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一．物体的受力分析 受力分析的基本技巧
（1）步骤：①明确研究对象（如一个点、一个物体或一个系统），并将其隔离、分析周围物体对它施加的力。②按顺序找力：首先重力，其次弹力（个数不多余周围与之接触的物体个数），再次摩擦力（个数不多余弹力），最后分析有无外加的已知力或其他场力。
（2）技巧：①善于转换研究对象，尤其是对于摩擦力不易判定的情形，可以借助相接触的受力判定，再应用牛顿第三定律。②假设法判断弹力、摩擦力的存在及方向的基本方法。
【例1】　如图所示，用一轻绳将小球P系于光滑墙壁上的O点，在墙壁和球P之间夹有一矩形物块Q，P、Q均处于静止状态，则下列说法正确的是 (　 　)
A．小球P受到3个力作用
B．物块Q受到3个力作用
C．小球P受到物块Q竖直向下的摩擦力作用
D．小球P受到物块Q的弹力是因小球P发生形变引起的
【例2】(多选)如图所示，木块b放在一固定斜面上，其上表面水平，木块a放在b上。用平行于斜面向上的力F作用于a，a、b均保持静止。则木块b的受力个数可能是(　 　)
A.2个　　　B．3个 C.4个 D．5个
【例3】(多选)如图所示，固定的斜面上叠放着A、B两木块，木块A与B的接触面是水平的，水平力F作用于木块A，使木块A、B保持静止，且F≠0，则下列描述正确的是( 　　)
A．B可能受到3个或4个力作用
B．斜面对木块B的摩擦力方向可能沿斜面向下
C．A对B的摩擦力可能为0 D．A、B整体可能受三个力作用
二．处理平衡问题的常用方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移，使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
【例4】如图，质量为m的正方体和质量为M的正方体放在两竖直墙和水平面间，处于静止状态。m和M的接触面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g，若不计一切摩擦，下列说法正确的是 ( 　)
A.水平面对正方体M的弹力大小大于(M＋m)g
B.水平面对正方体M的弹力大小为(M＋m)gcosα
C.墙面对正方体m的弹力大小为mgtanα
D.墙面对正方体M的弹力大小为mgcotα
应用平衡条件解题的步骤
(1)选取研究对象：据题目要求，选取一个平衡体(单个物体或系统，也可以是结点)作为研究对象。
(2)画受力示意图：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
(3)三个力直接合成或正交分解，四个及四个以上的力正交分解。
(4)列方程求解：根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论。
三．平衡中的临界与极值问题　解题技巧
1.动态平衡问题
通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
2.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
3.极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
4.解决动态平衡、临界与极值问题的常用方法
(1)解析法：利用物体受力平衡写出未知量与已知量的关系表达式，根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况，利用临界条件确定未知量的临界值。
(2)图解法：根据已知量的变化情况，画出平行四边形的边角变化，确定未知量大小、方向的变化，确定未知量的临界值。
【例5】一个质量为1 kg的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6 N，g＝10 m/s2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ，正确的是(　 　)
A．μ＝，θ＝0 B．μ＝，tanθ＝
C．μ＝，tanθ＝ D．μ＝，tanθ＝
【例6】将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F达到最小值时Oa线上的拉力为 (　 　)
A.mg　　　　　 　B．mg
C.mg D.mg
图解法处理动态平衡问题
在共点力的平衡中，有些题目中常有“缓慢”一词，则物体处于动态平衡状态。解决动态平衡类问题常用图解法，图解法就是在对物体进行受力分析(一般受3个力)的基础上，若满足有一个力大小、方向均不变，另有一个力方向不变时，再画出这3个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法，图解法也常用于求极值问题。
【例7】如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为 (　 　)
A.mg　　 　B.mg C.mg D.mg
【例8】(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定圆环上的A、B两点，O为圆心。O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为F1，绳OB与绳OA成α＝120°，拉力大小为F2。将两绳同时缓慢顺时针转过75°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是(　 　)
A.F1逐渐增大 B．F1先增大后减小
C.F2逐渐减小 D．F2先减小后增大
【例9】(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>)，现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程(　 　)
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
【例10】如图所示，重80N的物体A放置在倾角为30°的粗糙斜面上．有一根劲度系数为103N/m、原长为10cm的弹簧，其一端固定在斜面底端，另一端放置物体A后，弹簧长度缩短为8cm．现用一弹簧测力计沿斜面向上拉物体，若物体A与斜面间最大静摩擦力为25N，当弹簧长度仍为8cm时，平行斜面向上的拉力的可能为（ ）
A．0N 　　B．20N 　　C．40N　 D．60N
四．整体法与隔离法在平衡问题中的应用
方法概述
整体法是指将相互关联的各个物体看成一个整体的方法，整体法的优点在于只需要分析整个系统与外界的关系，避开了系统内部繁杂的相互作用。
隔离法是指将某物体从周围物体中隔离出来，单独分析该物体的方法，隔离法的优点在于能把系统内各个物体所处的状态、物体状态变化的原因以及物体间的相互作用关系表达清楚。
解题思路
【例11】三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半径为r0的环1上，彼此间距相等，绳穿过半径为r0的第2个圆环，另一端同样地系在半径为2r0的环3上，如图所示，环1固定在水平面上，整个系统处于平衡状态.试求第2个环中心与第3个环中心之间的距离.(三个环都是用相同的金属丝制作的，摩擦不计)
【例12】如图所示，A、B为相同的两个木块，叠放在水平地面C上，A、B用水平绳通过一个滑轮连接在一起，在滑轮上用一个水平力F，恰好使A、B两个木块一起沿水平地面向右匀速运动．不计轻绳和滑轮的质量以及滑轮轴的摩擦，关于A、B间的摩擦力f1和B、C间的摩擦力f2的大小，下列判断正确的是（　 　）
A．f1= F/2, f2 = F/2 B．f1= F/2 , f2 = F
C．f1 =0 , f2 = F 　　　 　 D．条件不足，无法判断
【例13】(多选)如图所示，横截面为直角三角形的斜劈A，底面靠在粗糙的竖直墙面上，力F指向球心水平作用在光滑球B上，系统处于静止状态。当力F增大时，系统还保持静止，则下列说法正确的是(　 　)
A.A所受合外力增大
B.A对竖直墙壁的压力增大
C.B对地面的压力一定增大
D.墙面对A的摩擦力可能变为零
　(1)用整体法进行受力分析时不要再考虑系统内物体间的相互作用。
(2)用隔离法时一般隔离受力较少的物体。
【例14】如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平地面上，一条细线一端与斜面上的物体B相连，另一端绕过质量不计的定滑轮与物体A相连，定滑轮用另一条细线悬挂在天花板上的O点，细线与竖直方向成α角，A、B、C始终处于静止状态，下列说法正确的是(　　)
A.若仅增大A的质量，B对C的摩擦力一定减小
B.若仅增大A的质量，地面对C的摩擦力一定增大
C.若仅增大B的质量，悬挂定滑轮的细线的拉力可能等于A的重力
D.若仅将C向左缓慢移动一点，α角将增大
提升精练
1．有一直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m,两环间用一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）．现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN 和细绳上的拉力T的变化情况是（　　）
Ａ．FN不变，T变大　　　 B．FN不变，T变小 　
C．FN变小，T变小　　　 D．FN变大，T变小
2．如图所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，滑轮轴上的摩擦不计．A、B两物体的质量分别为m1和m2 ,处于静止状态，则以下说法不正确的是（ ）
A．m2一定等于m1 B．m2一定大于m1g/ 2
C．θ1角与θ2角一定相等
D．当B的质量m2稍许增加时，绳子间的张角θ1+θ2一定增大，系统仍能达到平衡状态
3．如图所示，物块A在斜面上恰能自由匀速下滑．斜面倾角为θ．现在对物块施一竖直向下的力F，F的作用线过物块的重心．则物块的运动状态是（ ）
　 Ａ．仍然做匀速运动　 B．加速下滑　
C．减速下滑　 D．变为静止
4．一个质点受到如图所示的五个共点力F1、F2、F3、F4、F5的作用，则质点所受合力的大小为（ ）
Ａ．2F4 B．2F5 C．F4+F5 D．F5
5．（多）如图所示，质量为m的小球与三根相同的螺旋形轻弹簧相连，静止时，相邻两弹簧间的夹角均为120°．已知弹簧a、b对小球的作用力均为F，则弹簧c对小球的作用力的大小可能为（ ）
A．F　 B．F+mg 　 C．F-mg 　　D．mg-F
6.如图，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量之比为(　　)
A. B. C. D.
7．如图，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为N。在运动过程中(　 　)
A．F增大，N减小 B．F减小，N减小
C．F增大，N增大 D．F减小，N增大
8．如图，小球C置于内侧面光滑的半球形凹槽B内，B放在长木板A上，整个装置处于静止状态。在缓慢减小木板的倾角θ过程中，下列说法正确的是( 　　)
A．A受到的压力逐渐减小
B．A受到的摩擦力逐渐减小
C．C对B的压力逐渐变大
D．C受到三个力的作用
9．一串小灯笼(五只)彼此用轻绳连接，并悬挂在空中。在稳定水平风力作用下发生倾斜，绳与竖直方向的夹角为30°，如图所示。设每只灯笼的质量均为m。则自上往下第一只灯笼对第二只灯笼的拉力大小为(　 　)
A．2mg B.mg C.mg D．8mg
10．如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同:①中弹簧的左端固定在墙上；②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用；③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；④弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动．若认为弹簧的质量都为零，以l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（ ）
A．l2 > l1 B． l4> l3 C．l1 > l3 D．l2 = l4
11．如图所示，将三个完全相同的光滑球用不可伸长的细线悬挂于O点并处于静止状态。已知球半径为R，重为G，线长均为R。则每条细线上的张力大小为(　　)
A．2G B.G C.G D.G
12．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=600．两小球的质量比为m2/m1为（ ）
A． B． C． D．
(
P
) (
Q
)13．如图所示，A、B两物体的质量分别为mA和mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计．如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ如何变化？（ ）
A．物体A的高度升高，θ角变大
(
A
) (
B
)B．物体A的高度降低，θ角变小
C．物体A的高度升高，θ角不变
D．物体A的高度不变，θ角变小
14．如图所示，用轻绳将小球悬于O点，力F拉住小球使悬线偏离竖直方向600角，小球处于平衡状态，要使F有最小值，F与竖直方向的夹角θ是（ ）
A．900 B．600 C．300 D．00
15．如图所示，竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，在Q的正上方的P点用丝线悬挂另一质点B，A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A、B两质点的电荷量逐渐减少，在电荷漏电完毕之前悬线对悬点P的拉力大小（ ）
A．变小 B．变大
C．不变 D．无法确定
16.如图（a）所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，A、B两点到O点的距离相等，绳的长度为OA的两倍．图(b)所示为一质量和半径中忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略．现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？
　
参考答案
【例1】C 【例2】CD 【例3】BD 【例4】D 【例5】B
【解析】　受力分析如图所示，因为物体处于平衡状态，
水平方向有Fcosα＝μFN， 竖直方向有Fsinα＋FN＝mg.
联立可解得：F＝＝，
tanφ＝，当α＋φ＝90°， 即α＝arctanμ时，sin(α＋φ)＝1，
F有最小值：F min＝， 代入数值得μ＝，此时α＝θ，tanθ＝tanα＝.
【例6】尝试解答　选A。以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体的受力图，根据平衡条件得知：F与T的合力与重力mg总是大小相等、方向相反的，由力的合成图可知，当F与绳子Oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，根据平衡条件得：F＝2mgsin30°＝mg，T＝2mgcos30°＝mg，A正确。
【例7】解析　对C点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD对C点的拉力FCD＝mgtan30°，对D点进行受力分析，绳CD对D点的拉力F2＝FCD＝mgtan30°，故F2是恒力，F1方向一定，则F1与F3的合力与F2等值反向，如图所示，由图知当F3垂直于绳BD时，F3最小，由几何关系可知，F3＝FCDsin60°＝mg, C正确。
【例8】解析　物体始终保持静止，则物体所受合力为零，所以Mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，由于重力不变，F1和F2的夹角α＝120°不变，即β＝60°，当θ＝β＝60°，F1为圆的直径，最大，所以F1先增大后减小，F2一直减小。
【例9】AD 【解析】　由题意可知，重物在运动过程中受重力，MN绳拉力TMN，OM绳拉力TOM，TMN与TOM夹角保持不变．在某一时刻三个力受力分析示意图如图所示将此三个力平移为矢量三角形如图所示：因为mg大小方向不变．TMN与TOM的夹角不变，故可将三个力平移入圆中，mg为一条固定的弦(固定的弦所对应的圆周角为定值)．
由图可得TMN从0逐渐变为直径，故TMN逐渐增大，A项正确，B项错误，TOM先从弦变为直径再变为弦，故TOM先变大后变小，C项错误，D项正确，故选A、D两项．
【例10】ABC 【例11】解:过中心作一截面图，如图所示，由于对称，每根绳上张力相同，设为F.设环2的质量为m，则环3的质量为2m.
对环2和3整体有:3F = mg + 2mg
对环3有:3Fsinθ= 2mg
由以上两式得: 即，所以.
【例12】解：以A、B和滑轮为整体，在水平方向平衡，则f2与F构一对平衡力，所以f2应水平向左，大小f2 = F. 只在B、C两个选项中去确定．对滑轮有2 T = F,
∴ T = F/2 ．隔离A出来，A木块在水平方向受二个力而匀速运动，如图所示，所以f1 = T = F/2 .正确选项为B．
【例13】BCD
【例14】解析　隔离物体B进行受力分析，因不确定mAg和mBgsinθ的大小关系，故斜面体C对物体B的静摩擦力大小和方向无法确定，选项A错误；对物体B和斜面体C整体进行受力分析，增大mAg，导致细线的拉力变大，其水平向左的分力变大，根据平衡条件，地面对斜面体C水平向右的静摩擦力也必将变大，选项B正确；当悬挂定滑轮的细线的拉力等于mAg时，两细线间的夹角为120°，由题设条件可知：连接物体A和物体B间的细线间夹角不会达到120°，选项C错误；设AB间细线的拉力为F2，连接天花板的细线的拉力为F1，则对定滑轮受力分析有：F1sinα＝F2·cosθ，F1cosα＝F2＋F2·sinθ，得tanα＝，所以α大小不变，选项D错误。
课后精练
1B解：以P、Q两环为整体，因为OB杆光滑，在竖直方向上，整体受两个外力：重力2mg和水平杆AO对P环的支持力FN，所以FN =2mg为不变量．只能在A、B两个答案中去选，P环左移后，细绳与竖直方向的夹角θ变小，Q环受到的重力mg为不变量，所以将Q环隔离出来，在竖直方向应用平衡条件有：T cosθ= mg . cosθ↑,∴ T↓.　　正确答案为B
2.A 3.A 4. B 5. BC 6.B 7.A 8. 9.C 10.D
11.B 解析　本题中O点与各球心的连线及各球心之间连线，构成一个边长为2R的正四面体，如图所示(A、B、C为各球球心)，O′为△ABC的中心，设∠OAO′＝θ，由几何关系知O′A＝R，由勾股定理得OO′＝＝R，对A处球受力分析有：Fsinθ＝G，又sinθ＝，解得F＝G，故只有B项正确。
12.A 13.C 14.C 15.C
16.
实验补充
1.　(2018·天津静海一中等六校联考)某同学在做探究弹力和弹簧伸长量的关系的实验中，设计了如图甲所示的实验装置。所用的每个钩码质量都是30g。他先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在弹簧的下端，每次都测出在弹簧稳定时相应的弹簧总长度L，将数据填入表中。(弹簧始终未超过弹性限度，g取9.8m/s2)
钩码质量/g 0 30 60 90 120 150
弹力大小/×0.294N 0 1 2 3 4 5
弹簧总长/cm 6.00 7.00 8.01 9.00 10.00 11.02
(1)根据表中数据，在图乙给定的坐标系中描点并作出弹簧所受弹力大小F跟弹簧总长L之间的关系图线。
(2)图线跟坐标轴L交点的数值表示 。该弹簧的劲度系数为
N/m(保留两位有效数字)。
2．(2018·江苏徐州调研)某同学为了验证力的平行四边形定则，准备了三根相同的橡皮筋、木板、重物、刻度尺、三角板、铅笔、细绳套、白纸、钉子等器材。操作步骤如下：
a．把三根橡皮筋的一端系在一起，另一端分别系一个细绳套；
b．将白纸固定在木板上，在木板上钉两个钉子，将任意两根橡皮筋上的绳套分别套在两钉子上；
c．立起木板，如图甲所示，将重物挂在剩下的一个绳套上；
d．记录下三根橡皮筋的长度和橡皮筋结点的位置O以及每个细绳的方向；
e．取下白纸，利用橡皮筋的伸长量大小作为拉力大小，作出力的图示，验证力的平行四边形定则；
f．换用不同质量的重物重复实验。
(1)此实验还需
A．测量重物的质量
B．记录下两个钉子的位置
C．测量橡皮筋的原长
(2)某次实验，测得三根橡皮筋的伸长量及方向。把橡皮筋的伸长量作为拉力大小，作出力的图示，请任选两个力，根据力的平行四边形定则在图乙上作出它们的合力；
(3)在(2)问作出的图中，根据 可以说明力的合成满足平行四边形定则。
(4)如果换用不同质量的重物再次重复该实验，不需要(填“需要”或“不需要”)改变钉子的位置，使橡皮筋的结点回到原来的位置O点。
1.[答案]　
[答案]　(1)见解析图
[解析]　(1)根据实验数据在坐标系中描出点，画一条直线，使尽可能多的点落在这条直线上，不在直线上的点均匀地分布在直线两侧。如图所示。
(2)设弹簧原长为L0，则F＝k(L－L0)，故图线与L轴的交点表示弹簧的原长，由图线斜率表示弹簧的劲度系数知k＝，可得k＝29N/m。
方法技巧：
图象法处理弹簧弹力问题
用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹簧弹力大小与弹簧伸长量间的关系。注意分析图象的斜率、截距的意义。
[解析]　(1)实验中使用了三根相同的橡皮筋，故三根橡皮筋的弹力随伸长量的变化关系相同，即伸长量的大小可以表示弹力的大小，故只需要测量三根橡皮筋的伸长量即可，故A错误；在以上步骤中已经记录了每条细绳的方向，不需要记录两个钉子的位置，故B错误；本实验需要测量橡皮筋的伸长量，步骤d中测量了橡皮筋悬挂重物后的长度，要计算伸长量，需要测量橡皮筋的原长，故选C。
(2)根据力的平行四边形定则作出合力，如图所示。
(3)根据力的平行四边形定则作出任意两根橡皮筋弹力的合力，当合力与第三根橡皮筋的弹力的大小近似相等，方向近似相反时，即说明在误差允许的范围内力的合成满足平行四边形定则。
(4)因为该实验中把橡皮筋的伸长量大小作为拉力大小，作出力的图示，验证力的平行四边形定则，故换用不同质量的重物再次重复该实验时，不需要改变钉子的位置，也不需要使橡皮筋的结点回到原来的位置O点。

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