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专题九 解析几何
第5讲 抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
一．选择题（共14小题）
1．已知抛物线y2＝2px的焦点为F（1，0），则p＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
2．焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（　　）
A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x
3．抛物线y2＝8x上一点P到x轴的距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为（　　）
A．8 B．20 C．22 D．24
4．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M与焦点F的距离为10，点M到x轴的距离为2p，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，那么点P到y轴的距离是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
7．过抛物线y2＝4x焦点F的直线l与其交于A，B两点，若|AF|＝2，则|BF|＝（　　）
A．2 B． C． D．1
8．已知双曲线的右顶点和抛物线y2＝8x的焦点重合，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）
A．4 B． C．3 D．
10．设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为（　　）
A． B． C．或 D．或
11．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为（　　）
A．（） B．（0，） C．（2） D．（0，2）
12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若3，则|QF|＝（　　）
A．8 B．4 C．6 D．3
13．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
14．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
二．解答题（共2小题）
15．已知抛物线的顶点在原点，过点A（﹣4，4）且焦点在x轴．
（1）求抛物线方程．
（2）直线l过定点B（﹣1，0），与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l的方程．
16．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，A（2，y0）是E上一点，且|AF|＝2．
（1）求E的方程；
（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x﹣3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题九 解析几何
第5讲 抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
一．选择题（共14小题）
1．已知抛物线y2＝2px的焦点为F（1，0），则p＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点为F（1，0），
可得1．解得p＝2，
故选：B．
2．焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（　　）
A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x
【解答】解：根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为y2＝2px，
又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，
故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，
故选：D．
3．抛物线y2＝8x上一点P到x轴的距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为（　　）
A．8 B．20 C．22 D．24
【解答】解：由抛物线的方程可得焦点F（2，0），准线方程为：x＝﹣2，
设P（m，n），由题意可得8m＝n2，由P到x轴的距离为12可得|n|＝12，所以m＝18，
再由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以点P到抛物线焦点F的距离为18+2＝20，
故选：B．
4．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M与焦点F的距离为10，点M到x轴的距离为2p，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：设点M（x，y），由题意可知，，
所以M（10，±2p），又因为M点在抛物线上，
所以，4p2＝2p（10），
∴p＝4．
故选：C．
5．已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，那么点P到y轴的距离是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由抛物线的方程可得：p＝2，
又由抛物线的定义可知点P到F的距离等于点P到抛物线的准线的距离，
则点P到y轴的距离为|PF|5﹣1＝4，
故选：C．
6．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【解答】解：由椭圆a，b，c2＝a2﹣c2＝4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），
由抛物线y2＝2px的焦点，则2，则p＝4，
故选：D．
7．过抛物线y2＝4x焦点F的直线l与其交于A，B两点，若|AF|＝2，则|BF|＝（　　）
A．2 B． C． D．1
【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
设A（x，y），
则|AF|＝x+1＝2，故x＝1，此时y＝2，即A（1，2），
所以B（1，﹣2）
则|BF|＝1+1＝2，
故选：A．
8．已知双曲线的右顶点和抛物线y2＝8x的焦点重合，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：双曲线的右顶点为，抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），所以m＝4，
故选：D．
9．F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）
A．4 B． C．3 D．
【解答】解：由题意可知，p＝1，
由抛物线的定义可得，|AF|+|BF|＝xA+xB+p＝xA+xB+1＝8，
∴xA+xB＝7，
∴线段AB的中点到y轴的距离为：．
故选：D．
10．设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为（　　）
A． B． C．或 D．或
【解答】解：设该A坐标为（x，y），抛物线C：y2＝3x的焦点为F（，0），
根据抛物线定义可知x3，解得x，代入抛物线方程求得y＝±，
故A坐标为：（，），AF的斜率为：，
则直线FA的倾斜角为：或．
故选：C．
11．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为（　　）
A．（） B．（0，） C．（2） D．（0，2）
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到准线的最小距离为，
就是顶点到焦点的距离是，即，
则抛物线的焦点坐标为（，0）．
故选：A．
12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若3，则|QF|＝（　　）
A．8 B．4 C．6 D．3
【解答】解：设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得|QF|＝d，
∵3，
∴|QP|＝3d，
∴直线PF的斜率为±，
∵F（1，0），准线l：x＝﹣1，
∴直线PF的方程为y＝±（x﹣1），
与y2＝4x联立可得x（舍）或x＝2，
∴|QF|＝2+1＝3．
故选：D．
13．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
【解答】解：抛物线y2＝8x的准线方程为x＝﹣2，
∵|AF|＝6，
∴A到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，
∵点A在抛物线上，
∴A的坐标A（4，4）
∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（﹣4，0），
∴|PO|＝|PB|，
∴|PA|+|PO|的最小值：|AB|4．
故选：C．
14．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x的焦点（2，0）重合，
可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：，
抛物线的准线方程为：x＝﹣2，
代入椭圆方程，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．
∴|AB|＝6．
故选：B．
二．解答题（共2小题）
15．已知抛物线的顶点在原点，过点A（﹣4，4）且焦点在x轴．
（1）求抛物线方程．
（2）直线l过定点B（﹣1，0），与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l的方程．
【解答】解：（1）设抛物线方程为y2＝﹣2px，抛物线过点（﹣4，4），
42＝﹣2p（﹣4），得p＝2，
则y2＝﹣4x．
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝﹣1
与抛物线交于（﹣1，﹣2）、（﹣1，2），弦长为4，不合题意
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为y＝k（x+1），
消y得k2x2+（2k2+4）x+k2＝0，x1+x2，x1x2＝1；
弦长8，解得k2＝1，得k＝±1，
所以直线l方程为y＝x+1或y＝﹣x﹣1．
16．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，A（2，y0）是E上一点，且|AF|＝2．
（1）求E的方程；
（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x﹣3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．
【解答】（1）解：根据题意知，4＝2py0，①
因为|AF|＝2，所以y02．②．
联立①②解的y0＝1，p＝2．
所以E的方程为x2＝4y．
（2）证明：设B（x1，y1），M（x2，y2）．由题意，可设直线BM的方程为y＝kx+b，代入x2＝4y，得x2﹣4kx﹣4b＝0．
由根与系数的关系．得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b．③
由MP⊥x轴及点P在直线y＝x﹣3上，得P（x2，x2﹣3），
则由A，P，B三点共线，得，
整理，得（k﹣1）x1x2﹣（2k﹣4）x1+（b+1）x2﹣2b﹣6＝0．
将③代入上式并整理，得（2﹣x1）（2k+b﹣3）＝0．
由点B的任意性，得2k+b﹣3＝0，所以y＝kx+3﹣2k＝k（x﹣2）+3．
即直线BM恒过定点（2，3）．

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