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第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系
课程标准 考情分析 核心素养
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2．了解三个基本事实和一个定理，并能用定理解决问题． 2020(Ⅰ)中的第16题考查了面面的交线长； 2021年未单独考查空间点、直线、平面之间的位置关系，但在其它立体几何题中有所体现，如2021(Ⅰ)中的第12、20题；2021(Ⅱ)中的第10、19题． 直观想象 逻辑推理
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.平面的基本事实
图形 文字语言 符号语言
基本 事实 1 过______________的三个点，有且只有一个平面． A，B，C三点不共线 有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
基本 事实 2 如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线． P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
基本 事实 4 平行于同一条直线的两条直线平行 若直线a∥b，c∥b，则a∥c
2.三个推论
推论1：经过一条直线与______________有且只有一个平面；
推论2：经过两条____直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条____直线有且只有一个平面．
【微点拨】
基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内；基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；基本事实4是对初中平行线的传递性在空间中的推广．
3．空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行 关系 图形 语言
符号 语言 a∥b a∥α α∥β
相交关系 图形语言
符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
独有关系 图形 语言 或
符号 语言 a，b是异面直线, a α
【微点拨】
1．判定直线与平面的位置关系时一定不要忽视“直线在平面内”．
2．不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．
3．异面直线不具有传递性．
4．等角定理
如果空间中两个角的________________，那么这两个角相等或互补．
[常用结论]
1．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)
2．两两平行的三条直线可以确定三个平面．(　　)
3．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)
4．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)
题组二　教材改编
5．下列命题中正确的是(　　)
A．过三点确定一个平面
B．四边形是平面图形
C．三条直线两两相交则确定一个平面
D．两个相交平面把空间分成四个区域
6．如图，在三棱锥A BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
题组三　易错自纠
7．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，b与α的位置关系是(　　)
A．b∥α B．b与α相交
C．b α D．b∥α或b与α相交
8．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
题型突破·提高“四能”
题型一　基本事实的应用
[例1]　如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
[听课记录]
类题通法
共面、共线、共点问题的证明方法
[巩固训练1]　(1)在三棱锥A BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　　)
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
(2)(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是(　　)
题型二　空间两条直线的位置关系
[例2]　(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)(多选)如图，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有(　　)
[听课记录]
类题通法
空间两直线位置关系的判定方法
[巩固训练2]　如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
题型三　正方体的切割(截面)问题　　　
[例3]　(1)[2022·河南郑州模拟]如图，在棱长为12的正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1和C1D1的中点分别为M，N，则过A，M，N三点的平面被正方体所截得的截面图形为(　　)
A．六边形 B．五边形
C．四边形 D．三角形
(2)[2020·新高考Ⅰ卷]已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
[听课记录]
类题通法
[巩固训练3]　(1)(多选)正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，用一个平面α截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是(　　)
A．这两部分的表面积也相等
B．截面可以是三角形
C．截面可以是五边形
D．截面可以是正六边形
(2)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．
第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．不在一条直线　两个点　有且只有一条
2．这条直线外一点　相交　平行
4．两边分别对应平行
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.×　4.×
5．答案：D
6．解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，所以AC＝BD.
(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH.因为EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.
答案：(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD
7．解析：因为a，b是两条相交直线，所以a，b确定一个平面β，若β∥α，则b∥α，若β与α相交，则b与α相交，故选D.
答案：D
8．解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
答案：1或4
题型突破　提高“四能”
例1　解析：
(1)如图，连接EF，CD1，A1B.
因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.
又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，
所以E，C，D1，F四点共面．
(2)因为EF∥CD1，EF所以CE与D1F必相交，
设交点为P，则由P∈CE，CE 平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
所以P∈直线DA.
所以CE，D1F，DA三线共点．
巩固训练1　解析：(1)
如图所示，因为EF 平面ABC，HG 平面ACD，EF＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故选B.
解析：(2)A中，PS∥QR，所以四点共面；B中，PS∥QR，所以四点共面；C中，PQ∥SR，所以四点共面；D中，四点不共面．故选ABC.
答案：(1)B　(2)ABC
例2　解析：(1)(方法一：反证法)由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交．
(方法二：模型法)如图①l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交．故A，B不正确．如图②，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．故选D.
解析：(2)A中，直线GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；C中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；D中，G，M，N共面，但H 平面GMN，因此GH与MN异面．所以BD中GH与MN异面．故选BD.
答案：(1)D　(2)BD
巩固训练2　解析：
如图，连接BD，BE.
在△BDE中，N为BD的中点，M为DE的中点，
∴BM，EN是相交直线，排除选项C，D.
作EO⊥CD于点O，连接ON.
作MF⊥OD于点F，连接BF.
∵平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD＝CD，EO⊥CD，EO 平面CDE，∴EO⊥平面ABCD.
同理，MF⊥平面ABCD.
∴△MFB与△EON均为直角三角形．
设正方形ABCD的边长为2，易知EO＝，ON＝1，MF＝，BF＝＝，则EN＝＝2，BM＝＝，∴BM≠EN.故选B.
答案：B
例3　解析：(1)
在一个棱长为12的正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1和C1D1的中点分别为M，N，如图取CC1的中点M′，连接DM′，MM′易证得AM∥DM′.
在DD1上取点E，使DE＝3ED1＝9，连接AE、NE，易证得NE∥DM′.∴NE∥AM.
在CC1取点E′使CE′＝CC1，连接BE′，易证得AE∥BE′.
在CC1的延长线上，取点Q，使QC1＝CC1.连接MQ，交B1C1于点O，连接MO，ON，则MQ∥BE′，∴MQ∥AE.∴过A，M，N三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形AMONE.故选B.
解析：(2)
如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝.
答案：(1)B　(2)
巩固训练3　解析：
(1)因为用平面α截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，所以平面α一定过正方体的中心，所以这两部分的表面积也相等．根据对称性可知，截面不会是三角形、五边形，但可以是正六边形，如图，故选AD.
解析：(2)如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝2，MN＝，且BM＝DN＝，∴等腰梯形MNDB的高为h＝＝，∴梯形MNDB的面积为×(＋2)×＝.
答案：(1)AD　(2)

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