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数列求和及其综合应用
数列求和的常用方法
(1)公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式求和．
(2)分组转化法：把数列转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项公式
①＝－；②＝；③＝－.
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式推导过程的推广．
(5)错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和．
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例1.设等差数列前n项和为，等比数列的各项都为正数，且满足，，．(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前21项的和．（答案可保留指数幂的形式）
【答案】(1)，；(2).
(1)设等差数列公差为d，正项等比数列公比为q(q>0)，依题意，，解得，所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.
(2)由(1)知，，数列是等差数列，首项为2，公差为4，
，数列是等比数列，首项为4，公比为4，
而，数列的前21项的和：
，
所以数列的前21项的和为.
练习1．定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，求．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，所以.
当时，．
当时，由得．
上述两个等式作差得，即，
又因为满足，所以.
(2)解：因为，所以.
所以，
所以．
所以，即．
例2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋＝n＋1.
(1)求Sn，an；(2)若bn＝(－1)n－1·，{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
解　(1)令n＝1，得a1＋＝2，(＋2)(－1)＝0，解得a1＝1，
所以＝n，即Sn＝n2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
当n＝1时，a1＝1适合上式，所以an＝2n－1.
(2)bn＝(－1)n－1·＝(－1)n－1·＝(－1)n－1·.
当n为偶数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝－＋－＋…－＝1－＝，
当n为奇数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝－＋－＋…＋＝1＋＝，
综上所述，Tn＝
练习2.已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.
【答案】（1），（2）
【解析】
（1）对任意，有，①
当时，有，解得或.
当时，有.②①-②并整理得.
而数列的各项均为正数，.当时，，
此时成立；当时，，此时，不成立，舍去.，.
（2）
.
例3.正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.
【答案】（1）an＝2n.；（2）证明见解析．
练习3.已知数列的前项和，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．
（1）当时，，
当时，， ……2分
当时，也满足上式，故， ……3分
∵成等比数列，∴， ……4分
∴，∴
∴； ……6分
由（1）可得，
　 ……9分
∴．
例4.已知等差数列满足,前7项和.
(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.
,解得..
(2)
前项和
.
巩固练习：
1.(2021·洛阳第一高级中学月考)已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝n2＋n(n∈N*)，设数列{bn}满足bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn<λ(n∈N*)恒成立，则λ的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为a1＋a2＋…＋an＝n2＋n(n∈N*)，
所以 a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)2＋(n－1)(n∈N*，n≥2)，
故an＝2n，即an＝2n2(n≥2)．当n＝1时，a1＝12＋1＝2，满足上式，
故an＝2n2(n∈N*)．bn＝＝，
故Tn＝＝＝，
故Tn<λ(n∈N*)恒成立等价于<λ，即<λ恒成立，化简，得＋<λ，
因为＋≤＋＝，故λ>.
2.已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a8等于(　　)
A．－16 B．－8 C．8 D．16
答案　C
解析　当n为奇数时，n＋1为偶数，则an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，所以a1＋a3＋a5＋a7＝－(3＋7＋11＋15)＝－36.当n为偶数时，n＋1为奇数，则an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，则a2＋a4＋a6＋a8＝5＋9＋13＋17＝44.所以a1＋a2＋a3＋…＋a8＝－36＋44＝8，故选C.
3.已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 022等于(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
答案　D
解析　∵an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，……，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故选D。
4.已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0,6Sn＝a＋3an，n∈N*，bn＝，若 n∈N*，k>Tn恒成立，则k的最小值是(　　)
A. B. C．49 D.
答案　B
解析　当n＝1时，6a1＝a＋3a1，解得a1＝3或a1＝0.
由an>0，得a1＝3.由6Sn＝a＋3an，得6Sn＋1＝a＋3an＋1.
两式相减得6an＋1＝a－a＋3an＋1－3an.所以(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0.
因为an>0，所以an＋1＋an>0，an＋1－an＝3.即数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列，
所以an＝3＋3(n－1)＝3n.所以bn＝＝＝.
所以Tn＝＝<.
要使 n∈N*，k>Tn恒成立，只需k≥.故选B.
5.(2021·大连模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝25，且a3－1，a4＋1，a7＋3成等比数列．①求数列{an}的通项公式；②若bn＝(－1)nan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求T2n.
解　①由题意知，等差数列{an}的前n项和为Sn，
由S5＝25，可得S5＝5a3＝25，所以a3＝5，
设数列{an}的公差为d，
由a3－1，a4＋1，a7＋3成等比数列，
可得(6＋d)2＝4(8＋4d)，
整理得d2－4d＋4＝0，解得d＝2，
所以an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.
②由①知bn＝(－1)nan＋1＝(－1)n(2n－1)＋1，
所以T2n＝(－1＋1)＋(3＋1)＋(－5＋1)＋(7＋1)＋…＋[－(4n－3)＋1]＋(4n－1＋1)＝4n.
6.在正项等比数列中，已知.
（1）求数列通项公式；（2）令，求数列的前100项的和.
（1）设公比为，则由题意可知又，解得，所以.
（2）由（1）可得，
则数列的前100项的和
.
7.(雅礼2022届高三月考五)已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝.
(1)求证：数列为等比数列．
(2)若＋＋＋…＋＜100，求满足条件的最大整数n.
【解析】(1)由an＋1＝得＝·＋，则－1＝，(3分)
又a1＝，－1＝≠0，(4分)
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列．(5分)
(2)由(1)可得，－1＝·＝，∴＝＋1，(6分)
则＋＋＋…＋＝2＋n＝2×＋n＝1－＋n.(7分)
由＋＋＋…＋＜100，得1－＋n＜100，即n－＜99，
∵y＝n－为单调增函数，∴满足n－＜99的最大正整数n为99.
即满足条件的最大整数n＝99.(10分)
8.（雅礼中学2022届高三月考七）已知正项数列，其前项和为．（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知，①所以有，②
②-①，得，即，∴，
所以数列是公比为的等比数列．又，∴．
所以
（2）由（1）得，
当n为奇数时，
当n为偶数时，
综上所述，数列求和及其综合应用
数列求和的常用方法
(1)公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式求和．
(2)分组转化法：把数列转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项公式
①＝－；②＝；③＝－.
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式推导过程的推广．
(5)错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和．
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例1.设等差数列前n项和为，等比数列的各项都为正数，且满足，，．(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前21项的和．（答案可保留指数幂的形式）
练习1．定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，求．
例2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋＝n＋1.
(1)求Sn，an；(2)若bn＝(－1)n－1·，{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
练习2.已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.
例3.正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.
练习3已知数列的前项和，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．
例4.已知等差数列满足,前7项和.
(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.
巩固练习：
1.(2021·洛阳第一高级中学月考)已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝n2＋n(n∈N*)，设数列{bn}满足bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn<λ(n∈N*)恒成立，则λ的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
2.已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a8等于(　　)
A．－16 B．－8 C．8 D．16
3.已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 022等于(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
4.已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0,6Sn＝a＋3an，n∈N*，bn＝，若 n∈N*，k>Tn恒成立，则k的最小值是(　　)
A. B. C．49 D.
5.(2021·大连模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝25，且a3－1，a4＋1，a7＋3成等比数列．①求数列{an}的通项公式；②若bn＝(－1)nan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求T2n.
6.在正项等比数列中，已知.
（1）求数列通项公式；（2）令，求数列的前100项的和.
7.(雅礼2022届高三月考五)已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝.
(1)求证：数列为等比数列．(2)若＋＋＋…＋＜100，求满足条件的最大整数n.
8.（雅礼中学2022届高三月考七）已知正项数列，其前项和为．（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和．

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