资源简介

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1.2　空间向量基本定理
【考点梳理】
考点一　空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
考点二　空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
考点三　证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
考点三　求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0.
知识点三　求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
【题型归纳】
题型一：空间向量基底概念及辨析
1．若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是　　
A． B． C． D．或
题型二：空间基底表示向量
4．如图，平行六面体中，为的中点.若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，设，若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：空间向量基本定理判断共面
7．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
9．对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关
题型四：空间向量共面求参数
10．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
12．若空间四点 共面且则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
题型五：空间向量基本定理及其应用
13．以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成120°的二面角.若，，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知存在非零实数使得，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
15．在四棱柱中，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【双基达标】
16．已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
17．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
18．关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）.
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．若，则是锐角
19．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
20．下列命题中正确的个数是（ ）．
①若与共线，与共线，则与共线．
②向量，，共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．
④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
21．若构成空间的一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．以上都不行
22．已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
23．下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
24．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
25．在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
26．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在三棱锥中，设，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
28．在四面体中，，点在上，且为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
29．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
30．设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
31．在四棱柱中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
32．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
33．已知是所在平面外一点，是中点，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
34．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
36．若是空间的一个基底，且，则叫在基底下的坐标.已知在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
37．如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ）
A． B．
C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面
38．下列说法正确的是（ ）
A．空间中任意两非零向量共面
B．直线的方向向量是唯一确定的
C．若，则A，B，C，D四点共面
D．在四面体中，E，F为，中点，G为中点，则
39．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ）
A．， B．， C．， D．，
40．下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，，若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．任意向量，，满足
三、填空题
41．如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用 的线性组合表示___________.
42．如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________．
43．设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.
44．已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.
45．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）
四、解答题
46．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为与的交点，设，，．
(1)用，，表示并求BM的长；
(2)求点A到直线BM的距离．
47．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
48．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：
(1)的值.
(2)线段AC1 的长
49．如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．
(1)用，，表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．
50．如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】
选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
2．C
【解析】
【分析】
以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．
【详解】
如图，作平行六面体，，，，
则，，，，
由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作为空间的基底的有3组．
故选：C．
3．C
【解析】
【分析】
根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．
【详解】
解：由题意和空间向量的共面定理，
结合，
得与、是共面向量，
同理与、是共面向量，
所以与不能与、构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与、构成空间的一个基底．
故选：．
4．A
【解析】
【分析】
利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.
【详解】
，故，，，即
故选：.
5．A
【解析】
【分析】
利用向量的加法及减法的三角形法则，结合向量的数乘运算及共线向量定理即可求解.
【详解】
由，得,由，得,
所以，
故选：A.
6．D
【解析】
【分析】
由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．
【详解】
即
故选：D．
7．C
【解析】
【分析】
根据向量共面定理即可求解．
【详解】
解：对A：，故A选项中向量共面；
对B：，故B选项中向量共面；
对D：，故D选项中向量共面；
假设，，共面，则存在实数使得，则共面，与已知矛盾，故C选项中向量不共面；
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.
【详解】
对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.
故选：D.
9．B
【解析】
【分析】
根据空间共面向量的定义进行判断即可.
【详解】
由
，
所以A，B，C，P四点共面，
故选：B
10．D
【解析】
【分析】
根据空间四点共面的充要条件代入即可解决
【详解】
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线
可得，解之得
故选：D
11．B
【解析】
【分析】
根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.
【详解】
，即
整理得
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得 ，解之得
故选：B
12．D
【解析】
【分析】
化简可得，由四点共面可知系数和，计算即可得解.
【详解】
依题意，
由四点共面,则系数和，则.
故选：D
13．C
【解析】
【分析】
根据二面角的平面角的定义得是和折成120°的二面角的平面角，解三角形求得，，由已知得点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离，设点P到平面ABC的距离为h，运用等体积法可求得答案.
【详解】
解：由已知得，所以是和折成120°的二面角的平面角，所以，
又，所以，
，所以，
因为，其中，所以点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离，
设点P到平面ABC的距离为h，
因为，，所以平面BDC，所以AD是点A到平面BDC的距离，
所以，
又中，，所以，
所以，则，所以，解得，
所以的最小值为，
故选：C.
14．A
【解析】
【分析】
根据向量的共面定理，得到，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，存在非零实数使得，可得，即四点共面，
因为，
根据向量的共面定量，可得，即，
又由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
15．A
【解析】
【分析】
由求出，再利用余弦定理求出，再利用余弦定理求出得解.
【详解】
解：由题得
所以,
所以,
所以.
在中，由余弦定理得.
所以，
在中，由余弦定理得.
故选：A
16．C
【解析】
【分析】
由不共面的三个向量能构成一组基底判断.
【详解】
A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；
D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
故选：C
17．D
【解析】
【分析】
利用空间向量基本定理逐个判断各个选项即可．
【详解】
解：对于选项A：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项A错误，
对于选项B：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项B错误，
对于选项C：因为，，，共面，不能构成基底，故选项C错误，
对于选项D：若，，共面，则，即，则，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项D正确.
故选：D．
18．D
【解析】
【分析】
对A，根据空间向量共面定理即可判断；
对B，根据即可判断；
对C，根据题意可知不共面，进而判断答案；
对D，由可得夹角的范围，进而判断答案.
【详解】
对A，根据空间向量共面定理可知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面.A正确；
对B，因为，且，所以、、、四点共面.B正确；
对C，因为是空间的一组基底，所以不共面，则也不共面，而，则也是空间的一组基底.C正确；
对D，若，则.D错误.
故选：D.
19．C
【解析】
【分析】
根据共面向量定理逐一判断即可.
【详解】
A：因为，所以M，A，B，C四点共面，
所以，，共面，则不能成立空间的一个基底；
B：，
因为，
所以M，A，B，C四点共面，
所以，，共面，则不能成立空间的一个基底；
C ：因为，
所以M，A，B，C四点不共面，
所以，，不共面，则能成立空间的一个基底；
D： ，
所以A，B，C三点共线，这与已知矛盾，故不符合题意，
故选：C
20．B
【解析】
【分析】
举例，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．
【详解】
①当时，与不一定共线，故①错误；
②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，
故②错误；
由空间向量基本定理知③正确；
④当，不共线且时，，，共面，故④错误．
故选：B．
21．C
【解析】
【分析】
根据题意结合空间向量的共面定理即可求解.
【详解】
解：对A，因为，所以向量与向量，共面，故A错误；
对B，因为，所以向量与向量，共面，故B错误；
对C，因为构成空间的一个基底，所以向量与和不共面，所以向量与向量，构成空间的一个基底，故C正确；
对D，因为C正确，故D错误.
故选：C.
22．C
【解析】
【分析】
由不共面的向量可作为基底即可得出选项.
【详解】
由图形结合分析
三个向量共面，不构成基底，
故选：C
23．C
【解析】
【分析】
根据基底、直线的方向向量等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；
对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；
对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.
故选：C
24．A
【解析】
【分析】
利用空间向量的基本定理求解.
【详解】
解：，
，
，
，
故选；A
25．D
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.
【详解】
由已知，
所以，，
故选：D.
26．A
【解析】
【分析】
根据空间向量的加减运算，即可求得答案.
【详解】
由题意得：，
故选：A
27．A
【解析】
【分析】
连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项.
【详解】
连接
.
故选：A
28．B
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
【详解】
解：点在线段上，且，为中点，
，，
．
故选：B．
29．B
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.
【详解】
，
，
故选：B
30．B
【解析】
【分析】
G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出
【详解】
因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，
所以，
因为，
所以
,
因为，
所以，
所以为，
故选：B
31．D
【解析】
【分析】
根据题意利用空间向量基本定理求解即可
【详解】
因为，所以，
所以
，
所以A错误
因为，所以，
所以
,
故选：D
32．D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.
【详解】
由题意得，.
故选：D
33．A
【解析】
【分析】
利用向量减法的三角形法则进行计算即可.
【详解】
因为M是PC中点，
，又，
，
∴.
故选：A.
34．C
【解析】
【分析】
将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】
由题意得，，
因为
,
所以
，
所以，
故选：C
35．C
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理求解，即用表示出即可得．
【详解】
由题意，
又，
所以，．
故选：C．
36．B
【解析】
【分析】
利用空间向量的基本定理列方程，化简求得正确答案.
【详解】
依题意，
设，
即，
所以，
所以在另一组基底下的坐标为.
故选：B
37．BD
【解析】
【分析】
根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性.
【详解】
，A选项错误.
，B选项正确.
则是的中点，
，
，
则不存在实数使，所以C选项错误.
，
由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.
故选：BD
38．AC
【解析】
【分析】
由空间中任意两个向量都共面判断A；由直线的方向向量定义判断B；由共面定理的推理判断C；根据向量的平行四边形法则判断D.
【详解】
对于A，空间中任意两个向量都共面，故A正确；
对于B，空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量，故B错误；
对于C，因为，所以，，因为，所以A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D，因为E，F为，中点，G为中点，所以，，故D错误；
故选：AC
39．CD
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】
因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，
所以由平面向量基本定理可知：
，
化简得：，显然有，
而，所以有，
当，时，，所以选项A不可能；
当，时，，所以选项B不可能；
当，时，，所以选项C可能；
当，时，，所以选项D可能，
故选：CD
40．ABC
【解析】
【分析】
空间向量垂直的数量积表示可判断A；由向量四点共面的条件可判断B；由空间向量基底的定义可判断C； 是一个数值，也是一个数值，说明和存在倍数关系，或者说共线，可判断D.
【详解】
空间向量，，若，则，故A正确；
对空间中任意一点O，有，
且，则P、A、B、C四点共面，故B正确；
因为是空间的一组基底，所以不共面，，则也不共面，
即也是空间的一组基底，故C正确；
任意向量，，满足，由于是一个数值，也是一个数值，
则说明和存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D错误.
故选：ABC.
41．
【解析】
【分析】
先求出，再由求解即可.
【详解】
在中，因为是的中点，所以，
所以.
故答案为：.
42．
【解析】
【分析】
由题知，共面，即平面，取中点，连接、、，易证平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，由勾股定理计算可得.
【详解】
解：因为成立，所以共面，即平面，
如图，取中点，连接、、，
根据正方体的性质得，，平面，平面，平面，，同理可证平面，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，，
由勾股定理得，
故答案为：.
43．
【解析】
【分析】
设，由空间向量分解的唯一性，，列出方程组求解即可
【详解】
由题意，不妨设
由空间向量分解的唯一性：
故，解得
则
故答案为：
44．1
【解析】
【分析】
通过平面向量基本定理推导出空间向量基本定理得推论.
【详解】
因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：
即，整理得：，
又，所以，，，从而.
故答案为：1
45．
【解析】
【分析】
利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.
【详解】
，而M是四面体OABC的棱BC的中点，则，
因AP＝3PN，，则，
所以.
故答案为：
46．(1)，BM的长为．
(2)2
【解析】
【分析】
(1)根据空间向量的基本定理可得，利用空间向量的几何意义，等式两边同时平方，计算即可；
(2)由(1)可得，进而可得，即为点A到直线BM的距离.
(1)
又，，，
故BM的长为．
(2)
由（1）知，，
∴，
所以，则为点A到直线BM的距离，
又，故点A到直线BM的距离为2．
47．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据面面垂直的性质证明平面，可得，再将用表示，再根据向量数量积的运算律证明，即可得证；
（2）根据（1），根据，将用表示，从而可得出答案.
(1)
证明：在矩形中，，
因为平面平面，且平面平面，
平面，
所以平面，
又因平面，所以，
，
所以，
所以；
(2)
解：因为，
所以，
则，
即的长为.
48．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接套用向量的内积公式即可；
（2）选取作为一组基底，用基底表示，
=代入求解即可得出答案.
(1)
=
=.
(2)
选取作为一组基底，
则，
则
=
=
=
=
=
=.
49．(1)；
(2)存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；
（2）根据空间向量共线向量的性质，结合空间向量垂直的性质进行求解即可.
(1)
；
(2)
假设存在点，使，设，
显然，
，
因为，所以，
即，
，
因为，，，
所以有：，
即，
解得，所以当时， .
50．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；
(1)
解：，
，
又
(2)
解：由（1）可得知
试卷第1页，共3页

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