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☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题十 函数与导数
第1讲 基本初等函数
一、指数函数
(1)指数幂的性质
①　　 　 ②　 ③　　　　　　　　　 　　　　
(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图象
性质 定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0，1)
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01
在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0二、对数函数
1.对数的定义
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
2.几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN
常用对数 底数为10 lg N
自然对数 底数为e ln N
3.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①loga1＝0 ②logaa＝1 ③＝N； ④logaaN＝N．
(2)对数的运算法则
①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④＝logaM
(2)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②logab＝(a，b均大于零且不等于1)．
4．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图 象
性 质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0
当x>1时，恒有y>0； 当01时，恒有y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
三、二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
四、幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
1．设集合A，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＞1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}
2．已知集合，B＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，则A∩B的真子集个数为（　　）
A．32 B．31 C．16 D．15
3．若集合A＝{x|ln（x﹣1）≤0}，B＝{x||x|≥2}，则A∩（ RB）＝（　　）
A．（﹣2，2） B．（1，2） C．[1，2） D．（1，2]
4．已知集合M＝{x|log2x＜1}，N＝{x|x2≤1}，则M∪N＝（　　）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2） C．[﹣1，2） D．（0，1]
5．已知集合A＝{x|lnx＞0}，B＝{x|2x﹣2＜1}，则A∩B＝（　　）
A．{x|x＜2} B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}
6．　 　．
7．已知5a＝8，4b＝5，则ab＝（　　）
A．2 B． C． D．1
8．设，且，则m＝（　　）
A．6 B． C． D．
9．（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
10．16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，设N＝365，则N所在的区间为（　　）（e＝2.71828…是自然对数的底数）
A．（e17，e18） B．（e18，e19） C．（e19，e20） D．（e21，e22）
11．函数f（x）＝ax+1+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（　　）
A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣1，2） D．（﹣1，3）
12．函数f（x）＝ax与g（x）＝x+a在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
13．在同一直角坐标系中，函数f（x）＝2﹣ax，g（x）＝loga（x+2）（a＞0且a≠1）的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
14．设a＝1.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
15．已知，a，b，c，则（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
16．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
17．若，b＝3log83，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b
18．已知a＝log20.8，b＝log0.70.6，c＝0.70.6，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题十 函数与导数
第1讲 基本初等函数
一、指数函数
(1)指数幂的性质
①　　 　 ②　 ③　　　　　　　　　 　　　　
(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图象
性质 定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0，1)
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01
在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0二、对数函数
1.对数的定义
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
2.几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN
常用对数 底数为10 lg N
自然对数 底数为e ln N
3.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①loga1＝0 ②logaa＝1 ③＝N； ④logaaN＝N．
(2)对数的运算法则
①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④＝logaM
(2)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②logab＝(a，b均大于零且不等于1)．
4．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图 象
性 质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0
当x>1时，恒有y>0； 当01时，恒有y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
三、二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
四、幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
1．设集合A，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＞1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}
【解答】解：A＝{x|x≥1}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，，
∴A∩B＝{x|1≤x＜2}．
故选：D．
2．已知集合，B＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，则A∩B的真子集个数为（　　）
A．32 B．31 C．16 D．15
【解答】解：∵集合{x|}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，
∴A∩B＝{0，1，2，3}，
∴A∩B的真子集个数为24﹣1＝15．
故选：D．
3．若集合A＝{x|ln（x﹣1）≤0}，B＝{x||x|≥2}，则A∩（ RB）＝（　　）
A．（﹣2，2） B．（1，2） C．[1，2） D．（1，2]
【解答】解∵A＝（1，2]， RB＝（﹣2，2），
∴A∩（ RB）＝（1，2）．
故选：B．
4．已知集合M＝{x|log2x＜1}，N＝{x|x2≤1}，则M∪N＝（　　）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2） C．[﹣1，2） D．（0，1]
【解答】解：因为M＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，N＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，
则M∪N＝{x|﹣1≤x＜2}．
故选：C．
5．已知集合A＝{x|lnx＞0}，B＝{x|2x﹣2＜1}，则A∩B＝（　　）
A．{x|x＜2} B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}
【解答】解：集合A＝{x|lnx＞0}＝{x|x＞1}，
B＝{x|2x﹣2＜1}＝{x|x＜2}，
则A∩B＝{x|1＜x＜2}．
故选：D．
6．　3　．
【解答】解：原式＝[（）3]1＝2+1＝3，
故答案为：3．
7．已知5a＝8，4b＝5，则ab＝（　　）
A．2 B． C． D．1
【解答】解：由5a＝8，4b＝5，可得a＝log58，b＝log45，
即ab＝log58 log45，
故选：B．
8．设，且，则m＝（　　）
A．6 B． C． D．
【解答】解：设，则a，b＝log3m，
∵，
∴2，
∴m2，解得m．
故选：D．
9．（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【解答】解：．
故选：A．
10．16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，设N＝365，则N所在的区间为（　　）（e＝2.71828…是自然对数的底数）
A．（e17，e18） B．（e18，e19） C．（e19，e20） D．（e21，e22）
【解答】解：因为N＝365，
所以lnN＝5ln36＝10ln6＝10（ln2+ln3）≈10（0.6931+1.0986）＝17.917，
所以N＝e17.917．
故选：A．
11．函数f（x）＝ax+1+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（　　）
A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣1，2） D．（﹣1，3）
【解答】解：由x+1＝0，解得x＝﹣1，此时y＝1+2＝3，
即函数的图象过定点（﹣1，3），
故选：D．
12．函数f（x）＝ax与g（x）＝x+a在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：g（x）＝x+a的斜率为1，排除A、B；
如果a＞1，则函数f（x）＝ax是增函数，选项CD都不成立，
所以a∈（0，1），函数是减函数，所以排除D，
故选：C．
13．在同一直角坐标系中，函数f（x）＝2﹣ax，g（x）＝loga（x+2）（a＞0且a≠1）的图象大致为（　　）
A． B．C． D．
【解答】解：∵a＞0且a≠1，∴f（x）为减函数，排除C；
若a＞1，则g（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，此时f（x）的斜率为﹣a＜﹣1，排除B；
若0＜a＜1，则g（x）在（﹣2，+∞）上单调递减，此时f（x）的斜率为﹣1＜﹣a＜0，排除D；
故选：A．
14．设a＝1.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解答】解：函数y＝x0.6为增函数；故a＝1.60.6＞c＝1.50.6＞1，
而b＝0.61.5＜0.60＝1，
故b＜c＜a，
故选：D．
15．已知，a，b，c，则（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【解答】解：∵a，b，c，y＝2x是增函数，
，
∴c＜b＜a．
故选：D．
16．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，
b＝log0.50.2log25＞log24＝2．
c＝0.50.2＜1，
∴b最大，a、c都小于1．
∵a＝log52，c＝0.50.2．
而log25＞log24＝2，
∴．
∴a＜c，
∴a＜c＜b．
故选：A．
17．若，b＝3log83，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【解答】解：∵，
b＝3log83＝log23，
（）0＝1，
∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．
故选：D．
18．已知a＝log20.8，b＝log0.70.6，c＝0.70.6，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【解答】解：a＝log20.8＜0，b＝log0.70.61，c＝0.70.6∈（0，1），
∴a＜c＜b．
故选：C．

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