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第三节　平面向量的数量积与平面向量的应用
课程标准 考情分析 核心素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 3．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面的夹角． 4．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 2020(Ⅰ)中的第7题考查了平面向量的数量积； 2021(Ⅰ)中的第10题考查了平面向量的数量积的坐标运算； 2021(Ⅱ)中的第15题考查了平面向量的数量积． 直观想象 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.平面向量数量积的概念
(1)向量的夹角
已知两个________向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作________．
(2)数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量______________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
(3)投影向量：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
【微点拨】
(1)判断两个向量夹角时，必须使两个向量的起点重合．
(2)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．
2.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
向量的有关概念 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝________
数量积 |a||b|cos θ x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝ cos θ＝________
A(x1，y1)，B(x2，y2) 两点的距离 |AB|＝|| |AB|＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
【微点拨】
(1)公式a·b＝|a||b|cos θ与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两个向量的数量积的．
若已知两个向量的模与夹角，则用公式a·b＝|a||b|cos θ求解；若已知两个向量的坐标，则用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．
3.向量数量积的运算律
交换律 a·b＝b·a
分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c
数乘结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)
【微点拨】
要准确理解数量积的运算律，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式：
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
3．a与b的夹角θ为锐角，则有a·b>0，反之不成立(θ为0时不成立)；a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(θ为π时不成立)．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.两向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)
2．在△ABC中，向量的夹角为∠ABC.(　　)
3．(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)
4．若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)
题组二　教材改编
5．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为(　　)
A．e　　　　　B．－e
C．－e D．－e
6．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(m，2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________．
题组三　易错自纠
7．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．在△ABC中，AC＝2，点D为AC的中点，点P为BD的中点，若·＝0，则·＝________．
题型突破·提高“四能”
题型一　平面向量数量积的运算
[例1]　(1)[2020·新高考Ⅰ卷]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)
A．(－2，6)　　B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
(2)[2021·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．
[听课记录]
类题通法
求两个向量的数量积的三种方法
[巩固训练1]　(1)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且a与b的夹角为，则(a＋b)·(2a－b)＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
(2)[2022·湖南永州模拟]已知点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，则·()的最小值为(　　)
A．－ B．－
C．－1 D．－2
题型二　 平面向量数量积的应用
角度1 平面向量的模
[例2]　[2022·湖北黄冈模拟]已知平面向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC的中点，则||＝________．
[听课记录]
类题通法
求平面向量的模的两种方法
[巩固训练2]　已知a＝(1，1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝(　　)
A．0　　　B．1
C． D．2
角度2 平面向量的夹角
[例3]　已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
[听课记录]
类题通法
求平面向量夹角的两种方法
[巩固训练3]　已知a＝(－1，－2)，b＝(4，－2)，|c|＝2，(a＋c)·b＝－10，则b与c的夹角θ的余弦值为________．
角度3 平面向量的垂直
[例4]　已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________．
[听课记录]
类题通法
已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[巩固训练4]　已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________．
题型三　平面向量数量积的综合问题
[例5]　已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
[听课记录]
类题通法
利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法．
[巩固训练5]　(多选)[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　)
|＝|
|＝|
＝
＝
11平面向量与三角形的“四心”
在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．应用向量相关知识，可以巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质．
一、重心
[典例1]　[2022·河南洛阳一中月考]已知O是△ABC所在平面上的一点，若＝)(其中P为平面上任意一点), 则点O是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心　 D．垂心
【解析】　由已知得
3＝，
所以3＋3＝，
即＝0，
所以点O是△ABC的重心．
故选C.
【答案】　C
二、垂心
[典例2]　[2022·安徽合肥一中模拟]已知点O为△ABC所在平面内一点，且＋＝＋＝＋，则点O一定为△ABC的(　　)
A．外心　 B．内心
C．重心　 D．垂心
【解析】　因为＋＝＋，
所以－＝－，
所以()·()＝()·()，
所以·()＝·()，
所以·()＝0，
所以·()＝0，
所以·＝0，
所以⊥.
同理可得⊥⊥.
所以O为△ABC的垂心．
故选D.
【答案】　D
三、外心
[典例3]　已知点O是△ABC所在平面上的一点．若()·＝()·＝()·＝0，则点O是△ABC的(　　)
A．外心　 B．内心
C．重心　 D．垂心
【解析】　由已知得
()·()＝()·()＝()·()＝0 －＝－＝－＝0 ||＝||＝||.所以点O是△ABC的外心．故选A.
【答案】　A
四、内心
[典例4]　[2022·天津南开中学月考]已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的迹一定通过△ABC的________．
【解析】　如图所示，＝，
由已知，＝＋λ.
所以＝λ，λ∈[0，＋∞)．
设λ＝，λ＝，
所以D，E在射线AB和AC上，所以＝，
所以AP是平行四边形ADPE的对角线．
又||＝||，所以四边形ADPE是菱形，
所以点P在∠EAD即∠CAB的平分线上．
故点P的迹一定通过△ABC的内心．
【答案】　内心
第三节　平面向量的数量积与平面向量的应用
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)非零　 a⊥b　(2)|a||b|cos θ
2. 　
基本技能、思想、活动经验
1．√　2.×　3.×　4.×
5．解析：由a＝(1，2)，可得|a|＝，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，∴a·b＝－3，∴向量b在向量a上的投影向量为·e＝－e.
故选D.
答案：D
6．解析：因为a⊥b，故2m－2＝0，m＝1，故a＋b＝(3，1)，
故|a＋b|＝.
答案：
7．解析：a与b都是非零向量，则“向量a与b的夹角为锐角” “a·b>0”，反之不成立，若a·b>0，a与b可能同向共线．因此“a·b>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
答案：B
8．解析：因为·＝0，所以CA⊥CB.依题意作图．
因为点P为BD的中点，点D为AC的中点，
所以＝＝)＝，又AC＝2.
所以·＝·＝－·＝×4－0＝1.
答案：1
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)·＝||·||·cos ∠PAB＝2||cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A.
解析：(2)由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.
答案：(1)A　(2)－
巩固训练1　解析：(1)(a＋b)·(2a－b)＝2a2－b2＋a·b＝2－3＋1×＝.故选A.
(2)建立平面直角坐标系如下，
则B(0，0)，A(0，1)，C(1，0)，D(1，1)，
设P(x，y)，∵＝λ＝λ(1，1)，λ∈[0，1]，∴x＝λ，y＝λ，∴P(λ，λ)，
则＝(－λ，－λ)，＝(1－2λ，1－2λ)，
∴·()＝－λ(1－2λ)×2＝4λ2－2λ＝4－，λ∈[0，1]，
∴当λ＝时，·()取得最小值为－，
故选A.
答案：(1)A　(2)A
例2　解析：由题意知m·n＝×2×cos ＝3.
∵△ABC中，D为BC的中点，
∴＝)＝(2m＋2n＋2m－6n)＝2m－2n.
∴||＝|2m－2n|＝2
＝2＝2＝2.
答案：2
巩固训练2　解析：由题意知a－b＝(－1，1－m)，∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，∴m＝0，∴b＝(2，0)，∴|b|＝2.故选D.
答案：D
例3　解析：因为(a－b)⊥b，
所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，
所以a·b＝b2.
所以cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为，故选B.
答案：B
巩固训练3　解析：a·b＝－4＋4＝0，
(a＋c)·b＝a·b＋b·c＝b·c＝－10，
|b|＝＝2，
所以cos θ＝＝＝－.
答案：－
例4　解析：c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－.
答案：－
巩固训练4　解析：因为(ka－b)·a＝ka2－a·b＝0，且单位向量a，b的夹角为45°，所以k－＝0，即k＝.
答案：
例5　解析： (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cos x＝3sin x.
则tan x＝－.
又因为x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos .因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos .
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
巩固训练5　解析：A：＝＝(cos β，－sin β)，所以|＝＝|＝＝1，故|＝|，正确；
B：＝＝(cos β－1，－sin β)，所以|＝
＝
＝＝ ＝2|sin |，
同理|＝＝2|sin |，故|不一定相等，错误；
C：由题意得：＝1×cos (α＋β)＋0×sin (α＋β)＝＝cos α·cos β＋sin α·(－sin β)＝cos (α＋β)，正确；
D：由题意得：＝1×cos α＋0×sin α＝＝cos β×cos (α＋β)＋(－sin β)×sin (α＋β)＝cos ＝cos ，故一般来说，错误．
故选AC.
答案：AC

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