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1.3空间向量及其运算的坐标表示
【考点梳理】
考点一　空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
考点二　空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
考点三　空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
考点四　空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
考点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
考点六　空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝.
【题型归纳】
题型一：空间向量的坐标表示
1．在空间直角坐标系中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（ ）．
A．3 B．4
C．5 D．6
3．已知是空间的一个单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，则它在基底下的坐标为（ ）．
A． B．
C． D．
题型二：用空间向量求点的坐标
4．在空间直角坐标系中，若，，则点B的坐标为（ ）
A．（3，1，﹣2） B．（-3，1，2） C．（-3，1，-2） D．（3，-1，2）
5．已知点，，为线段上靠近点的三等分点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型三：空间向量的坐标运算问题
7．若，则=（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A． B．或
C． D．或
题型四：空间向量的模长的坐标问题
10．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
11．设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
题型五：空间向量的平行的坐标表示问题
13．已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
14．向量，若，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
15．已知，则下列向量中与平行的是（ ）
A． B． C． D．
题型六：空间向量的垂直的坐标表示问题
16．已知，若，则m的值为（ ）
A．3 B． C． D．4
17．已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．0
18．已知向量，，，若，则实数（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
题型七：空间向量的夹角的坐标问题
19．已知，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
20．已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
21．若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（ ）
A．0 B．－ C．0或－ D．0或
题型八：空间向量的投影的坐标问题
22．已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
23．已知向量，，则在的方向上的数量投影为（ ）
A． B． C． D．
24．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
【双基达标】
25．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．以上都不对
26．已知向量，若，则实数x的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
27．下列四个结论正确的是 （ ）
A．任意向量，若，则或
B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
C．空间中任意向量都满足
D．已知向量，若，则为钝角
28．已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．0°
29．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．以上都不对
30．平行六面体中，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
31．已知向量，，若与互相垂直，则的值为（ ）
A．－1 B．2 C． D．1
32．设，向量，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
33．已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ）
A． B．
C． D．
34．若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
35．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（ ）
A．3 B． C． D．
36．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
37．已知，，则等于（ ）
A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23
38．已知向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．，不平行
39．设x，,向量，且，则的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【高分突破】
一、单选题
40．在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．17或
41．已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
42．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
43．已知空间向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
44．已知，，，若，则（ ）
A． B． C．11 D．4
二、多选题
45．已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量与向量共线
C．向量关于轴对称的向量为
D．向量关于平面对称的向量为
46．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
47．若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B．17 C．1 D．
48．对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ）
A．若，则，的夹角是钝角
B．若，，则
C．若，则
D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
三、填空题
49．已知，，，则的坐标为______．
50．已知点，向量且，则点的坐标为___________.
51．已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则=___________．
52．已知向量 ， 若 ，则实数________．
53．已知向量，，，若，，共面，则___________.
54．已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.
四、解答题
55．已知，．
(1)求的值；
(2)当时，求实数k的值．
56．已知，，，，为与的夹角，求的值．
57．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.
(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；
(2)求证：.
58．设，，且.记.
(1)求与y轴正方向的夹角的余弦值；
(2)若，，，向量与、都垂直，且，求的坐标.
59．已知点，，，设，．
(1)求，夹角的余弦值．
(2)若向量，垂直，求的值．
(3)若向量，平行，求的值．
60．已知空间中三点、、，设，．
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量与互相垂直，求实数k的值；
(3)求以，为一组邻边的平行四边形的面积S．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
直接利用空间向量的坐标运算求解.
【详解】
解：因为，，
所以.
故选：B
2．A
【解析】
【分析】
设，先表示的坐标，进而表示的坐标，再根据，求得，进而得到的坐标求解.
【详解】
设，
则，
，
因为，
所以，即，
解得，
所以，
所以，
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
根据题意，可设向量，，，根据向量加减法运算求出和的坐标，结合条件可设，联立方程组求出，即可得出向量在基底下的坐标.
【详解】
解：由于是空间的一个单位正交基底，
可设向量，，，
则向量，，
又向量在基底下的坐标为，
不妨设，
则，
即，解得：，
所以向量在基底下的坐标为．
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
利用点的坐标表示向量坐标，即可求解.
【详解】
设，，
，
所以，，，解得：，，，
即.
故选：C
5．C
【解析】
【分析】
根据空间向量的坐标表示与线性运算法则，求出的坐标表示即可．
【详解】
解：因为，，为线段上靠近点的三等分点，
可得：，
所以，，
所以，，
即点的坐标为：．
故选：C．
6．C
【解析】
【分析】
利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.
【详解】
因点Q在直线上运动，则，有，于是有，
因此，，，
于是得，
则当时，，此时，点Q，
所以当取得最小值时，点Q的坐标为.
故选：C
7．D
【解析】
【分析】
利用向量线性关系的坐标运算求即可.
【详解】
.
故选：D
8．B
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算直接求解即可
【详解】
，，∴．
故选：B．
9．C
【解析】
【分析】
由已知条件，先求出，从而即可求解.
【详解】
解：因为，所以，
所以与向量同向共线的单位向量，
故选：C.
10．D
【解析】
【分析】
由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长.
【详解】
由，则，即，
有，
所以，
所以，则
故选：D
11．D
【解析】
【分析】
利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】
因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
12．C
【解析】
【分析】
利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长.
【详解】
由题设，则.
故选：C
13．B
【解析】
【分析】
利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值.
【详解】
，，
则，
由，可得，解之得
故选：B
14．C
【解析】
【分析】
根据空间向量平行的坐标公式即可求出结果.
【详解】
由题意可得知，则，因此，所以，
故选：C.
15．B
【解析】
【分析】
根据空间向量平行的坐标公式可判断出结果.
【详解】
对于A，因为，所以A不正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C不正确；
对于D，因为，所以D不正确.
故选：B
16．A
【解析】
【分析】
根据向量垂直时，数量积等于0，列出相应方程，求得答案.
【详解】
由题意可得，
故 ，则 ，
故选：A
17．B
【解析】
【分析】
先求出的坐标，再根据数量积为0可求的值.
【详解】
，
因为向量与互相垂直，故，故，
故选：B
18．B
【解析】
【分析】
由向量坐标运算求出，根据，得，计算可得.
【详解】
，因为，所以，所以，所以2.
故选：B
19．B
【解析】
【分析】
利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.
【详解】
解：，，
.
故选：B.
20．C
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算求出，再由夹角公式求解即可.
【详解】
由，解得，
所以，，所以，
因为，所以.
故选：C
21．C
【解析】
【分析】
由空间向量夹角余弦的坐标表示直接计算可得.
【详解】
由题知，
即，解得或.
故选：C
22．B
【解析】
【分析】
根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：B
23．C
【解析】
【分析】
直接由数量投影的公式求解即可.
【详解】
由题意知：在的方向上的数量投影为.
故选：C.
24．C
【解析】
【分析】
根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】
解：因为，，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：C
25．C
【解析】
【分析】
根据空间向量垂直平行的性质判断即可
【详解】
由题，因为，故，又，故
故选：C
26．D
【解析】
【分析】
解方程即得解.
【详解】
解：因为，所以.
故选：D
27．B
【解析】
【分析】
A选项，也可以是，；B选项，利用向量线性运算得到，从而得到三点共线；C选项可以举出反例；D选项，求出为钝角时的取值范围，从而得到答案.
【详解】
则或或，，故A错误；
若空间中点O，A，B，C满足，
即，
所以，化简得：，
则A，B，C三点共线，B正确；
设。则不满足，C错误；
，则，
令得：，当时，，此时反向，
要想为钝角，则且，故D错误.
故选：B
28．A
【解析】
【分析】
结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结果.
【详解】
因为，，
所以，，
设向量与的夹角为，则
，
因为，所以，故向量与的夹角为，
故选：A.
29．C
【解析】
【分析】
直接由空间向量平行和垂直的坐标表示求解即可.
【详解】
由题意知：，，故，.
故选：C.
30．B
【解析】
【分析】
利用空间向量的坐标表示，即得.
【详解】
设，
∵，又，
∴，
解得，即.
故选：B.
31．B
【解析】
【分析】
根据与互相垂直，可得，再根据数量积的坐标运算即可得解.
【详解】
解：因为与互相垂直，
所以，
即，解得.
故选：B.
32．A
【解析】
【分析】
根据向量平行和垂直的坐标表示求出y和x即可．
【详解】
，
∥，
∴.
故选：A.
33．B
【解析】
【分析】
利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可.
【详解】
A：因为向量与向量夹角的余弦值为，
所以向量与向量夹角为，故不符合题意；
B：因为向量与向量夹角的余弦值为，
所以向量与向量夹角为，故符合题意；
C：因为向量与向量夹角的余弦值为，
所以向量与向量夹角为，故不符合题意；
D：因为向量与向量夹角的余弦值为
，所以向量与向量夹角为，故不符合题意，
故选：B
34．D
【解析】
【分析】
根据为平行四边形，得到，设，将向量用坐标表示后，代入上式即可求解.
【详解】
为平行四边形，,设，则，
，解得.
故选：D.
35．A
【解析】
【分析】
由空间向量垂直的坐标表示计算．
【详解】
由题意，，，
，
因为，
所以，．
故选：A．
36．C
【解析】
【分析】
由空间向量的坐标运算求解
【详解】
，，则
故选：C
37．C
【解析】
【分析】
由题可得，再利用数量积的坐标表示即得.
【详解】
∵，，
∴，
∴.
故选：C.
38．C
【解析】
【分析】
A选项直接由坐标加法进行判断；B选项直接由数量积运算进行判断；C选项先计算，再计算模长；
D选项直接判断共不共线即可.
【详解】
，A正确；，B正确；
，C错误；
，，不平行，D正确.
故选：C.
39．A
【解析】
【分析】
根据向量的垂直和平行列出相应的方程组，解得的值，可得答案.
【详解】
由得： ，解得，
故，
故选：A.
40．D
【解析】
【分析】
根据题意，结合空间向量的数量积的运算公式和空间向量的夹角公式，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，
可得，，，
因为与的夹角为，可得，即，
整理得，解得或.
故选：D.
41．A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，设，由正六边形的性质可知，再根据空间向量数列积公式，即可求出结果.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，且，
由正六边形的性质可得，，
设，其中，
所以，，
所以，所以的取值范围.
故选：A.
42．C
【解析】
【分析】
求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】
由已知可得，故．
故选：C.
43．A
【解析】
【分析】
根据向量的数量积的运算公式，求得，结合，即可求解.
【详解】
由题意，空间向量，，，
可得，
则.
故选：A.
44．B
【解析】
【分析】
根据空间向量共线的性质进行求解即可.
【详解】
，，
因为，所以，
解得，，故.
故选：B
45．ABC
【解析】
【分析】
根据空间向量模的公式，结合共线向量、线对称、面对称的性质逐一判断即可.
【详解】
A：因为，所以本选项说法正确；
B：因为，所以向量与向量共线，因此本选项说法正确；
C：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，
因为点关于轴对称的点的坐标为，
所以向量关于轴对称的向量为，因此本选项说法正确；
D：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，
因为点关于平面对称点的坐标为，
所以向量关于平面对称的向量为，
故选：ABC
46．BD
【解析】
【分析】
利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.
【详解】
因为，所以，不垂直，A错，
因为，所以，B对，
因为，所以，所以不是钝角，C错，
因为在方向上的投影向量，D对，
故选：BD.
47．BD
【解析】
【分析】
由空间向量夹角的坐标表示求解
【详解】
由题意得
解得或
故选：BD
48．BD
【解析】
【分析】
根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.
【详解】
A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；
B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；
C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；
D：假设，，是共面向量，
所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，
故选：BD
49．
【解析】
【分析】
由向量的坐标表示可得，再根据向量坐标的线性运算求的坐标.
【详解】
由题设，，
所以.
故答案为：
50．
【解析】
【分析】
设，得出的坐标，利用向量相等列方程组求解即可.
【详解】
解：设，则，
因为，，所以，解得，
所以点的坐标为.
故答案为：.
51．2
【解析】
【分析】
根据空间向量的坐标运算与数量积公式求解即可
【详解】
因为，
故答案为：2
52．
【解析】
【分析】
利用列方程，即可求解.
【详解】
因为向量，且，
所以，
解得：.
故答案为：.
53．2
【解析】
【分析】
由，，共面，设，由坐标运算列出方程求解即可.
【详解】
因为，，共面，设，则，则，解得.
故答案为：2.
54．
【解析】
【分析】
先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可
【详解】
由题，，故在上的投影向量的模
故答案为：
55．(1)25
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式求解即可；
（2）根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式求解即可
(1)
因为，，故，，故
(2)
，，，因为，故，即，故，即，故或
56．
【解析】
【分析】
根据空间向量的数量积公式及运算律，再利用空间向量的摸长公式，结合空间向量的夹角公式及向量夹角的范围即可求解.
【详解】
，
，
∴．∵，，
∴，
∴．
所以的值为.
57．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，可得出、、三点的坐标；
（2）利用空间向量垂直的坐标表示可证得结论成立.
(1)
解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、.
(2)
证明：依题意可得、，则，，
所以，，所以.
58．(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由向量的夹角公式计算即可.
（2）由向量的模长公式以及数量积公式直接计算即可得到答案.
(1)
y轴正方向的单位向量，，
.
(2)
若，，，，，
即，设.
由已知得解得或即或.
59．(1)
(2)或.
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值.
（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.
（3）利用共线向量定理可求参数的值.
(1)
，，
故.
(2)
由（1）可得
，，
因为向量，垂直，故，
整理得到：，故或.
(3)
由（1）可得不共线，故，均不为零向量，
若向量，平行，则存在非零常数，使得，
整理得到：，
因为不共线，故，故或，
故.
60．(1)或
(2)
(3)3
【解析】
【分析】
（1）设，表示出其坐标，根据模的计算，求得答案;
（2）表示出的坐标，根据向量垂直的坐标运算，求得答案；
（3）求得向量，夹角的余弦，进而求得其正弦，根据三角形面积公式求得答案.
(1)
∵空间中三点，，，，，
∴．
∵，且，∴设，则，
∴，∴，
∴或．
(2)
由题意得，
∴，
∵向量与互相垂直，∴，解得．
(3)
，，，
，，
故，
∴．
试卷第1页，共3页

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