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第二节　平面向量基本定理及向量坐标运算
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解平面向量基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查平面向量基本定理及向量坐标运算，但在其它向量题中有所体现，如：2020(Ⅰ)中的第7题；2021(Ⅰ)中的第10题． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________．若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量作正交分解．
【微点拨】
1．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
2．基底给定，同一向量的分解形式唯一．
3．对于一组基底e1，e2，若a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则
2．平面向量的坐标运算
运算 坐标表示(设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
和 a＋b＝________________
差 a－b＝________________
数乘 λa＝________________，其中λ∈R
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________
【微点拨】
(1)向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．
(2)要区分点的坐标与向量坐标，尽管在形式上它们类似，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息，也有大小的信息．
3.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
a∥b ________________．
【微点拨】
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝.因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
[常用结论]
(1)若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2)已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1；
(3)已知P为线段AB的中点，若，y2)，则P点坐标为.
(4)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G()．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
3．平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　)
4．当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)
题组二　教材改编
5．若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)
A．a＋b　　 B．－a－b
C．a＋b D．a－b
6．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(2，1)，则其第四个顶点的坐标为________．
题组三　易错自纠
7．(多选)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基底的是(　　)
A．a＝e1＋e2，b＝e1
B．a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2
C．a＝e1＋e2，b＝e1－e2
D．a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
8．已知两点A(－1，3)，B(3，0)，则与向量同向的单位向量是(　　)
A． B．
C． D．
题型突破·提高“四能”
题型一　平面向量基本定理的应用
角度1 用已知基底表示向量
　
[例1]　(多选)[2022·河北石家庄模拟]在边长为2的正方形ABCD中，E为BC边的中点，DF⊥AE于点F，则(　　)
A．AF＝
B．∠BAE＝∠ADF＝30°
C．＝
D．＝
[听课记录]
类题通法
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
[巩固训练1]　如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)
A．　　　B．
C．－ D．－
角度2 解析法(坐标法)在向量中的应用
[例2]　[2022·广东湛江模拟]在∠A＝90°的等腰直角△ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，＝λ＋μ，则λ＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－1
[听课记录]
类题通法
应用平面向量基本定理的两种方法
[巩固训练2]　如图，矩形ABCD与矩形DEFG全等，且＝，则＝(　　)
A．－＋2 B．－
C．－2 D．－2
角度3 利用平面向量基本定理求参数的值(或范围)
[例3]　一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若＝2＝3＝λ－μ(λ，μ∈R)，则μ－λ＝(　　)
A．－ B．1
C． D．－3
[听课记录]
类题通法
利用平面向量基本定理求参数值的基本思路
利用定理的唯一性，对某一向量用基底表示两次然后利用系数相等列方程(组)求解，即对于基底}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，则有
[巩固训练3]　[2022·江苏无锡月考]在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高．若＝λ＋μ，则λ－μ＝________．
题型二　平面向量的坐标运算
[例4]　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
[听课记录]
类题通法
平面向量坐标运算的技巧
利用向量的坐标运算解题时，首先利用加、减、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解．
[巩固训练4]　(1)若向量＝(5，6)，＝(2，3)，则＝(　　)
A．(－3，－3)　　　　B．(7，9)
C．(3，3) D．(－6，－10)
(2)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________．
题型三　平面向量共线的坐标表示
角度1 利用向量共线求向量或点的坐标
[例5]　已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
[听课记录]
类题通法
一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
[巩固训练5]　已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
角度2 利用向量共线求参数
[例6]　(1)设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
(2)[2022·山东莱芜一中月考]已知向量a＝(1，2)，b＝(2，m)，若a∥(a＋2b)，则m＝________．
[听课记录]
类题通法
利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
[巩固训练6]　[2022·广东大联考]已知向量a＝(－3，4)，b＝(1，－3)，若－3a＋2b与ma＋3b共线，则m的值为(　　)
A．－ B．2
C． D．4
第二节　平面向量基本定理及向量坐标运算
教材回扣　夯实“四基”
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．不共线　λ1e1＋λ2e2　互相垂直
2．(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)　(x2－x1，y2－y1)
3．x1y2－x2y1＝0
基本技能、思想、活动经验
1．√　2.×　3.√　4.√
5．解析：设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以
解得则c＝a＋b.
故选A.
答案：A
6．解析：设A(1，0)，B(0，1)，C(2，1)，第四个顶点D(x，y)，
由题意，该平行四边形四个顶点的顺序不确定，讨论如下：
①若平行四边形为ABCD，则＝.
因为＝(－1，1)，＝(2－x，1－y)，
所以解得即D(3，0)；
②若平行四边形为ABDC，则＝.
因为＝(－1，1)，＝(x－2，y－1)，
所以
解得即D(1，2)；
③若平行四边形为ACBD，则＝.
因为＝(1，1)，＝(－x，1－y)，
所以解得即D(－1，0)．
答案：(3，0)或(1，2)或(－1，0)
7．解析：对A，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；
对B，b＝a，所以a，b共线，故不符合；
对C，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；
对D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合．
故选ACD.
答案：ACD
8．解析：因为两点A(－1，3)，B(3，0), 所以＝(4，－3)，
所以＝×(4，－3)＝，
所以与向量同向的单位向量为，
故选A.
答案：A
题型突破　提高“四能”
例1　解析：延长DF交AB于点G，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，DF⊥AE于点F，易知G为AB的中点，∠BAE＝∠ADF≠30°.易知△ADF∽△GDA，所以＝，即AF·＝1×2，所以AF＝＝，所以＝，所以＝＝)＝＝，所以＝＝＝＝＝.
故选AD.
答案：AD
巩固训练1　解析：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝＝，所以＝＝＝＝，于是＝＝＝＝－.
故选C.
答案：C
例2　解析：以A为原点建立直角坐标系，
设B(2，0)，C(0，2)，则F(1，1)，E(1，0)，
则＝(－2，2)，λ＋μ＝λ(1，1)＋μ(1，－2)＝(λ＋μ，λ－2μ)，
所以，所以λ＝－.
故选A.
答案：A
巩固训练2　解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，
设AD＝1，因为矩形ABCD与矩形DEFG全等，且＝，
所以AB＝2，则C(1，2)，B(0，2)，G(1，1)，D(1，0)，F(3，1)，
所以＝(1，2)，＝(1，－1)，＝(2，1)，
故＝－.
故选B.
答案：B
例3　解析：＝λ－μ＝λ－μ()＝(λ－μ)－μ＝2(λ－μ)－3μ.因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以μ－λ＝－.
故选A.
答案：A
巩固训练3　解析：根据题意画出图象，如图
∵AD为BC边上的高
∴AD⊥BC，
∵AB＝2, ∠ABC＝30°，
则BD＝，
∴BD＝BC，
∴＝＝＝)＝.
又∵＝λ＋μ，
∴λ＝，μ＝，
故λ－μ＝.
答案：
例4　解析：由已知得a＝(5，－5)，
b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)方法一　∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
方法二　∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，
又∵a＝mb＋nc，
∴mb＋nc＝－b－c，
∴
解析：(3)设O为坐标原点，
∵＝＝3c，
∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
∴M(0，20)．
又∵＝＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
∴N(9，2)，∴＝(9，－18)．
巩固训练4　解析：(1)由题意，向量＝(2，3)，可得＝(－2，－3)，
又由向量＝(5，6)，可得＝＝(5，6)＋(－2，－3)＝(3，3)．
故选C.
(2)由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.
设点B的坐标为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2×(1，2)，则解得所以向量的坐标是(4，7)．
答案：(1)C　(2)(4，7)
例5　解析：方法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝＝(4λ－4，4λ)．又因为＝＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)．
方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又因为＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)．
答案：(3，3)
巩固训练5　解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，
∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，
＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
∴，解得，
故点D的坐标为 (2，4)．
例6　解析：(1)由已知得＝＝(2m－1，1)，
＝＝(－2n－1，2)，
由A，B，C三点共线可知∥，
∴(2m－1)×2－1×(－2n－1)＝0，
即2m＋1＋2n＝1.
∴2m＋1＋2n≥2，
∴2m＋n＋1≤2－2，
∴m＋n≤－3.故选A.
(2)因为a＝(1，2)，b＝(2，m)，所以a＋2b＝(5，2＋2m)，
又因为a∥(a＋2b)，
所以1×(2＋2m)－2×5＝0，
解得：m＝4.
答案：(1)A　(2)4
巩固训练6　解析：因为a＝(－3，4)，b＝(1，－3)，－3×(－3)≠1×4，
所以a，b不共线，所以a，b可以作为基底，所以由－3a＋2b与ma＋3b共线，得＝，解得m＝－.
故选A.
答案：A

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