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第五节　空间向量及其运算
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示． 4．能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查空间向量及其运算，但在其它立体几何题中有所体现，如：2020年的第20题，2021(Ⅰ)中的第12题，2021(Ⅱ)中的第19题． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 长度(模)为____的向量 0
单位向量 长度(模)为____的向量
相等向量 方向____且模____的向量 a＝b
相反向量 方向____且模____的向量 a的相反向量为－a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相________的向量 a∥b
共面向量 平行于同一个____的向量
【微点拨】
空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似．在学习空间向量时，与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．
2．空间向量中的有关定理
语言描述
共线向 量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b 存在λ∈R，使a＝λb
共面向 量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面 存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量 基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
【微点拨】
(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．
(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题．
3．空间向量的数量积
(1)两向量的夹角
①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
②范围：0≤〈a，b〉≤π.
(2)两个非零向量a，b的数量积：
a·b＝________________．
【微点拨】
向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
4．空间向量的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b ____________________
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ____________________
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ____________________
模
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝
[常用结论]
(1)证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
①＝λ(λ∈R)；
②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；
③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．
(2)证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面：
①＝x＋y；
②对空间任一点O，＝＋x＋y；
③∥(或∥或∥)．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(　　)
2．空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)
3．对于空间非零向量a，b，若a·b<0，则a与b的夹角为钝角．(　　)
4．对于非零向量b，由a·b＝b·c，得a＝c.(　　)
题组二　教材改编
5．(多选)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(　　)
A．b＋c，b，b－c　　　　　
B．a，a＋b，a－b
C．a＋b，a－b，c
D．a＋b，a＋b＋c，c
6．已知点B是点A(3，4，5)在坐标平面Oxy内的射影，则||＝________．
题组三　易错自纠
7．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
8．若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　空间向量的线性运算
[例1]　(1)已知三棱锥O ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)
A．(b＋c－a)　　　　B．(a＋b＋c)
C．(a－b＋c) D．(c－a－b)
(2)
如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________．
[听课记录]
类题通法
[巩固训练1]　如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝＝c，则下列向量中与相等的是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
题型二　共线、共面向量定理的应用
[例2]　(1)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　)
A． B．－2
C．0 D．或－2
(2)如图所示，已知斜三棱柱ABC A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝，＝k(0≤k≤1)．判断向量是否与向量共面？
[听课记录]
类题通法
向量共线的判定与向量法证明四点共面的关键
[巩固训练2]　(1)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)．若向量a，b，c共面，则实数λ等于(　　)
A． B．
C． D．
(2)若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________．
题型三　空间向量的数量积及其应用
角度1 求空间向量的数量积
[例3]　(多选)如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于－a2的是(　　)
A．2· B．2·
C．2· D．2·
[听课记录]
类题通法
空间向量的数量积运算的两条途径
[巩固训练3]　已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是________．
角度2 利用数量积求长度与夹角
[例4]　(1)如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，∠BAD＝60°，则|＝(　　)
A．1 B．
C．9 D．3
(2)已知空间向量a＝(1，－λ，λ－1)，b＝(－λ，1－λ，λ－1)的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是________．
[听课记录]
类题通法
利用数量积求长度与夹角的一般方法
[巩固训练4]　(1)[2022·浙江镇海中学模拟]已知空间三点A(－2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，－4，6)，若向量与的夹角为60°，则实数m＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
(2)
如图，在大小为45°的二面角A EF D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________．
角度3 解决垂直问题
[例5]　已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1　　　B． C．　　　D．
[听课记录]
类题通法
将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
[巩固训练5]　[2022·河北曹妃甸一中模拟]空间向量a＝(2，3，－2)，b＝(2，－m，－1)，如果a⊥b，则|b|＝________．
第五节　空间向量及其运算
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．0　1　相同　相等　相反　相等　平行或重合　平面
3．(1)①∠AOB　(2)|a||b|cos 〈a，b〉
4．a1b1＋a2b2＋a3b3　a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.×
5．解析：：由平面向量基本定理得，对于A选项，b＝(b＋c)＋(b－c)，A共面；对于B选项，a＝(a＋b)＋(a－b)，B共面；对于C选项，a＋b，a－b，c不共面；对于D选项，a＋b＋c＝(a＋b)＋c，D共面．
答案：ABD
6．解析：：由题意知B点坐标为(3，4，0)，则||＝＝5.
答案：5
7．解析：：由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD.故选B.
答案：B
8．解析：：因为a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)，a与b的夹角为120°，所以cos 120°＝＝，即－＝，整理得λ2－16λ－17＝0，解得λ＝－1或λ＝17.
答案：17或－1
题型突破　提高“四能”
例1　解析：：(1)＝＝＝)－＝－＝(c－a－b)．故选D.
解析：(2)
连接ON，设＝a，＝b，＝c，
则＝＝)－＝b＋c－a，
＝＝＝a＋＝a＋b＋c.
又＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝，
因此x＋y＋z＝＝.
答案：(1)D　(2)
巩固训练1　解析：：＝＋＝＋)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.故选A.
答案：A
例2　解析：(1)当m＝0时，a＝(1，3，－1)，b＝(2，0，0)，a与b不平行，所以m≠0.当m≠0时，因为a∥b，所以＝＝，解得m＝－2.故选B.
解析：(2)∵＝，＝k，
∴＝＝k＋＋k＝k(＋)＋＝ )＋＝k＋＝＝＋)＝，
∴由共面向量定理知向量与向量共面．
答案：(1)B　(2)见解析：
巩固训练2　解析：(1)因为向量a，b，c共面，所以，由共面的向量基本定理，存在唯一实数x，y，使得xa＋yb＝c，所以解方程组得λ＝.故选D.
解析：(2)∵＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ.即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，
∴解得∴m＋n＝－3.
答案：(1)D　(2)－3
例3　解析：：对于A，2·＝2a·a cos 120°＝－a2，
对于B，2·＝－a2，
对于C，2·＝·＝a2，
对于D，2·＝·＝a·a·cos 120°＝－a2.故选AB.
答案：AB
巩固训练3　解析：：因为点Q在直线OP上，所以设点Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－.当λ＝时，·取得最小值－.此时＝.
答案：
例4　解析：(1)在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，
有＝＝＝，
由题知，AB＝AD＝1，AA1＝，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，∠BAD＝60°，
所以||＝||＝|＝与的夹角为∠BAD＝60°，与的夹角为∠BAA1＝45°，与的夹角为∠A1AD＝45°，
所以＝)2＝＝1＋1＋2＋2×1×1×cos 60°＋2×1××cos 45°＋2×1××cos 45°＝9.所以|＝3.故选D.
解析：(2)∵a与b的夹角为钝角，∴a·b<0，且a与b不反向共线．
由a·b＝－λ－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，化为2λ2－4λ＋1<0，解得<λ<，若a与b反向共线，则存在负实数k，使得a＝kb，得到此方程组无解，故实数λ的取值范围是.
答案：(1)D　(2)
巩固训练4　解析：(1)∵A(－2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，－4，6)，
∴＝(－2－m，－m，8－m)，＝(4－m，－4－m，6－m)，
由题意有cos 60°＝
＝，
即＝3m2－12m＋40，整理得m2－4m＋4＝0，解得m＝2.故选B.
解析：(2)∵＝.
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－，故||＝.
答案：(1)B　(2)
例5　解析：：依题意得：(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
∴4k＋k－2－5＝0，解得k＝.故选D.
答案：D
巩固训练5　解析：：∵向量a＝(2，3，－2)，b＝(2，－m，－1)，且a⊥b，
∴a·b＝0，∴2×2－3m＋2＝0，解得m＝2，
∴b＝(2，－2，－1)，
∴|b|＝＝3.
答案：3

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