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第四节　直线、平面垂直的判定与性质
课程标准 考情分析 核心素养
1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，并加以证明． 2．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 2020年新高考Ⅰ卷第20题第1问考查了线线、线面垂直关系； 2021年新高考Ⅰ卷第12题考查了线线、线面垂直以及定值问题，第20题考查了线线、线面、面面垂直关系； 2021年新高考Ⅱ卷第10题考查了线线、线面垂直关系，第19题考查了线线、线面、面面垂直关系． 直观想象 逻辑推理
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
性 质 定 理 垂直于同一个平面的两条直线______
【微点拨】
(1)直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条”不同．
(2)判定定理中的“相交”是关键词，应用定理时不能省略．
2．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直
性 质 定 理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的____，那么这条直线与另一个平面垂直
【微点拨】
面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
[常用结论]
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(　　)
2．设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(　　)
3．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)
4．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)
题组二　教材改编
5．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l　　B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
6．在三棱锥P ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
题组三　易错自纠
7．若l，m为两条不同的直线，α为平面 ，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的(　　)
A．充分不必要条件　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知直线a和平面α，β若，α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　空间中垂直关系的判定
[例1]　(1)(多选)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法正确的是(　　)
A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b
B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β
D．若α＝a，a∥b，则b∥α或b∥β
(2)[2022·浙江丽水模拟]已知直线l，m，平面α，β，则(　　)
A．若l α，m∥l，则m∥α
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
D．若m α，l β，l∥m，则α∥β
[听课记录]
类题通法
[巩固训练1]　下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
题型二　线面垂直的判定与性质
[例2]　如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[听课记录]
类题通法
证明直线与平面垂直与利用线面垂直的
性质证明线线垂直的步骤
[巩固训练2]　在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为D1D的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥AP.
题型三　面面垂直的判定与性质
[例3]　[2021·新高考Ⅰ卷]如图，在三棱锥A BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E BC D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积．
[听课记录]
类题通法
利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法
[巩固训练3]　如图，在四棱锥P ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：
(1)CE∥平面PAD；
(2)平面EFG⊥平面EMN.
题型四　平行、垂直关系的综合问题
[例4]　如图，四棱锥P ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.
(1)求证：CD⊥AP；
(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.
[听课记录]
类题通法
[巩固训练4]　如图，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD＝90°，M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．
(1)求证：CD∥平面MNQ；
(2)求证：平面MNQ⊥平面CAD.
第四节　直线、平面垂直的判定与性质
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)垂线　垂面　(2)a＝O　平行　a⊥α
2．(1)直二面角　(2)垂线　交线　b⊥α
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.×
5．解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错，对于C，因为n⊥β，l β，所以n⊥l，故C正确，故选C.
答案：C
6．解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
　
解析：(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA＝P，
∴PC⊥平面PAB，
又AB 平面PAB，
∴PC⊥AB，
∵AB⊥PO，PO＝P，∴AB⊥平面PGC，
又CG 平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，
即O为△ABC的垂心．
答案：(1)外　(2)垂
7．解析：由l⊥α，且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α，且m⊥l，则m∥α或者m α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
8．答案：a∥α或a α
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则b α或b∥α，所以存在直线m α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β，故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则b α或b∥α，又α∥β，所以b β或b∥β，故C错误；
对于D，若α＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确．故选ABD.
(2)在长方体ABCD EFGH中，如图
对于A：若l α，m∥l，则m∥α，取平面ABCD为α，即直线AB为l，CD为m，则l α，m∥l，但是m α，所以m∥α不成立，故A不正确；对于B：因为l∥α，作平面γ，使得l γ，且α＝m，由线面平行的性质可得：l∥m.因为l⊥β，所以m⊥β，又m α，所以α⊥β.故B正确；对于C：若l∥α，α⊥β，则l⊥β，取平面ABCD为α，平面ADHE为β，直线EH为l，此时满足“l∥α，α⊥β”，但是l β，所以l⊥β不满足，故C不正确；对于D：若m α，l β，l∥m，则α∥β，取平面ABCD为α，平面ADHE为β，直线BC为l，直线EH为m，此时满足“m α，l β，l∥m”，但是α、β相交，不满足α∥β.故D错误．故选B.
答案：(1)ABD　(2)B
巩固训练1　解析：对于A，如图所示：在正方体中，平面APCF⊥平面PBDC，AF∥平面PBDC，故A正确；
对于B，如果平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β，故B正确；
对于C，如图所示：在γ内取一点Q，作QM⊥CP，QN⊥CD，因为平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，所以QM⊥平面α，QN⊥平面β，又因为α＝l，所以QM⊥l，QN⊥l，又QM＝Q，则l⊥平面γ，故C正确；
对于D，如图所示：在正方体中，平面APCF⊥平面PBDC，AF∥平面PBDC，故D错误．故选D.
答案：D
例2　证明：(1)在四棱锥P ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA＝A，
∴CD⊥平面PAC.而AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC＝C，∴AE⊥平面PCD.
而PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又AB⊥AD，且PA＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD 平面PAD，∴AB⊥PD.
又AB＝A，∴PD⊥平面ABE.
巩固训练2　证明：如图，易证AB1＝CB1.
又因为O为AC的中点，
所以B1O⊥AC.
在矩形BDD1B1中，O，P分别为BD，D1D的中点．
易证△POD∽△OB1B，
所以∠POD＝∠OB1B.
所以B1O⊥PO.
又AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.
又AP 平面PAC，
所以B1O⊥AP.
例3　解析：(1)因为AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD.
因为平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，AO 平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为CD 平面BCD，所以AO⊥CD.
解析：(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M，连接EM.
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD，
所以EF⊥BD, EF⊥CD, BD＝D，因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC.
因为FM⊥BC，FM＝F，所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME.
则∠EMF为二面角E－BC－D的平面角， ∠EMF＝
因为BO＝OD，△OCD为正三角形，所以△BCD为直角三角形．
因为BD＝2CD，所以FM＝BF＝(1＋)＝
从而EF＝FM＝，所以AO＝1
因为AO⊥平面BCD，
所以V＝AO·S△BCD＝×1××1×＝.
巩固训练3　证明：
(1)方法1：取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点，
所以EH綊AB.
又CD綊AB，所以EH綊CD.
所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.
又DH 平面PAD，CE 平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
(方法2)连接CF.
因为F为AB的中点，所以AF＝AB.
又CD＝AB，所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．
因此CF∥AD，又CF 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF 平面PAD，PA 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因为CF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE 平面CEF，所以CE∥平面PAD.
(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.
又因为EF＝F，EF，FG 平面EFG，
所以AB⊥平面EFG.
又因为M，N分别为PD，PC的中点，
所以MN∥CD.又AB∥CD，
所以MN∥AB，
所以MN⊥平面EFG.
又因为MN 平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
例4　证明：(1)因为AD⊥平面PAB，AP 平面PAB，
所以AD⊥AP.
又AP⊥AB，AB＝A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD.
因为CD 平面ABCD，所以CD⊥AP.
(2)由(1)知CD⊥AP，
又因为CD⊥PD，PD＝P，PD 平面PAD，AP 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.①
因为AD⊥平面PAB，AB 平面PAB，
所以AB⊥AD.
又AP⊥AB，AP＝A，AP 平面PAD，
AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD.②
由①②得CD∥AB，
因为CD 平面PAB，AB 平面PAB，
所以CD∥平面PAB.
巩固训练4　证明：(1)在△ACD中，因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，
又CD 平面MNQ，MQ 平面MNQ，
所以CD∥平面MNQ.
(2)因为M，N分别为棱AD，BD的中点，
所以MN∥AB，又∠BAD＝90°，
所以MN⊥AD.
因为平面BAD⊥平面CAD，平面BAD∩平面CAD＝AD，且MN 平面ABD，
所以MN⊥平面ACD，又MN 平面MNQ，
所以平面MNQ⊥平面CAD.

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