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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
【考点梳理】
考点一：空间中点、直线和平面的向量表示
1.空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
2.空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
＝＋ta，①
把＝a代入①式得
＝＋t，②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
3.空间中平面的向量表示式
平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们称为空间平面ABC的向量表示式．
考点二　空间中平面的法向量
平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}．
考点三：　空间中直线、平面的平行
1.线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2.
2.线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则
l∥α u⊥n u·n＝0.
面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2 .
考点四：空间中直线、平面的垂直
1.线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
2.　线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l α，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
知识点三　面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
【题型归纳】
题型一：直线方向向量的求法
1．已知向量，分别是直线 的方向向量，若，则下列几组解中可能正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．若，分别为直线，的一个方向向量，则（ ）．
A． B．与相交，但不垂直
C． D．不能确定
3．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
题型二：平面的法向量的求法
4．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
5．给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面 的法向量分别为，，则
D．平面经过三个点，，，向量是平面的法向量，则
6．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4） B．（，1，）
C．（2，，1） D．（1，2，）
题型三：空间中直线、平面的平行
7．如图，已知、分别为正方体的棱、的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面平面 B．截面是直角梯形
C．直线与直线异面 D．直线平面
8．已知、分别为直线、的方向向量（、不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中不正确的是（ ）
A．； B．；
C． D．
9．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定
题型四：空间中直线、平面的垂直
10．在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
11．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
12．在直三棱柱中，底面是以B为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（ ）
A．1 B．2 C． D．
题型五：空间向量研究直线、平面的位置综合问题
13．正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面相交
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点与点到平面的距离相等
14．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．已知正方体是直线上一点，（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线平面
D．若，则直线平面
【双基达标】
16．已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
17．在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是( )
A． B． C． D．
18．有以下命题：
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
20．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（ ）
A． B． C． D．
21．已知向量5，，1，，，若平面ABC，则x的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．5
22．空间三点，，，则（ ）
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．平面的一个法向量是 D．与夹角的余弦值
23．平面α的法向量，平面β的法向量 ，若α⊥β，则λ的值是（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．不存在
24．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，．给出下列结论，其中正确的是（ ）
A． B．AP⊥AD
C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量
25．在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
26．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
27．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
28．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
29．已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则线面的位置关系是（ ）
A．平行 B．在平面内 C．垂直 D．平行或在平面内
30．如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
31．已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
32．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
33．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
34．若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则（　　）
A．l∥α或l α B．l⊥α
C．l α D．l与α斜交
35．正方体的棱长为1，点E，F，G分别为，、中点，现有下列4个命题：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点C与点G到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
36．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
37．如图，已知正方体，E，F，G分别是AB，，的中点，则（ ）
A．直线与直线EG相交 B．直线平面EFG
C．直线与平面EFG相交 D．直线平面EFG
二、多选题
38．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）
C．与夹角的余弦值是
D．与方向相同的单位向量是（1，1，0）
39．下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点是平面α的法向量，则
40．如图，在长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则（ ）
A．是单位向量 B．是平面的一个法向量
C．异面直线与垂直 D．点到平面的距离为
41．给定下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则
B．若，分别是不重合的两平面的法向量，则
C．若，分别是不重合的两平面的法向量，则
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
三、填空题
42．已知平面，写出平面的一个法向量______．
43．已知 分别为不重合的两直线 的方向向量， 分别为不重合的两平面 的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________.
①；②；③；④.
44．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.
45．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
（1）直线BC的一个方向向量___________；
（2）点OD的一个方向向量___________；
（3）平面BHD的一个法向量___________；
（4）的重心坐标___________.
四、解答题
46．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面的一个法向量．
47．已知正方体中，棱长为2a，求证：平面平面.
48．在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，分别是，的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点，使得平面 若存在.求出的值；若不存在，请说明理由.
49．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
50．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底而所成的角为，底面ABCD为直角梯形，
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD：
(2)在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由.
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
因为，则 的方向向量的数量积为0可得．
【详解】
由题意，即，代入各选项中的值计算，只有C满足．
故选：C.
2．C
【解析】
【分析】
利用向量垂直与数量积的关系即可求解.
【详解】
由，，得
，
所以，即.
故选：C.
3．C
【解析】
【分析】
利用直线的方向向量的定义直接求解.
【详解】
因为，在直线l上，
所以直线l的一个方向向量为.
故选：C.
4．C
【解析】
【分析】
根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误.
向量方向相同的单位向量是，B选项错误.
，所以与夹角的余弦值是，C选项正确.
，所以不是平面的法向量，D选项错误.
故选：C
5．D
【解析】
【分析】
判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】
对于A，因为，所以与不垂直，A错误；
对于B，因为，不成立，所以B错误；
对于C，因为与不平行，所以不成立，C错误；
对于D，，，由，，解得，，所以，D正确.
故选：D.
6．B
【解析】
【分析】
设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．
【详解】
解：设正方体的棱长为2，则，，
∴，
设向量是平面的法向量，
则取，得，
则是平面的一个法向量，
结合其他选项，只需和共线即可，
检验可知，ACD选项均不与共线.
所以能作为平面的法向量只有选项B
故选：B．
7．D
【解析】
【分析】
分别延长,交于点,连接交于点,由于分别为正方体棱的中点，则是的中点，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解即可．
【详解】
分别延长,交于点,连接交于点,
∵分别为正方体的棱的中点，∴是的中点，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，,，
则，，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，即，
设平面的法向量，
则，令，则，，即，
∵间没有倍数关系，∴平面和平面不平行，故A错误；
，且与相交，∴截面是梯形，
又∵，∴与不垂直，
∴截面是梯形但不是直角梯形，故B错误；
∵、分别为正方体的棱、的中点，
∴，∴，，，四点共面，
∴直线与直线共面，故C错误；
由，，可知，
则，，
∴，，，
∴直线平面，故D正确．
故选：D．
8．B
【解析】
【分析】
按照方向向量和法向量在线面关系中的应用直接判断即可.
【详解】
A选项：因为、不重合，所以，A正确；
B选项：或，B错误；
C选项：，C正确；
D选项：因为，不重合，所以，D正确.
故选：B.
9．D
【解析】
【分析】
由，即可判断出直线l与平面α的位置关系．
【详解】
由题意得，
∵，
∴⊥，
∴直线l在平面α内或直线l与平面α平行．
故选：D．
10．A
【解析】
【分析】
取、、的中点分别记为、、，画出图形根据线面平行的判定定理及空间向量法证明即可；
【详解】
解：取、、的中点分别记为、、，连接、、、，
根据正方体的性质可得面即为平面，
对于A：如图，，平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B：如图，在平面中，，则平面，所以B错误；
对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；
其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
又，平面，所以平面；
故选：A
11．B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】
在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
12．B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，设出，根据垂直和唯一的点E得到方程由唯一解，根据二次函数根的分布问题求出.
【详解】
如图，以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，
则，
则，
因为在棱上有唯一的一点E使得，
所以在上有唯一的解，
令，可知，
故要想在上有唯一的解，只需，
因为，所以解得：
故选：B
13．C
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD选项；分析出平面截正方体所得的截面为四边形，计算出该四边形的面积，可判断C选项.
【详解】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系.
对于A选项，、、、，
所以，，，则，故A错；
对于B选项，、、，则，，
设平面的法向量为，由，取，则，
所以，，则，即直线与平面AEF平行，故B错；
对于C选项，，则，故平面，
所以，平面截正方体所得截面为梯形，
所以，，
，，则，
，，所以，，
因此，，C对；
对于D选项，，，
所以，点到平面的距离为，
点到平面的距离为，D错.
故选：C.
14．D
【解析】
【分析】
设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间线面平行与垂直的判定及性质定理、向量的夹角判断异面直线所成角、三棱锥的体积计算公式即可得出．
【详解】
解：设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，点，
则，而，，
，因此，
，，，，
对于①而言就是否存在实数，使，而，，，，此即，这样的不存在，①错误；
对于②而言就是否存在实数，使平面，首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找和，
，于是，即就是当为的中点的时候，②正确；
同理，对于③而言，还是判断这样的实数是否存在，，
设其夹角为，则，
令，此即，将上式平方解得，将回代原式结论成立，这样的存在；③错误；
对于④来说，点无论在上怎样移动，底面的高不变，故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积不会随着点的变化而变化，故④错误．
所以正确的个数为1个.
故选：D.
15．A
【解析】
【分析】
以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系后，求出相关直线所在的向量及平面的法向量，通过向量的数量积即可求解.
【详解】
以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
当时，，
，
设平面的一个法向量为，则，可取，
则，从而可知直线平面，故选项A正确，B不正确.
同理可取平面的一个法向量，
若时，
，
所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
若时，
，
所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确.
故选：A,
16．C
【解析】
【分析】
由题意得到，列出方程，求出实数的值.
【详解】
由题意得：，所以，解得：
故选：C
17．D
【解析】
【分析】
作出图像，根据直棱柱侧棱垂直于底面即可求解．
【详解】
如图，
∵、、均垂直于平面ABC，故选项D中可以作为平面ABC的法向量．
故选：D．
18．A
【解析】
【分析】
根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.
【详解】
因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；
当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；
因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；
若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.
故选：A
19．A
【解析】
【分析】
由题意可知，直线的方向向量与平面的法向量平行，由此即可求出结果.
【详解】
直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，
所以，
所以.
故选：A.
20．C
【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.
【详解】
是正方形，且，
，
，
，，，，
，，
又，
，，
平面的法向量为，
则，得，，
结合选项，可得，
故选：C.
21．D
【解析】
【分析】
设平面的法向量为，，，则，由平面，可得，解出即可得出．
【详解】
解：设平面的法向量为，，，
则，即，令x=6，得，，．
平面，
，解得．
故选：D
22．C
【解析】
【分析】
首先求出、、的坐标，再根据空间向量的坐标运算法则计算可得；
【详解】
解：空间中三点，，，所以，，，
对于A：，与不是共线向量，故A错误；
对于B，，的单位向量是，故B错误；
对于C，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，故C正确．
对于D，，，
与夹角的余弦值是：，故D错误；
故选：C．
23．C
【解析】
【分析】
根据α⊥β，可知平面α和平面β的的法向量，由此求得答案.
【详解】
由题意α⊥β，可知，
即 ，解得 ，
故选：C
24．B
【解析】
【分析】
根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解.
【详解】
解：由题意，因为，，，
所以，故选项A错误；
因为，所以AP⊥AD，故选项B正确；
因为，所以AP与AB不垂直，不是平面ABCD的一个法向量，故选项C、D错误；
故选：B.
25．A
【解析】
【分析】
证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】
解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
故选：A.
26．A
【解析】
【分析】
根据空间的平行和垂直关系进行判定.
【详解】
连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；
由正方体的性质可知，所以平面平面，
又平面，所以直线平面，故A正确；
以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线与直线不平行，故B不正确；
直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
直线与直线异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
27．B
【解析】
【分析】
依题意可得两平面的法向量共线，即可得到，从而得到方程组，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，即，解得；
故选：B．
28．A
【解析】
【分析】
由得，由此可求得.
【详解】
，，.
故选：A.
29．D
【解析】
【分析】
求得，即可判断和选择.
【详解】
由题可知：，
故直线平行或在平面内.
故选：D.
30．B
【解析】
【分析】
当点E，F分别是棱，中点时，可证明四边形是平行四边形，故可判断①②；建立空间直角坐标系，当点E，F分别是棱，中点，且长方体为正方体时，利用空间向量证明三点共线
【详解】
长方体中，，连接，，当点E，F分别是棱，中点时，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四边形是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，①正确，②错误；
以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱，中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则，，，则，，则，又两向量有公共点，所以三点共线，故则点可能在直线PQ上，③正确.
故选：B
31．C
【解析】
【分析】
首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为，，所以，
因为平面的一个法向量为，所以，
则，解得，
故选：C.
32．D
【解析】
【分析】
若，则，从而即可求解
【详解】
若，则，从而
即,解之得：
故选：D
33．D
【解析】
【分析】
结合平面法向量的概念及，即可得到答案.
【详解】
由题意，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，
因为，可得.
故选：D.
34．A
【解析】
【分析】
直线的一个方向向量，平面α的一个法向量为，计算数量积，即可判断出结论．
【详解】
直线的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，
，，
或，
故选：A
35．C
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法判断①③的正确性；画出平面截正方体所得的截面,由此判断②④的正确性.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，所以①错误.
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
，所以到平面的距离为，
，所以到平面的距离为，所以③错误.
根据正方体的性质可知，四点共面，
，
所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
根据正方体的性质可知，由于平面，平面，
所以平面，所以②正确.
等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，④正确.
所以正确的为②④.
故选：C
36．A
【解析】
【分析】
设所求点的坐标为，由，逐一验证选项即可．
【详解】
设所求点的坐标为，则，
因为平面的一个法向量为，
所以，，
对于选项A，，
对于选项B，，
对于选项C，，
对于选项D，．
故选：A．
37．C
【解析】
【分析】
通过建立空间直角坐标，求空间直线的距离以及空间直线与平面的关系，从而能每一个选项进行判断.
【详解】
建立如下图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2.
则.
从而有
对A，设与的公垂向量为，则，可取，又，
所以直线与直线EG的距离，故A不正确.
对B，设平面的法向量为，则
，从而可取.
所以，因此直线与平面不平行，故B不正确；
对C，，故直线与平面EFG相交，所以C正确；
对D，与不共线，故直线与平面EFG不垂直，故D不正确.
故选：C
38．BC
【解析】
【分析】
A选项直接写出与，按照共线向量即可判断；
B选项直接计算法向量即可.
C选项通过夹角公式计算即可；
D选项由单位向量的求法进行判断；
【详解】
对A，，，因为，显然与不共线，A错误；
对B，设平面的法向量，则，令，得，B正确.
对C，，，C正确；
对D，方向相同的单位向量，即，D错误；
故选：BC
39．ABD
【解析】
【分析】
由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.
【详解】
对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；
对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；
对于C，，故，可得l在α内或，C错误；
对于D，，易知，故，故，D正确.
故选：ABD.
40．ABD
【解析】
【分析】
求出，可判断A选项的正误；利用向量数量积的坐标运算可证得，，由此可判断B选项的正误；利用异面直线所成角的向量求法可求得所求余弦值为判断C选项的正误；利用点到面距离的向量求法可求得所求距离可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，、，
则，A正确；
对于B，，，，
，，
，即，，平面，
是平面的一个法向量，B正确；
对于C，，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为，C错误；
对于D，，，，
由B知：为平面的一个法向量，
点到平面的距离，D正确.
故选：ABD.
41．ACD
【解析】
【分析】
A选项，由线面垂直的定义可判断正确；
B选项，两平面平行，则它们的法向量平行；
C选项，两平面平行，则它们的法向量平行；
D选项，两平面垂直，则它们的法向量垂直.
【详解】
对于A选项，由线面垂直的定义若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平面垂直，所以，∴，A正确；
对于B选项，两平面平行，则它们的法向量平行，所以B错误；
对于C选项，两平面平行，则它们的法向量平行，∴或∴，C正确；
对于D选项，两平面垂直它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，D正确.
故选：ACD.
42．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.
【详解】
设法向量为，
则有，
令得：，所以
故答案为：
43．①②③④
【解析】
【分析】
根据直线的方向向量与平面向量的法向量的定义判断即可；
【详解】
解：因为 分别为不重合的两直线 的方向向量， 分别为不重合的两平面 的法向量；
直线，的方向向量平行（垂直）等价于直线 平行（垂直），故①、②正确；
平面，的法向量平行（垂直）等价于平面，平行（垂直）、故③、④正确；
故答案为：①②③④
44．
【解析】
【分析】
根据可求出结果.
【详解】
因为平面，所以，
则，解得.
故答案为：
45．
【解析】
【分析】
先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.
对于（1）（2）：直接求出方向向量；
对于（3）：根据法向量的定义列方程组，即可求得；
对于（4）：利用重心坐标公式直接求得.
【详解】
由题意可得：,,..
由图示，可得：，，，，，，
（1）直线BC的一个方向向量为，
（2）点OD的一个方向向量为；
（3）,.设为平面BHD的一个法向量，
则，不妨设，则.
故平面BHD的一个法向量为.
（4）因为，，，，
所以的重心坐标为.
故答案为：（1）；（2）；（3）（4）.
46．(1)(答案不唯一)
(2)(答案不唯一)
【解析】
【分析】
（1）由x轴垂直于平面，可得平面的一个法向量；
（2）利用求解平面的法向量的方法进行求解.
(1)
因为x轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．
(2)
因为正方体的棱长为3，，
所以M，B，的坐标分别为，，，
因此，，
设是平面的法向量，则
，，
所以，
取，则，．于是是平面的一个法向量．
47．证明见解析
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法证明.
【详解】
以点D为原点，分别以 与的方向为x y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则,,,,,,,，设平面的一个法向量为，，，则
令，则.
设面的一个法向量为，，，
则 令，则，
所以，所以平面平面.
48．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）取的中点G，连接，，则，，证明出四边形是平行四边形，从而，进而得出平面；
（2）由底面，则，，建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量求与平面所成角的正弦值；
（3）侧棱底面，只要在上找到一点，使得，即可证明平面，根据第（2）问的向量坐标表示，利用向量的数量积为，求出坐标，进而得出的值.
(1)
取的中点G，连接，，
，分别是，的中点，
，，
底面是矩形，是的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面.
(2)
底面，，，
又底面是矩形，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
，，
设平面的法向量，则
，即，
令，得，，
，又，
设与平面所成角为，
，
与平面所成角的正弦值为.
(3)
侧棱底面，
只要在上找到一点，使得，即可证明平面，
设上存在一点，则，，
，，
由，解得，
上存在一点，使得平面，
.
49．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系利用向量法证明；
（2）利用向量法求直线与平面所成角的正弦值．
(1)
如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系由题得,
由题得,
设平面的法向量为，
所以.
所以，
因为平面，所以平面.
(2)
由题得，
设直线与平面所成角为，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
50．(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出，，，
由，利用线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得答案；
（2）设，可得，求出平面PAB的法向量，由线面角的向量求法可得及．
(1)
平面，与平面所成的角为，，
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，
，， ，，
， ，，
所以，，
所以，，
即，且，所以平面，
平面，所以平面平面.
(2)
存在，理由如下，
，，，，，
设，
所以，，
因为平面，平面，所以，又，
且，所以平面，
所以是平面PAB的一个法向量，
所以，
解得，或，
当时，点与重合，不符合题意，舍去，
所以当时， CE与平面PAD所成的角为，且.
试卷第1页，共3页

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