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第一节　平面向量的概念及线性运算
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义． 3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 4．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查平面向量的概念及线性运算，但在其它向量题中有所体现，如：2020(Ⅰ)中的第7题；2021(Ⅰ)中的第10题；2021(Ⅱ)中的第15题． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.向量的有关概念即表示
名称 定义 备注
向量 既有__________又有__________的量叫做向量；向量的大小称为向量的__________(或称__________) 记作||
零向量 长度为__________的向量叫做零向量 记作0
单位向量 长度等于______________的向量，叫做单位向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向________或________的非零向量叫做平行向量 零向量与任意向量________或共线
共线向量 ________的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度________且方向________的向量叫做相等向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量 长度________且方向________的向量叫做相反向量 零向量的相反向量仍是零向量
【微点拨】
(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0．
(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相等．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．
(4)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 (1)交换律：a＋b＝__________ (2)结合律：(a＋b)＋c＝________
减法 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差．求两个向量差的运算叫做向量的减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘 (1)|λa|＝________； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向______；当λ<0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝________； (λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________ (λ，μ为实数)
【微点拨】
1．两个法则的使用条件不同：三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
2．向量的加法、减法与数乘运算的运算律，在向量的线性运算中仍然成立．
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得________．
【微点拨】
(1)在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”．若忽视“a≠0”，则λ可能不存在，也可能有无数个．
(2)三点共线的等价关系：
A，P，B三点共线 ＝λ(λ≠0) ＝(1－t)＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R) ＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
[常用结论]
1．P为线段AB的中点 ＝)．
2．若G为△ABC的重心，则有
(1)＝0；
(2)＝)．
3．对于起点相同、终点共线的三个向量(O与P1，P2不共线)，总有＝，u＋v＝1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1.
4．对于任意两个向量a，b，都有：
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.＝.(　　)
2．若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
3．若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
4．若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
题组二　教材改编
5．(多选)下列关于向量的结论，其中正确的选项为(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
B．非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
D．若向量a与b同向，且|a|＝|b|，则a>b
6．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________．
题组三　易错自纠
7．下列说法正确的是(　　)
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a、b共线
D．若a≠b，则a、b不共线
8．若四边形ABCD满足∥且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．
题型突破·提高“四能”
题型一　平面向量的有关概念
[例1]　(多选) 给出下列命题，不正确的有(　　)
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
[听课记录]
类题通法
[巩固训练1]　设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＝0成立的是(　　)
A．a＝2b　　　B．a∥b
C．a＝－b D．a⊥b
题型二　平面向量的线性运算
角度1 平面向量的线性运算
[例2]　[2022·山东滨州模拟]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A．　　　B．
C． D．
[听课记录]
类题通法
平面向量的线性运算的求解策略
[巩固训练2]　[2022·广东梅州模拟]设P是△ABC所在平面内的一点，＝2，则(　　)
A．＝0 B．＝0
C．＝0 D．＝0
角度2 向量加、减法的几何意义
[例3]　若P是△ABC所在平面内的一点，且||－|－2|＝0，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
[听课记录]
类题通法
利用向量加、减法的几何意义的解题方法
[巩固训练3]　设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
角度3 利用向量的线性运算求参数
[例4]　[2022·山东泰安模拟]已知平面四边形ABCD满足＝，平面内点E满足＝3，CD与AE交于点M，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A． B．－
C． D．－
[听课记录]
类题通法
解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
[巩固训练4]　如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝(　　)
A． B．
C． D．
题型三　共线向量定理的应用
角度1 向量共线
[例5]　已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，a－b共线，求实数t的值．
[听课记录]
类题通法
向量共线的两种情况
[巩固训练5]　[2022·山东济南模拟]已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)
A．1　　　　　B．－
C．1或－ D．－1或－
角度2 三点共线
[例6]　(1)[2022·福建福清月考]已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
(2)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2.若A，B，D三点共线，则k的值为________．
[听课记录]
类题通法
三点共线问题的解题技巧
根据 A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为＝λ或＝λ＋(1－λ)(λ为常数)，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数．
[巩固训练6]　已知O为△ABC内一点，且＝)，＝t，若B，O，D三点共线，则t＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
第七章　平面向量、复数
第一节　平面向量的概念及线性运算
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．大小　方向　长度　模　0　1个单位长度　相同　相反　方向相同或相反　
平行　相等　相同　相等　相反
2．b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反　(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb
3．b＝λa
基本技能、思想、活动经验
1．√　2.×　3.×　4.×
5．解析：若|a|＝|b|，但a，b方向不能确定，选项A错误；非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反，选项B正确；根据向量相等的定义，选项C正确；向量不能比较大小，选项D错误．
故选BC.
答案：BC
6．解析：依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，所以解得k＝，λ＝－.
答案：－
7．解析：对于A，向量是矢量，不能比较大小，故A错误；对于B，向量相等时，模长相等且方向相同，故B错误；对于C，若a＝b时，a与b方向相同，则a、b共线，故C正确；对于D，若a≠b时，也可能a与b方向相同或相反，即a、b可能共线，故D错误．
故选C.
答案：C
8．解析：当||＝||时，四边形ABCD是平行四边形；当||≠||时，四边形ABCD是等腰梯形．
答案：等腰梯形或平行四边形
题型突破　提高“四能”
例1　解析：A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故选ACD
答案：ACD
巩固训练1　解析：由a，b都是非零向量及＝0，得＝－≠0，即a＝－·|a|≠0，则a与b方向相反，因此当向量a与向量b方向相反时，能使＝0成立．对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直．
故选C.
答案：C
例2　解析：根据向量的运算法则，可得
＝＝＝)＝＝，
所以＝，故选A.
答案：A
巩固训练2　解析：＝2，移项得－2＝0，＝＝0.故选B.
答案：B
例3　解析：P是△ABC所在平面上一点，且||－|－2|＝0，∴||－|()＋()|＝0，即||＝||，∴||＝||，两边平方并化简得·＝0，∴⊥，∴A＝90°，即△ABC是直角三角形．故选B.
答案：B
巩固训练3　解析：方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.
方法二　利用向量加法的平行四边形法则，
在 ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.
答案：A
例4　解析：易知BC＝4AD，CE＝2AD，
＝＝＝
＝＋6)－＝－＋2，
∴x＋y＝，故选C.
答案：C
巩固训练4　解析：根据题意得＝)，又因为＝＝，
所以＝＝.故选D.
答案：D
例5　解析：由a，b不共线，易知向量a－b为非零向量．由向量b－ta，a－b共线，可知存在实数λ，使得b－ta＝λ，
即a＝b.
由a，b不共线，必有t＋λ＝λ＋1＝0.否则，不妨设t＋λ≠0，则a＝b.由两个向量共线的充要条件知，a，b共线，与已知矛盾．
由解得t＝.
因此，当向量b－ta，a－b共线时，t＝.
巩固训练5　解析：由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.故选B.
答案：B
例6　解析：(1)∵＝－5a＋6b，＝7a－2b，∴＝＝2a＋4b，
又＝a＋2b，所以＝2，即∥，而有公共点B，
∴A，B，D三点共线，A选项正确；
＝－4a＋8b，显然两两不共线，选项B，C，D都不正确．
故选A.
解析：(2)因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2.又e1与e2不共线，所以解得k＝－.
答案：(1)A　(2)－
巩固训练6　解析：设E是BC边的中点，则)＝，由题意得＝，所以＝＝)＝.又因为B，O，D三点共线，所以＝1，解得t＝，故选B.
答案：B

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