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第三节　圆的方程
课程标准 考情分析 核心素养
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． 2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题． 2020年新高考未考查圆的有关知识； 2021(Ⅰ)中第11题考查了圆、直线与圆以及距离问题； 2021(Ⅱ)中的第11题考查了直线与圆的位置关系． 数学运算 直观想象 逻辑推理
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.圆的定义及方程
定义 平面上到________的距离等于________的点的集合(轨迹)叫做圆
标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：________ 半径：________
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心：
半径：________
【微点拨】
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，点M(x0，y0)，
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2 点M在圆上；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2 点M在圆外；
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2 点M在圆内．
[常用结论]
1．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.已知圆的方程为x2＋y2－2y＝0，过点A(1，2)作该圆的切线只有一条．(　　)
2．方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　　)
3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆．(　　)
4．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
题组二　教材改编
5．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A．(2，3)，3　　　　　　B．(－2，3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
6．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________________．
题组三　易错自纠
7．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－，＋∞)
B．(－∞，－2，＋∞)
C．(－∞，－，＋∞)
D．(－∞，－2，＋∞)
8．半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为________________________________________________________________________．
题型突破·提高“四能”
题型一　求圆的方程
[例1]　(1)[2022·河南安阳一中月考]已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上．若点A在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋4)2＝4
B．(x＋2)2＋(y＋4)2＝16
C．(x－2)2＋(y－4)2＝4
D．(x－2)2＋(y－4)2＝16
(2)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心E在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为____________________．
[听课记录]
类题通法
求圆的方程的两种方法
[巩固训练1]　(1)[2022·浙江温州一中月考]以直线ax－y－3－a＝0(a∈R)经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2－2x＋6y＋6＝0
B．x2＋y2＋2x－6y＋6＝0
C．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0
D．x2＋y2－6x＋2y＋6＝0
(2)圆(x＋1)2＋(y＋3)2＝1关于直线x－y＋5＝0对称的圆的方程为________________________________________________________________________．
题型二　与圆有关的轨迹问题
[例2]　已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0)．
(1)求直角顶点C的轨迹方程；
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
[听课记录]
类题通法
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
[巩固训练2]　(1)若动点P到点A(8，0)的距离是到点B(2，0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝32　　
B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16
D．x2＋(y－1)2＝16
(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为____________．
题型三　与圆有关的最值问题
角度1 借助目标函数的几何意义求最值
[例3]　已知点M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求的最大值和最小值．
[听课记录]
类题通法
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
[巩固训练3]　已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．
角度2 利用对称性求最值
[例4]　已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5－4　　B．－1
C．6－2 D．
[听课记录]
类题通法
形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：
(1)减少动点的个数；
(2)“曲化直”，即将折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
[巩固训练4]　已知圆O：x2＋y2＝1，A(3，3)，点P在直线l：x－y＝2上运动，则|PA|＋|PO|的最小值为________．
角度3 建立函数关系求最值
[例5]　设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为__________．
[听课记录]
类题通法
利用函数关系求最值时，先根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．
[巩固训练5]　设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则||的最大值为__________．
第三节　圆的方程
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．定点　定长　(a，b)　r　
2．(1)＝　(2)>　(3)<
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.×　4.√
5．解析：由题意，圆的标准方程为
(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
∴圆的圆心坐标为(2，－3)，半径为，故选D.
答案：D
6．解析：设圆心坐标为C(a，0)，
∵点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝2，可得圆心为C(2，0)，
半径|CA|＝＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
7．解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得(x＋)2＋(y－1)2＝－2.由其表示圆可得－2＞0，解得m＜－2或m＞2.
故选B.
答案：B
8．解析：由题意可设圆心坐标为(a，a)
则圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝9
∴|a|＝r＝3，
∴a＝±3，
∴所求圆的方程为：
(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9.
答案：(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)因为圆C的圆心在直线y＝2x上，所以可设C(a，2a)．
因为圆C与x轴正半轴相切于点A，所以a>0且圆C的半径r＝2a，A(a，0)．
因为点A到直线x－y－4＝0的距离d＝，所以d＝＝，解得a＝6或a＝2，所以A(2，0)或A(6，0)．
因为A在直线x－y－4＝0的左上方，所以A(2，0)，所以C(2，4)，r＝4，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.
故选D.
解析：(2)方法一　根据题意，设圆E的圆心坐标为(a，0)(a>0)，半径为r，
则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，
由题意得解得
所以圆E的标准方程为＋y2＝.
方法二　设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则由题意得解得
所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即＋y2＝.
答案：(1)D　(2)＋y2＝
巩固训练1　解析：(1)因为直线方程为ax－y－3－a＝0(a∈R)，即a(x－1)－y－3＝0(a∈R)，所以直线过定点(1，－3)，
所以圆方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝4，即x2＋y2－2x＋6y＋6＝0，
故选A.
解析：(2)由圆(x＋1)2＋(y＋3)2＝1可知，圆心(－1，－3)，半径r＝1，
设点(－1，－3)关于直线x－y＋5＝0对称的点为(x，y)，
则，解得，
∴所求圆的圆心为(－8，4)，半径为r＝1，
∴圆(x＋1)2＋(y＋3)2＝1关于直线x－y＋5＝0对称的圆的方程为(x＋8)2＋(y－4)2＝1.
答案：(1)A　(2)(x＋8)2＋(y－4)2＝1
例2　解析：(1)设点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
又AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.故直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)设点M(x，y)，C(x0，y0)，因为点B(3，0)，M是线段BC的中点，所以x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．故点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
巩固训练2　解析：(1)设P(x，y)，则由题意可得2＝，化简整理得x2＋y2＝16.
故选B.
(2)方法一　(直接法)设P(x，y)，∵圆心C(1，1)，P点是过A的弦的中点，
∴⊥.又＝(2－x，3－y)，＝(1－x，1－y)，
∴(2－x)·(1－x)＋(3－y)(1－y)＝0，
∴P点的轨迹方程为＋(y－2)2＝.
方法二　因为P是弦的中点，所以CP⊥AP.所以P点的轨迹是以线段AC为直径的圆，求出圆心和半径即可求得P点的轨迹方程＋(y－2)2＝.
答案：(1)B　(2)＋(y－2)2＝
例3　解析：(1)方法一　依题意，圆心C(2，7)，半径r＝2.
设m＋2n＝t，则点M(m，n)为直线x＋2y＝t与圆C的公共点，
所以圆心C到该直线的距离d＝≤2，
解得16－2≤t≤16＋2.
所以m＋2n的最大值为16＋2.
方法二　由x2＋y2－4x－14y＋45＝0，得(x－2)2＋(y－7)2＝8.
因为点M(m，n)为圆C上任意一点，
所以可设(θ为参数)即(θ为参数)
所以m＋2n＝2＋2cos θ＋2(7＋2sin θ)＝16＋2cos θ＋4sin θ＝16＋2sin (θ＋φ)，其中tan φ＝.
因为－1≤sin (θ＋φ)≤1，所以m＋2n的最大值为16＋2.
解析：(2)设点Q(－2，3)．
则直线MQ的斜率k＝.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得≤2，
解得2－≤k≤2＋，
即2－≤2＋.所以的最大值为2＋，最小值为2－.
巩固训练3　解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝(y0＋1)2＋(y0－1)2＝2()
)max＝(＋1)2＝36，
∴dmax＝74.
答案：74
例4　解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
故选A.
答案：A
巩固训练4　解析：如图，由于点A与点O在直线l：x－y＝2的同侧，
设点O关于直线l：x－y＝2的对称点为O′(x′，y′)，
∵kOO′＝－1，∴OO′所在直线方程为y＝－x，
联立，解得，即OO′的中点为(1，－1)，
∴O′(2，－2)，
则|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|≥|AO′|＝＝.
答案：
例5　解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4.因为点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的点，所以x2＋(y－3)2＝1，2≤y≤4，所以x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.因为2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
答案：12
巩固训练5　解析：由题意，知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＝(－2x，－2y)，所以||＝2.因为点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的点，所以(x－3)2＋y2＝4，1≤x≤5，所以y2＝－(x－3)2＋4，所以||＝2＝2.因为1≤x≤5，所以当x＝5时，||的值最大，最大值为2＝10.
答案：10

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