一条水平滑道AB，滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，且B点距离圆盘圆心的竖直高度h＝1.25 m，在滑道左端静止放置质量为m＝0.4 kg的物块(可视为质点)，物块与滑道的动摩擦因数为μ＝0.2，现用力F＝4 N的水平作用力拉动物块，同时圆盘从图示位置，以角速度ω＝2π rad/s，绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用在物块一段时间后撤掉，最终物块由B点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内。重力加速度取10 m/s2。
(1)若拉力作用时间为0.5 s，求所需滑道的长度；
(2)求拉力作用的最短时间。答案：(1)4 m　(2)0.3 s
考点四：匀速圆周运动中的临界
摩擦力的临界
发生相对滑动的条件：之间静摩擦力达到最大静摩擦
【例1】（多选）如图在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动．三个物体与圆盘的滑动摩擦因数相同，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力．三个物体与轴O共线且OA=OB=BC=r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程，下列说法正确的是（　BCD）
A. A、B两个物体同时达到最大静摩擦力
B. B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变，A物体所受的静摩擦力先增大后减小再增大
C. 当时整体会发生滑动
D. 当时，在增大的过程中B、C间的拉力不断增大
绳子的临界
例2·如图所示，半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，A、B两点到球心的距离均为l。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(轻绳a、b与杆在同一竖直平面内)。求：
(1)竖直杆角速度ω为多大时，小球恰好离开竖直杆。ω＝2
(2)轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。
课堂·巩固练习3
1·如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是(　B　)
A．OB绳的拉力范围为0～mg B．OB绳的拉力范围为mg～mg
C．AB绳的拉力范围为mg～mg D．AB绳的拉力范围为0～mg
2·（多选）如图所示，在水平转台上放置用轻绳相连的质量相同的滑块1和滑块2，转台绕转轴OO′以角速度ω匀速转动过程中，轻绳始终处于水平状态，两滑块始终相对转台静止，且与转台之间的动摩擦因数相同，滑块1到转轴的距离小于滑块2到转轴的距离．关于滑块1和滑块2受到的摩擦力f1、f2与角速度的二次方的关系图线，可能正确的是(　AC　)
考点五：竖直面内的圆周运动
1、凸面脱轨
【例1】如图所示，横截面半径是r的圆柱体固定在水平地面上。一个质量为m的小滑块P从截面最高点A处以滑下。不计任何摩擦阻力。
1.试对小滑块P从离开A点至落地的运动过程做定性分析。
2.计算小滑块P落地时的瞬时速率。
【练习1】(2014·福建卷Ⅰ)图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．
(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面上的D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf；
(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)
2、做完整圆周运动的条件
【例2】 如图所示，AB与CD是两段半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，圆心连线O1O2水平，BC错开的距离略大于小球的直径，整个装置竖直放置于水平长轨道MN上，AB与水平轨道MN相切于A点。有一自由长度小于MP的轻弹簧左端固定于M处，右端与质量为m的小球接触(不拴接)。水平轨道MP段光滑，PA段粗糙、长为2R，运动小球受到PA段阻力为小球重力的0.25倍。开始时，弹簧处于被压缩的锁定状态，锁定时的弹性势能EP=5mgR，解除锁定后，小球将被弹出，重力加速度为g，试计算：
(1)小球对圆弧轨道A点压力的大小和方向；
(2)判断小球能否过D点，若能过D点，则计算小球落在轨道MN上的位置离D点的水平距离。
3、凹面不脱轨的条件
【例3】如图所示，AB是倾角为θ= 45°的倾斜轨道，BC是一个水平轨道（物体经过B处时无机械能损失），AO是一竖直线，O、B、C在同一水平面上。竖直平面内的光滑圆形轨道最低点与水平面相切于C点，已知：A、O两点间的距离为h=1 m，B、C两点间的距离d=2 m，圆形轨道的半径R=1 m。一质量为m =2 kg 的小物体（可视为质点），从与O点水平距离x0=3.6 m的P点水平抛出，恰好从A点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，最后进入圆形轨道。小物体与倾斜轨道AB、水平轨道BC之间的动摩擦因数都是μ=0.5，重力加速度g=10 m/s2。
（1）求小物体从P点抛出时的速度v0和P点的高度H；
（2）求小物体运动到圆形轨道最点D时，对圆形轨道的压力大小；
（3）若小物体从Q点水平抛出，恰好从A点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，最后进入圆形轨道，且小物体不能脱离轨道，求Q、O两点的水平距离x的取值范围。
【练习3】如图所示，足够长的光滑绝缘水平台左端固定一被压缩的绝缘轻质弹簧，一个质量m ＝0.04kg，电量q＝＋2×10－4C的可视为质点的带电滑块与弹簧接触但不栓接．某一瞬间释放弹簧弹出滑块，滑块从水平台右端A点水平飞出，恰好能没有碰撞地落到粗糙倾斜轨道的最高B点，并沿轨道滑下．已知AB的竖直高度h＝0.45m，倾斜轨道与水平方向夹角为α＝37°，倾斜轨道长为L＝2.0m，带电滑块与倾斜轨道的动摩擦因数μ＝0.5．倾斜轨道通过光滑水平轨道CD（足够长）与光滑竖直圆轨道相连，在C点没有能量损失，所有轨道都绝缘，运动过程滑块的电量保持不变．只有在竖直圆轨道处存在场强大小为E＝2×103V/m，方向竖直向下的匀强电场．cos37°=0.8，sin37°=0.6，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）被释放前弹簧的弹性势能？0.32J
（2）要使滑块不离开圆轨道，竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件？R<或=0.33m R>=0.82
（3）如果竖直圆弧轨道的半径R＝0.9m，滑块进入轨道后可以有多少次通过竖直圆轨道上距水平轨道高为0.01m的点P位置？6次
4.凹面脱轨的条件
【例4】有一个摆长为l的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点o的距离为x处（x5.补充问题：两物体运动过程中分离的条件
【例5】如图，长为L的轻杆一端连着质量为m的小球，另一端用铰链固接于水平地面上的O点，初始时小球静止于地面上，边长为L、质量为M的正方体左侧静止于O点处。现在杆中点处施加一大小始终为12mg/π，方向始终垂直杆的力F，经过一段时间后撤去F，小球恰好能到达最高点。忽略一切摩擦，试求：
（1）力F所做的功；
（2）力F撤去时小球的速度；
（3）若小球运动到最高点后由静止开始向右倾倒，求正方体的最终速度大小。
课堂·巩固练习4
1·如图所示，质量分别为mA和mB的两球（可视为质点）用长为L的轻杆连接紧靠墙壁竖直立于水平面上，已知A、B两球的质量之比为mA∶mB=5∶3，B球与水平面之间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。轻微扰动， A球将在图示平面内向右倾倒，已知重力加速度为g，，求：
(1)在B球移动前，A球绕B球转过角度为θ时，A球的速度大小
(2)A球绕B球转动角度为何值时，B球将离开墙壁
课后·巩固练习3
1·如图所示，双手端着半球形的玻璃碗，碗内放有三个相同的小玻璃球。双手晃动玻璃碗，当碗静止后碗口在同一水平面内，三小球沿碗的内壁在不同的水平面内做匀速圆周运动。不考虑摩擦作用，下列说法中正确的是
A.三个小球受到的合力值相等 B.距碗口最近的小球线速度的值最大
C.距碗底最近的小球向心加速度的值最小 D.处于中间位置的小球的周期最小
2·如图甲所示，倾角45°斜面置于粗糙的水平地面上，有一滑块通过轻绳绕过定滑轮与质量为的小球相连（绳与斜面平行），滑块质量为，滑块能恰好静止在粗糙的斜面上。在图乙中，换成 让小球在水平面上做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角θ，且转动逐渐加快，θ≤45°，在图丙中，两个小球对称在水平面上做圆周运动，每个小球质量均为，轻绳与竖直方向的夹角θ，且转动逐渐加快，在θ≤45°过程中，三幅图中，斜面都静止，且小球未碰到斜面，则以下说法中正确的是
A．甲图中斜面受到地面的摩擦力方向水平向左
B．乙图小球转动的过程中滑块受到的摩擦力可能为零
C．乙图小球转动的过程中滑块受到的摩擦力可能沿斜面向下
D．丙图小球转动的过程中滑块可能沿斜面向上运动
3·如图所示，竖直面内有固定轨道ABC，AB是半径为2R的四分之一光滑圆弧，BC是半径为R的粗糙半圆弧（B是轨道的最低点），O点是BC圆弧的圆心，POQ在同一水平线上，BOC在同一竖直线上。质量为m的小球自由下落2R后，沿轨道ABC运动，经过轨道C点后，恰好落到轨道上的P点。则下列说法正确的是
A．小球运动到B点前的瞬间对轨道的作用力是4mg
B．小球运动到B点后的瞬间对轨道的作用力是9mg
C．小球运动到C点的过程中，摩擦力做功
D．小球运动到C点的过程中，摩擦力做功
4·如图，一长为L的轻质细杆一端与质量为m的小球（可视为质点）相连，另一端可绕O点转动，现使轻杆在同一竖直面内做匀速转动，测得小球的向心加速度大小为g（g为当地的重力加速度），下列说法正确的是( )
A．小球的线速度大小为 B．小球运动到最高点时杆对小球的作用力竖直向上
C．当轻杆转到水平位置时，轻杆对小球的作用力方向不可能指向圆心O
D．轻杆在匀速转动过程中，轻杆对小球作用力的最大值为2mg
5·如图，半径为R=2m的四分之一圆轨道和直径为2m的半网轨道水平相切于d点，两圆轨道均光滑且在竖直平而内，可视为质点的小球从d点以某一初速度向左进入半圆轨道，刚好能通过半圆轨道的最高点a,从a点飞出后落在四分之一圆轨道上的b点，不计空气阻力，g取10m/s2。则b点与d点的竖直高度差为( )
A.3m B. C.5m D.
6·如图所示，一根原长为l0的轻弹簧套在光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO′匀速转动，且杆与水平面间始终保持30°角。已知杆处于静止状态时弹簧的压缩量为l0/2，重力加速度为g。则下列说法正确的是
A.弹簧为原长时，杆的角速度为 B当杆的角速度为时，弹簧处于压缩状态
C.在杆的角速度增大的过程中，小球与弹簧所组成的系统机械能不守恒
D.在杆的角速度由0缓慢增大到过程中，小球机械能增加了mgl0

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