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1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
【考点梳理】
考点一：空间向量中的距离问题
1.点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为
2.点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为．
考点二：空间向量中的夹角问题
角的分类 向量求法 范围
两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
【题型归纳】
题型一：点到平面的距离的向量求法
1．在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．
(1)求直线DE和PF夹角的余弦值；
(2)求点E到平面PBF的距离．
题型二：平行平面的距离的向量求法
3．在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离．
4．在正方体中，M，N，E，F分别为，，，的中点，棱长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离．
题型三：点到直线的距离
5．如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点P，Q分别在上，且．
(1)求证：平面；
(2)当点P是边的中点时，求点到直线的距离．
6．如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与直线所成角的余弦值；
(3)求点到直线的距离．
题型四：异面直线距离问题
7．如图，已知正方体的棱长为1，MN是异面直线AC与的公垂线段，试确定点M在AC上及点N在上的位置，并求异面直线AC与间的距离．
8．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，是的重心，，分别为，上的点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：是直线与的公垂线；
（3）求异面直线与的距离.
题型五：异面直线夹角的向量求法
9．如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．
(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
(2)求点A到平面BDF的距离．
10．如图，在直三棱柱中，，点D是的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
题型六：线面角的向量求法
11．在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，分别是，的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点，使得平面 若存在.求出的值；若不存在，请说明理由.
12．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
题型七：面面角的向量求法
13．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.
(1)证明：.
(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
14．如图所示，四棱锥中，底面为菱形，点在底面的投影点恰好是菱形对角线交点，点为侧棱中点，若，，．
(1)求证：平面⊥平面；
(2)点在线段上，且，求二面角的平面角的正弦值．
题型八：空间向量的存在性问题
15．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底而所成的角为，底面ABCD为直角梯形，
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD：
(2)在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由.
16．如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，.
(1)求证：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值
(3)线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【双基达标】
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，点为棱的中点.
（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（2）若，二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.
18．在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且，为的中点，N为CD中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
19．如图，在四面体中，平面，，，点在线段上．
(1)当是线段中点时，求到平面的距离；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
20．如图，在四棱柱中，底面为菱形，平面，且，．
(1)求点到平面的距离；
(2)①求二面角大小．
②求直线与平面所成角的大小．
21．如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．
(1)证明：平面ABC
(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．
22．图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.
23．如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为.
(1)在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；
(2)若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值.
24．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
【高分突破】
25．如图，已知四棱锥平面，
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
26．在三棱台中，平面，，且，为的中点，是的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
27．四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面底面，，，是BC的中点，点在侧棱PC上.
(1)若Q是PC的中点，求二面角的余弦值；
(2)是否存在，使平面DEQ 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
28．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．
(1)设F为B1C1中点，求证；A1F∥平面BDE；
(2)求直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值．
29．如图，且，，且，且．平面ABCD，．
(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；
(2)求平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值；
(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为，求线段DP的长．
30．如图（1），△BCD中，AD是BC边上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，得到的图形如图（2）．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．
31．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)若棱的中点为，求的长；
(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
32．如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，F为PA的中点，，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.
(1)求证：平面DEF；
(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.
33．在三棱锥ABCD中，已知平面ABD⊥平面BCD，且，，，BC⊥AC．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)若E为△ABC的重心，，求平面CDE与平面ABD所成锐二面角的正弦值．
34．如图，在直四棱柱中，，，，．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
35．已知四棱锥的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，，平面平面ABCD，平面平面．
(1)求证：平面PAD；
(2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．
36．在四棱锥中，已知侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点M，N分别在线段和上，且．
(1)求证：平面；
(2)设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．
37．如图，四棱锥中，，，，，，，为中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
38．如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，点E为PC的中点，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2，PA＝AD＝1，PA⊥AD．
(1)证明：BE⊥平面PCD；
(2)求二面角P BD E的余弦值．
参考答案：
1．(1)求证见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，
（2）求出平面和的法向量，利用空间向量求解，
（3）利用空间向量的距离公式求解
(1)
证明：因为平面，平面，
所以，
因为，
所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为面是边长为2的正方形，，且，为的中点，
所以，，，，，，，
所以，
因为平面的法向量可以为，
所以，即，又平面，
所以平面；
(2)
解：因为，，设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，
所以平面，
所以平面的法向量可以为，
设二面角为，由图可知二面角为钝角，
则，
所以二面角的余弦值为；
(3)
解：由（2）知平面的法向量为，
又，设点到平面的距离为，
则
所以点到平面的距离；
2．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.
（2）由（1）求出平面PBF的法向量，利用空间向量即可求出点E到平面PBF的距离.
(1)
因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，
如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则，
则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量，
，
所以直线DE和PF夹角的余弦值为.
(2)
由（1）知，，，，
设平面PBF的法向量，则，令，得，
所以点E到平面PBF的距离为.
3．
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出平面平面，然后利用空间向量法求出点到平面的距离，即为所求.
【详解】
解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
，，则，
因为、不在同一条直线上，则，
平面，平面，则平面，
同理可证平面，，故平面平面，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
又因为，因此，平面与平面之间的距离为.
4．．
【解析】
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求面面距．
【详解】
以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
又，
，
所以平面MNA与平面EFBD之间的距离．
5．(1)详见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）作，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可；
（2）取中点，然后证明平面，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.
(1)
作，交于点，由，则，
∵，
∴，即，
∴且，连接，
所以四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，且平面，
∴平面．
(2)
取中点，连接、，
∵，，，
根据余弦定理得：，
∴，
则，又平面平面，平面平面，
∴平面，
∵是等边三角形，
∴，
如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为.
6．(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【解析】
【分析】
(1)证明平面BCF∥平面ADE即可；
(2)以A为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量夹角可求直线与直线所成角的余弦值；
(3)根据点到直线的距离为，利用向量方法即可求解．
(1)
∵AE∥CF，AE平面BFC，CF平面BFC，∴AE∥平面BCF，
∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC，
又∵AD∩AE=A，∴平面ADE∥平面BFC，
∵BF平面BFC，∴BF∥平面ADE；
(2)
以A为原点，AB、AD、AE分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
，
∴直线与直线所成角的余弦值为．
(3)
根据(2)可知：，，
，
∴，
∴点到直线的距离为：．
7．点M是线段AC上靠近点的一个三等分点，，点N是线段上靠近点的一个三等分点； .
【解析】
【分析】
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案.
【详解】
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
因为点M在AC上，点N在上，所以设，，
所以,，
因为MN是异面直线AC与的公垂线段，
所以，即，解得，
所以，，
所以点M是线段AC上靠近点的一个三等分点，，点N是线段上靠近点的一个三等分点，且异面直线AC与间的距离为.
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面平面.
（2）利用向量法证得是直线与的公垂线.
（3）利用向量法求得，也即异面直线与的距离.
【详解】
（1）建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
，
所以，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2），
，
所以是直线与的公垂线.
（3）.
所以异面直线与的距离为.
9．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用空间向量求异面直线夹角，根据，运算求解；（2）利用空间向量求点到面的距离，根据，运算求解．
(1)
在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．
由已知AB＝＝1，
可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．
又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，
又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝
从而易得
∵＝＝（－1，0，1）．
设异面直线AE与BF所成的角为，
则．
即异面直线AE、BF所成的角的余弦为
(2)
设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．
＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，0）．
由 ∴ ，即
取＝
所以点A到平面BDF的距离
10．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）构建空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而求出直线与的方向向量，利用空间向量夹角的坐标表示求夹角余弦值.
（2）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值，进而求出正弦值即可.
(1)
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
∴．
∵，
∴异面直线与所成角的余弦值为．
(2)
设平面的法向量为，
∵，
∴，即且，
取，则是平面的一个法向量．
取平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角的大小为．
由，得：．
因此，平面与平面夹角的正弦值为．
11．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）取的中点G，连接，，则，，证明出四边形是平行四边形，从而，进而得出平面；
（2）由底面，则，，建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量求与平面所成角的正弦值；
（3）侧棱底面，只要在上找到一点，使得，即可证明平面，根据第（2）问的向量坐标表示，利用向量的数量积为，求出坐标，进而得出的值.
(1)
取的中点G，连接，，
，分别是，的中点，
，，
底面是矩形，是的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面.
(2)
底面，，，
又底面是矩形，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
，，
设平面的法向量，则
，即，
令，得，，
，又，
设与平面所成角为，
，
与平面所成角的正弦值为.
(3)
侧棱底面，
只要在上找到一点，使得，即可证明平面，
设上存在一点，则，，
，，
由，解得，
上存在一点，使得平面，
.
12．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系利用向量法证明；
（2）利用向量法求直线与平面所成角的正弦值．
(1)
如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系由题得,
由题得,
设平面的法向量为，
所以.
所以，
因为平面，所以平面.
(2)
由题得，
设直线与平面所成角为，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
13．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理证明，再利用面面垂直的性质得到平面即可得到；
（2）根据（1）结合四棱锥的体积为，可得，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角的余弦即可
(1)
因为在中，，故，所以，解得，故，故.又平面平面且交于，故平面，又平面，故
(2)
由（1）结合锥体的体积公式可得，故，解得.又 故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.
则，，，故，，设平面的一个法向量为，则，即，令有，故，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则
14．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过证明可得，同理可得，即可证明平面，得出答案；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出.
(1)
由题，平面，所以，
因为底面为菱形，，，所以，
在中，，，∴，
因此，是中点，可得：，
同理：，∵，∴平面，
又因为平面，所以平面平面．
(2)
以，，分别为，，轴建系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，
则，即， 可取，
设平面的法向量为，
则，即，可取，
所以，
设二面角的平面角为，∴．
15．(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出，，，
由，利用线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得答案；
（2）设，可得，求出平面PAB的法向量，由线面角的向量求法可得及．
(1)
平面，与平面所成的角为，，
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，
，， ，，
， ，，
所以，，
所以，，
即，且，所以平面，
平面，所以平面平面.
(2)
存在，理由如下，
，，，，，
设，
所以，，
因为平面，平面，所以，又，
且，所以平面，
所以是平面PAB的一个法向量，
所以，
解得，或，
当时，点与重合，不符合题意，舍去，
所以当时， CE与平面PAD所成的角为，且.
16．(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【解析】
【分析】
（1）根据线面平行、面面平行的判定定理，结合面面平行的性质定理进行证明即可；
（2）根据面面垂直的性质，结合正方形的性质建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式进行求解即可；
（3）根据空间向量数量积的运算性质，结合面面垂直的判定定理进行求解即可.
(1)
因为，平面，平面，
所以平面，同理，平面，
又，所以平面平面，
因为平面，
所以平面；
(2)
因为平面平面，
平面平面，，
平面，所以平面，
又平面，故.
而四边形时正方形，所以又，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直
角坐标系.设，则，，，
，，取平面的一个法向量，设
平面的一个法向量，则，即，
令，则，所以.设平面与平面
所成锐二面角的大小为，则.
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
(3)
若与重合，则平面的一个法向量，
由（2）知平面的一个法向量，则，
则此时平面与平面不垂直.若与不重合，
如图设，则，
设平面的一个法向量，则，
即，令，则，，
所以，若平面平面等价于，
即，
所以.所以，线段上存在点使平面平面，且.
17．（1）存在，理由见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连结、，可以证明得四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得点；
（2）先证明，，两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由二面角的余弦值为，求出的长度，进而利用点面距的坐标公式求解即可．
【详解】
（1）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点.
证明：取的中点，连结、，
由题意，且，且，
故且.
四边形为平行四边形.
，又平面，平面，
平面；
（2）取中点，
因为底面为菱形，所以，
又，且，
所以平面，即.
又，即，而
所以平面.又，
所以为正三角形，即，也即
所以，，两两互相垂直（需写出证明过程）.
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，，.
所以，.
设平面的一个法向量为.
由，取，得；
取平面的一个法向量为.
由题意，，解得.
.
设点到平面的距离为，则.
即点到平面的距离为
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
(1)
证明：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
所以，显然平面的法向量可以为，
所以，即，又平面，所以平面；
(2)
解：因为，，设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
显然平面的法向量可以为，
设二面角为，由图可知二面角为钝角，
则，
所以二面角的余弦值为；
(3)
解：由（2）知平面的法向量为，
又，设点到平面的距离为，
则
所以点到平面的距离；
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得到平面的距离；
（2）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解.
(1)
解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为为的中点，则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
(2)
解：设点，其中，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
此时点为的中点，故.
20．(1)
(2)① ；②
【解析】
【分析】
（1）（2）设，的中点分别为，，如图以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
(1)
解：由已知条件知：底面四边形是以2为边长的菱形．
因菱形的对角线互相垂直平分，设，的中点分别为，，
则以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系．

由条件可得：相关点的坐标为，，，，
，，，．
设平面的一个法向量为，又，，
则由，得，取，得．
易知，则点到平面的距离为．
(2)
解：①设平面的一个法向量为，
又，，则由，
得，取，得．
故．
由于二面角为锐角，故其大小为．
②易知，设直线与面所成的角为，
则．
故直线与面所成角的大小为．
21．(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
延长EG交AB于N，连接NC,
因为G为△ABE的重心，所以点N为AB的中点，且 ,
因为 ,故 ,所以 ,
故，故 ,
而平面ABC，平面ABC,
故平面ABC；
(2)
由题意知，平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC， ,
平面BCDE， 故平面ABC, 平面ABC,
则 ,同理，
又平面BCDE,
所以平面BCDE，
以C为原点，以CB,CD,CA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
设点G到平面BCDE的距离为 ，
则 ，
故 ,
设平面GCE的法向量为 ，则，即，
取，则即，
设平面ADE的法向量为 ，则，即，
取 ，则，则，
所以，解得 ，
又，
故点G到平面ADE的距离为.
22．(1)详见解析；
(2)存在点且为的中点；.
【解析】
【分析】
（1）在图1中连接AC，交BE于O，易知，且，再在图2中由是二面角的平面角证明；
（2）由（1）分别以为x，y，z建立空间直角坐标系，设，由表示坐标，求得平面的一个法向量，根据到平面的距离为求得，进而得到，由求得坐标，设直线与平面所成的角为，由求解.
(1)
证明：如图所示：
在图1中连接AC，交BE于O，
因为四边形是边长为2的菱形，并且，
所以，且，
在图2中，相交直线均与BE垂直，
所以是二面角的平面角，
因为，则，
所以平面平面；
(2)
由（1）分别以为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
因为到平面的距离为，
所以，解得，
则，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以直线与平面所成角的正弦值为：.
23．(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件列出等式，解之即可求得的值；
（2）先由直线到平面的距离为求得的长度，再利用平面与平面法向量的夹角公式去求平面与平面夹角的正弦值.
(1)
在四棱锥中，，异面直线与所成的角为.
即,又为两相交直线，则平面
取PD中点F，连接EF，又，则，则平面
又四边形中，，
则，则三直线两两互相垂直
以E为原点，分别以ED、EB、EF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：
设，则，， ，，
，，,
设平面PBE的一个法向量为，
则，即，令，则，则
设，则
由直线平面，可得，即
则，解之得，则，又，则
(2)
由直线到平面的距离为，得点C到平面的距离为，
又，为平面PBE的一个法向量
则，即，解之得，
则，，
设平面的一个法向量为，又
则，即，令，则，则
设平面与平面夹角为
则
又，则
24．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理可得，再根据线面垂直的判定可得平面，进而根据正三角形与线面垂直的性质与判定可得平面；
（2）取中点为中点为，可得两两垂直，再建立空间直角坐标系根据线面角与点面距离的方法求解即可
(1)
证明：由题知，
因为，所以，
又，所以，
又，所以平面，
又平面，所以，
在正三角形中，为中点，于是，
又，所以平面
(2)
取中点为中点为，则，
由（1）知平面，且平面，所以，
又，所以，所以平面，
于是两两垂直
如图，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系
则
所以
设平面的法向量为，
则，即
令，则
于是
设，则
由于直线与平面所成角的正弦值为
于是，即，整理得，由于，所以
于是
设点到平面的距离为
则
所以点到平面的距离为
25．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题可得，然后利用线面垂直的判定定理即得；
（2）由题可知到平面的距离等于到平面的距离，设直线与平面所成角为，可得，即得；或利用坐标法即得.
(1)
由题意平面，
所以平面，平面，
∴，又，
所以平面.
(2)
法一：由可知平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
又由（1）知平面，
设直线与平面所成角为，
由题可得，
所以.
法二：如图，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立直角坐标系，
则，，
∴，
设平面的法向量为，
由，得，可取
设直线与平面所成角为，
所以.
26．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立坐标系，利用向量法证明线线垂直，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可；
（2）由向量法求解即可
(1)
连接，设，则，，.
因为平面，为的中点，所以平面.
因为，所以.
以为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
因为，，，
所以，，
所以，.
因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
(2)
由（1）知，，，.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
因为，且二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
27．(1)；
(2)时，平面.
【解析】
【分析】
（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的余弦值．
（2）设，，，，推导出，利用向量法能求出当时，平面．
(1)
解：取中点，连接，，．
因为，所以．
因为侧面底面，且平面底面，
所以底面．可知，，，
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．
则，
因为为中点，所以．
所以，
所以平面的法向量为．
因为，
设平面的法向量为，
则，即．
令，则，即．
所以．
由图可知，二面角为锐角，所以余弦值为．
(2)
解：设
由（1）可知．
设，，，则，
又因为，
所以，即．
所以在平面中，，
所以平面的法向量为，
又因为平面，所以，
即，解得．
所以当时，即，平面．
28．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取BE中点G，连接FG、DG，可得四边形A1DGF为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答；
（2）以为原点，为的正方向建立空间直角坐标系，求出，
平面的一个平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案.
(1)
取BE中点G，连接FG、DG，
则FG//CC1//AA1，，
所以FG//A1D且FG=A1D，所以四边形A1DGF为平行四边形，所以A1F//DG，
又A1F平面BDE，DG平面BDE，
所以AF1//平面BDE.
(2)
以为原点，为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，，，，
，
设平面的一个平面法向量为，所以
，即，令，则，，
设直线的直线与平面BDE所成角的为，
所以.
29．(1)见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意，以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，求出对应点的坐标，求出平面CDE的法向量，，由两向量的数量积为零，可证得结论，
（2）分别求出两平面的法向量，利用空间向量求解即可，
（3）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），求出，，然后利用向量的夹角公式列方程求解
(1)
证明：因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为，
所以两两垂直，
所以以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），则D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．
所以=（0，2，0），=（2，0，2）．
设为平面CDE的法向量，则
，令，则．
因为=（1，，1），
所以，
因为直线MN平面CDE，
所以MN∥平面CDE．
(2)
解：依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．
设为平面BCE的法向量，则，令，则，
设为平面BCF的法向量，则，令，则，
所以，
所以平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值为
(3)
解：设线段DP的长为h（），则点P的坐标为（0，0，h），可得．
因为，，
所以平面
所以=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，
所以，
由题意，可得，解得．
所以线段的长为.
30．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由面面垂直的判定定理结合题意证明AB⊥平面ACD,即可证明AB⊥CD.
（2）以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出直线AE的方向向量与平面BCE的法向量，代入线面角公式可求出答案.
(1)
证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，
∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB平面ABD，
∴AB⊥平面ACD，又CD 平面ACD，∴AB⊥CD；
(2)
由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC 平面ACD，∴AB⊥AC.
以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，），
∴＝＝＝
设平面BCE的法向量为＝（x，y，z），
由，令y＝1，得x＝2，z＝2，则＝（2，1，2），……
设直线AE与平面BCE所成角为，
则，
故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为．
31．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，得到当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到；（3）作出辅助线，得到∠PGD为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值
(1)
取AM的中点G，连接PG，
因为PA=PM，则PG⊥AM，
当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，
四棱锥的体积取得最大值，
此时PG⊥平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为
(2)
取AP中点Q，连接NQ，MQ，
则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线，
所以NQ∥AB且，
因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，
所以CM∥AB且，
所以CM∥NQ且CM=NQ，
故四边形CNQM为平行四边形，
所以.
(3)
连接DG，
因为DA=DM，所以DG⊥AM，
所以∠PGD为的平面角，即，
过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，
设，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
设平面PAM的法向量为，
则，
令，则，
设平面PBC的法向量为，
因为，
则
令，可得：，
设两平面夹角为，
则
令，，所以，
所以，所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为
【点睛】
求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍.
32．(1)证明见解析；
(2)存在，.
【解析】
【分析】
（1）连接FN，证明，再利用线面平行的判定定理作答.
（2）根据给定条件，以点D为原点建立空间直角坐标系，借助向量计算作答.
(1)
因为四边形PDCE为矩形，则N为PC的中点，连接FN，如图，
在中，F，N分别为PA，PC的中点，则有，而直线平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF.
(2)
因平面，平面，则，而，
以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
直角梯形中，，，
则，，
设平面PBC的法向量为，则，令，得，
假定存在点Q满足条件，设，整理得，
则，因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为，
所以，解得，即点Q与E重合，
所以在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为，且.
33．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理证明AD⊥BD，再由面面垂直的性质得AD⊥平面BCD，从而得AD⊥BC，最后再结合线面垂直判定定理证明即可；
（2）根据线面关系，建立空间直角坐标系，结合面面夹角公式求解即可.
(1)
证明：因为，，，所以，
所以AD⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，因为平面ABD，
所以AD⊥平面BCD，因为平面BCD，
所以AD⊥BC，
又因为BC⊥AC，，
所以BC⊥平面ACD．
(2)
解：因为BC⊥平面ACD，平面ACD，所以BC⊥CD，
因为，，所以，，
以D为坐标原点，直线DB，DA分别为x，z轴，在平面BCD内过点D与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，所以，所以，，
平面ABD的一个法向量为，
设平面CDE的一个法向量为，所以 ，
取，，则，所以，
设平面CDE与平面ABD所成的锐二面角为θ，
所以，所以，
即平面CDE与平面ABD所成锐二面角的正弦值为．
34．(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出，由即可证明；
（2）求出平面和平面的法向量，由向量夹角公式求出余弦值即可.
(1)
因为平面，平面．所以，．又，所以，，两两垂直，
以点D为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．所以，．
所以，所以．
(2)
，设向量为平面的一个法向量，则，即
令，得，设向量为平面的一个法向量，则，即
令，得．所以．
设二面角的大小为，由图可知，所以．所以二面角的余弦值为．
35．(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由证得CD//平面PAB，再由线面平行的性质得，最后由面面垂直的性质得CD⊥平面PAD，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，表示出平面MAD的法向量，求出，由线面角的向量求法结合二次函数求出最小值即可.
(1)
由题意知，因为平面PAB，平面PAB，所以CD//平面PAB．因为平面平面，
平面，所以；因为，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，
CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又，所以平面PAD；
(2)
取AD中点O，连接PO，由△PAD为等腰直角三角形知．又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面平面，平面PAD．所以PO⊥平面ABCD．以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，设，则，则有，，
设平面MAD的一个法向量，则有．即，令有，，
设PC与平面MAD所成角为，则，令，，
则，当即时，有最小值，
即PC与平面MAD所成角正弦值的最小值为.
36．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接，交于点，根据平行线分线段成比例可证得，由线面平行的判定可证得结论；
（2）取中点，作，利用线面垂直的判定可证得平面，平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角平面角的定义可知二面角的平面角为，由此可得的线段长度，得到所需点的坐标，利用线面角的向量求法可求得结果.
(1)
连接，交于点，连接；
，，，，
又，，，
又平面，平面，平面.
(2)
取中点，连接；作，垂足为；
为正三角形，；
，，四边形为平行四边形，，
又，，又，平面，
平面；
平面，，
又，，平面，平面；
作，交于点，则，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，
，，即为二面角的平面角，
又，，，；
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
设直线和平面所成角为，，故直线和平面所成角的正弦值为
37．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）连接交于点，连接，延长交于，由得，根据正方形、等腰三角形性质有、，应用线面垂直的判定和性质证结论.
（2）建立空间直角坐标系，设，利用面面垂直的判定可得面面，且可得△为等边三角形，进而确定坐标，再求出的方向向量与平面的法向量，空间向量夹角表示求线面角的正弦值.
(1)
连接交于点，连接，
因为，延长交于，
由，则，可得，
四边形为正方形，则，且为中点，
由，则，且，面，
所以面，平面，则；
(2)
以为原点，为轴，为轴建立如下图示的空间直角坐标系，
则，，，，设，
由面，面，所以面面，
由，则，由且BC⊥CD，则，
又，故△为等边三角形，且面面，
所以，则，
综上，，，，
设平面的法向量为，则，令，解得，
所以.
38．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取PD的中点F，连接AF，EF，根据题意证得，，结合线面垂直的判定定理证得结果；
（2）如图建立空间直角坐标系，求得平面PBD的法向量为，平面EBD的法向量为，利用向量所成角的余弦值，进而得到二面角P BD E的余弦值
(1)
证明：取PD的中点F，连接AF，EF，
则，．
又，，所以，，
所以四边形ABEF为平行四边形，所以．
因为，，所以．
所以．．．．．．
因为平面PAD⊥平面ABCD，，
所以PA⊥平面ABCD，所以，．．．．．．
所以．
又点E为PC的中点，所以．．．．．
又，所以BE⊥平面PCD．
(2)
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），C（2，1，0），E（1，，）． ．．．．．
于是
设平面PBD的法向量为，则
得．取．得…………
设平面EBD的法向量为，则，
得取．得．…………
所以，
所以二面角P BD E的余弦值为.
【点睛】
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，利用空间向量求解二面角的余弦值，在解题的过程中，注意正确写出点的坐标是重中之重.
试卷第1页，共3页

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