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专题九 解析几何
第3讲 椭圆
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
对称性 关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标 　(a,0)，(－a,0)， 　(0，b)，(0，－b)
　(b,0)，(－b,0)， 　(0，a)，(0，－a)
焦点坐标 (c,0)，(－c,0) (0，c)，(0，－c)
半轴长 长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率 e＝
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
一．选择题（共14小题）
1．焦点在x轴上，且a2＝13，b＝1的椭圆的标准方程为（　　）
A．
B．或
C．或
D．
2．已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的焦点为（﹣1，0）和（1，0），点P（2，0）在椭圆上，则椭圆的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知椭圆C：4x2+3y2＝12，其焦点坐标为（　　）
A．（±1，0） B．（0，±1） C． D．
5．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（　　）
A．y2＝1
B．1
C．y2＝1或1
D．y2＝1或x2＝1
6．已知椭圆C：1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．点P在焦点为F1（﹣4，0）和F2（4，0）的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
8．已知椭圆的焦点分别为F1F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则三角形F1PF2的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．已知椭圆C：1的右焦点、右顶点、上顶点分别为F，A，B，则S△FAB＝（　　）
A． B． C．2 D．
10．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
11．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C与A、B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（　　）
A．1 B．y2＝1
C．1 D．1
12．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且△PF1F2的周长为16，则m的值是（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
14．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（　　）
A．1 B．2 C． D．1
二．解答题（共6小题）
15．已知离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（1，0）作斜率为2直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB|的长．
16．设点M是椭圆C：1（a＞b＞0）上一动点，椭圆的长轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求点M到直线l1：x+y﹣5＝0距离的最大值．
17．已知椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，设直线y＝x+2交椭圆C于A、B两点．求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）弦AB的中点坐标及弦长．
18．已知椭圆的右焦点为F、过F的直线与椭圆E交于点A、B、当直线AB的方程为时，直线AB过椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知点，若|MA|＝2|MB|，求直线AB的斜率．
19．已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，点P（x，y）是该椭圆上任意一点，当PF2⊥x轴时，，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记m＝x+y，求实数m的最大值．
20．已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0），|AB|，求直线l的倾斜角．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题九 解析几何
第3讲 椭圆
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
对称性 关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标 　(a,0)，(－a,0)， 　(0，b)，(0，－b)
　(b,0)，(－b,0)， 　(0，a)，(0，－a)
焦点坐标 (c,0)，(－c,0) (0，c)，(0，－c)
半轴长 长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率 e＝
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
一．选择题（共14小题）
1．焦点在x轴上，且a2＝13，b＝1的椭圆的标准方程为（　　）
A．
B．或
C．或
D．
【解答】解：由于a2＝13，b2＝1，
∵焦点在x轴上，故椭圆标准方程为．
故选：D．
2．已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵椭圆的一个焦点为，
∴b2＝2，c，
∴a2＝b2+c2＝3+2＝5，
∴椭圆方程为．
故选：C．
3．已知椭圆的焦点为（﹣1，0）和（1，0），点P（2，0）在椭圆上，则椭圆的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设椭圆方程为1（a＞b＞0），
由题意可得c＝1，a＝2，b，
即有椭圆方程为1．
故选：B．
4．已知椭圆C：4x2+3y2＝12，其焦点坐标为（　　）
A．（±1，0） B．（0，±1） C． D．
【解答】解：由椭圆C：4x2+3y2＝12，可得，则焦点在y轴上，c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，
其焦点坐标为（0，±1）．
故选：B．
5．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（　　）
A．y2＝1
B．1
C．y2＝1或1
D．y2＝1或x2＝1
【解答】解：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，
即有a＝2b，
由于椭圆经过点（2，0），
则若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，
椭圆方程为1；
若焦点y轴上，则b＝2，a＝4，
椭圆方程为1．
故选：C．
6．已知椭圆C：1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆C：1的一个焦点为（2，0），
可得a2﹣4＝4，解得a＝2，
∵c＝2，
∴e．
故选：C．
7．点P在焦点为F1（﹣4，0）和F2（4，0）的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：由题意，2c＝8，即c＝4，
∵△PF1F2面积的最大值为16，∴，
即4b＝16，b＝4，
∴a2＝b2+c2＝16+16＝32．
则椭圆的标准方程为．
故选：C．
8．已知椭圆的焦点分别为F1F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则三角形F1PF2的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆的焦点分别为F1F2，点P在椭圆上，则：2a＝6，
若|PF1|＝4，所以|PF2|＝2，2c＝2．
利用余弦定理：cosF1PF2，
则：2．
故选：C．
9．已知椭圆C：1的右焦点、右顶点、上顶点分别为F，A，B，则S△FAB＝（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意，可知a＝2，b，c＝1．
故F（1，0），A（2，0），B（0，）．
∴S△FAB （a﹣c） b （2﹣1） ．
故选：B．
10．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，即b＝3c，
则a，
所以椭圆的离心率为e，
故选：A．
11．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C与A、B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（　　）
A．1 B．y2＝1
C．1 D．1
【解答】解：由椭圆的性质可知：4a，即a＝2，
椭圆的离心率e，c＝2，
b2＝a2﹣c2＝12﹣4＝8，
∴椭圆的方程为：，
故选：D．
12．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由b2x2+a2y2＝1（a＞b＞0），椭圆C：，
作出椭圆图象如图：
则AF＝a+c，AB，BF＝a．
由题意可得：AF2＝AB2+BF2，
∴（a+c）2＝a2+b2+b2+c2，
∴a2﹣c2＝ac， e2+e﹣1＝0．
∴e（负值舍去）．
故选：A．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且△PF1F2的周长为16，则m的值是（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
【解答】解：由椭圆，得a＝5，
点P在C上，且△PF1F2的周长为16，
故2a+2c＝16．
解得c＝3，∵a＝5，b2＝a2﹣c2＝25﹣9＝16，可得m＝4．
故选：D．
14．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（　　）
A．1 B．2 C． D．1
【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），
所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），
解得e．
故选：D．
二．解答题（共6小题）
15．已知离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（1，0）作斜率为2直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB|的长．
【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，c2＝b2＝2，
故椭圆C的方程为 ；
（Ⅱ）∵过点（1，0）作斜率为2直线l，
∴直线l：y＝2x﹣2，
联立，整理，得9x2﹣16x+4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，
∴|AB|
16．设点M是椭圆C：1（a＞b＞0）上一动点，椭圆的长轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求点M到直线l1：x+y﹣5＝0距离的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知2a＝4，则a＝2，离心率e，则c＝2，
b2＝a2﹣c2＝4，
所以椭圆的标准方程；
（2）设M（2cosθ，2sinθ），（0≤θ＜2π）则M到直线x+y﹣5＝0的距离d，
所以当sin（θ）＝﹣1时，d取最大值，最大值为．
所以点M到直线l1：x+y﹣5＝0距离的最大值．
17．已知椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，设直线y＝x+2交椭圆C于A、B两点．求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）弦AB的中点坐标及弦长．
【解答】解：（1）∵椭圆C的焦点为F1（）和 F2（），长轴长为6，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝2，a＝3，∴b＝1，
∴椭圆C的标准方程
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
AB线段的中点为M（x0，y0）
由，消去y，得10x2+36x+27＝0，
∴，，
∴，∵，
∴弦AB的中点坐标为（，），
．
18．已知椭圆的右焦点为F、过F的直线与椭圆E交于点A、B、当直线AB的方程为时，直线AB过椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知点，若|MA|＝2|MB|，求直线AB的斜率．
【解答】解：（1）因为过F的直线与椭圆E交于点A、B、当直线AB的方程为时，直线AB过椭圆的一个顶点．
可得c＝b，所以a2＝c2+c21，
所以椭圆的方程为：x21；
（2）由题意可得直线AB的斜率不为0，设方程为x＝my，设A（x1，y2），B（x2，y2），
联立，整理可得：（2+m2）y20，
可得Δ＝2m2﹣4（2+m2）×（）＞0恒成立，
y1+y2①，y1y2②，
因为kAM+kBM
0，
所以x轴平分∠AMB，由y1y2＜0，|MA|＝2|MB|可得y1＝﹣2y2③，
由①②③可得y2，y1，
可得 ，解得m2，
所以直线的斜率满足k2，
即直线的斜率为±．
19．已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，点P（x，y）是该椭圆上任意一点，当PF2⊥x轴时，，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记m＝x+y，求实数m的最大值．
【解答】解：（1）因为|PF1|+|PF2|＝4＝2a，a＝2，
所以，∴c＝1，
可得b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，
所以椭圆标准方程为：；
（2）法（一）设x＝2cosθ，，
，最大值是．
法（二）因为m＝x+y，可得y＝﹣x+m，
联立方程：，整理可得：7x2﹣8mx+4m2﹣12＝0，
Δ＝64m2﹣28（4m2﹣12）＝48（7﹣m2）≥0，
可得，
所以m的最大值为．
20．已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0），|AB|，求直线l的倾斜角．
【解答】解：（1）由椭圆的离心率e，则a2＝4b2，a＝2b，①
由2a×2b＝4，即ab＝2，②
由①②解得：a＝2，b＝1，
∴椭圆的方程；
（2）由题知，A（﹣2，0），直线l斜率存在，故设l：y＝k（x+2），
则，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）＝0，Δ＞0，
由，得，，
∴，
∴，∴k＝±1．
故直线的倾斜角为或．

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