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第四节　复数
课程标准 考情分析 核心素养
1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义． 3．能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义． 2020(Ⅰ)中的第2题考查了复数的乘除运算； 2021(Ⅰ)中的第2题考查了复数的乘法和共轭复数的定义； 2021(Ⅱ)中的第1题考查了复数的乘除运算和复数的几何意义． 直观想象 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.复数的定义及分类
(1)复数的定义：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是________，虚部是________．
2．复数的有关概念
(1)复数相等：a＋bi＝c＋di __________．(a，b，c，d∈R)
(2)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 ______________，(a，b，c，d∈R)
(3)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝________(r≥0，b∈R)．
(4)复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
【微点拨】
(1)实数能比较大小，虚数不能比较大小．
(2)实数a的共轭复数是a本身．
(3)实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数．
3.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
【微点拨】
(1)复数加法的几何意义
若复数z1，z2对应的向量不共线，则复数z1＋z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
(2)复数减法的几何意义
复数z1－z2是＝所对应的复数．
4．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________________；
③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________________；
④除法：＝＝＝i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__________， (z1＋z2)＋z3＝________________．
[常用结论]
(1)in(n∈N*)具有周期性，且最小正周期为4，其性质如下：
①i4n＝1(n∈N*)，i4n＋1＝i(n∈N)，i4n＋2＝－1(n∈N)，i4n＋3＝－i(n∈N)．
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i，z·＝＝||2，|z1·z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.若a∈C，则a2≥0.(　　)
2．已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)
3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.(　　)
4．方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)
题组二　教材改编
5．设z＝(1＋i)(2－i)，则复数z在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限　　B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6． (　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
题组三　易错自纠
7．复数的虚部是(　　)
A．－ B．－
C． D．
8．已知i是虚数单位，z＝－3i2 021，则z的共轭复数为＝________．
题型突破·提高“四能”
题型一　复数的有关概念
[例1]　(1)设z是复数，则下列命题中正确的是(　　)
A．若z是纯虚数，则z2≥0
B．若z的实部为0，则z为纯虚数
C．若z－＝0，则z是实数
D．若z＋＝0，则z是纯虚数
(2)[2022·山东省实验中学模拟]已知复数z＝(a－3i)(3＋2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7，则a的值为(　　)
A．1　　B．0
C．2 D．－2
[听课记录]
类题通法
解决复数概念问题的两个注意事项
[巩固训练1]　(1)已知复数z＝2－3i，若·(a＋i)是纯虚数，则实数a＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)[2022·江苏南通模拟]若复数z满足z·(2－i)＝i，其中i为虚数单位，则复数＝(　　)
A．－i B．－i
C．i D．i
题型二　复数的运算
[例2]　(1)[2021·新高考Ⅰ卷]已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)
A．6－2i　　B．4－2i
C．6＋2i D．4＋2i
(2)[2022·河北张家口模拟]＝(　　)
A．　　B． C．　　D．2
(3)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A．－1－i B. －1＋i
C. －＋i D. －－i
[听课记录]
类题通法
复数代数形式运算的策略
[巩固训练2]　(1)已知i为虚数单位，则＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
(2)已知复数z＝2＋i，则z·＝(　　)
A． B．
C．3 D．5
题型三　复数的几何意义
[例3]　(1)[2021·新高考Ⅱ卷]复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限　　B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
[听课记录]
类题通法
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[巩固训练3]　(1)在复平面内，复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
第四节　复数
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)a　b　(2)实数　纯虚数　非纯虚数
2．(1)a＝c且b＝d　(2)a＝c且b＝－d　(3)
4．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋(ad＋bc)i　(2)z2＋z1　z1＋(z2＋z3)
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.×　4.×
5．解析：z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，故复数z在复平面内所对应的点(3，1)位于第一象限．故选A.
答案：A
6．解析：＝＝＝－i，故选D.
答案：D
7．解析：利用复数除法法则得＝＝，所以虚部为，故选D.
答案：D
8．解析：z＝－3i2 021＝－3i＝i＋1－3i＝1－2i，所以＝1＋2i.
答案：1＋2i
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)对于A选项，若z为纯虚数，可设z＝bi(b∈R，b≠0)，则z2＝－b2<0，A选项错误；
对于B选项，取z＝0，则z为实数，B选项错误；
对于C选项，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝2bi＝0，则b＝0，∴z＝a∈R，C选项正确；
对于D选项，取z＝0，则z＋＝0，但z＝0∈R，D选项错误．
故选C.
(2)z＝(a－3i)(3＋2i)＝3a＋2ai－9i－6i2＝3a＋6＋(2a－9)i
所以复数z的实部与虚部分别为3a＋6，2a－9，
于是3a＋6＋2a－9＝7，
解得a＝2，
故选C.
答案：(1)C　(2)C
巩固训练1　解析：(1)·(a＋i)＝(2＋3i)(a＋i)＝2a－3＋(3a＋2)i是纯虚数，
则，解得a＝.
故选D.
(2)由题意，z＝＝＝－i，所以＝－i.
故选B.
答案：(1)D　(2)B
例2　解析：(1)因为z＝2－i，故＝2＋i，故z＝＝4＋4i－2i－2i2＝6＋2i.
故选C.
(2)＝＝＝.
故选A.
(3)z＝＝＝＝－1＋i.
答案：(1)C　(2)A　(3)B
巩固训练2　解析：(1)因为＝＝1－i，
所以＝|1－i|＝.
故选B.
(2)∵z＝2＋i，∴＝2－i.
∴z·＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.
答案：(1)B　(2)D
例3　解析：(1)＝＝＝，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，故选A.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)．
因为z－i＝x＋(y－1)i，
所以|z－i|＝＝1，
则x2＋(y－1)2＝1.故选C.
答案：(1)A　(2)C
巩固训练3　解析：(1)∵＝＝＝＝－i，
∴对应的点的坐标为在第二象限．故选B.
(2)由条件得＝(3，－4)，＝(－1，2)，＝(1，－1)，
根据＝λ＋μ，得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴解得∴λ＋μ＝1.
答案：(1)B　(2)1

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