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第一节　直线的倾斜角、斜率与直线的方程
课程标准 考情分析 核心素养
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查直线的倾斜角、斜率与直线的方程，但在其它立体几何题中有所体现，如：2020年的第13、22题，2021(Ⅰ)中的第11、21题，2021(Ⅱ)中的第3、11、20题． 直观想象 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为________________________________________________________________________．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
【微点拨】
(1)斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换．就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.
(2)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 ________________ 不含直线x＝x0
斜截式 ________________ 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2) 和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 ________________ 所有的直线都适用
【微点拨】
(1)求直线方程时，若不能判断直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论．
(2)“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0.
[常用结论]
1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
2.特殊位置的直线方程
(1)与x轴重合的直线方程为y＝0；
(2)与y轴重合的直线方程为x＝0；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(　　)
2．若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
3．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
4．直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离．(　　)
题组二　教材改编
5．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1　　　　B．4
C．1或3 D．1或4
6．过点P(2，－3)且倾斜角为45°的直线的方程为________．
题组三　易错自纠
7．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．有的直线斜率不存在
B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α
C．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为
D．截距可以为负值
8．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________.
题型突破·提高“四能”
题型一　直线的倾斜角与斜率
[例1]　(1)若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有(　　)
A．k1C．k3(2)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l的方程为－kx＋y＋k－1＝0，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(　　)
A．(－∞，－4]
B．
C．
D．
(3)[2022·北京101中学模拟]直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．
[听课记录]
类题通法
求倾斜角的取值范围的一般步骤
[巩固训练1]　(1)(多选)若直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，ab≠0，a≠b，则下列图形可能正确的是(　　)
(2)已知曲线y＝x3－x2上一个动点P，作曲线在点P处的切线，则切线倾斜角的取值范围为(　　)
A． B.
C． D．
(3)已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1，1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是________．
题型二　直线的方程
[例2]　根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.
[听课记录]
类题通法
求直线方程的两种方法
[巩固训练2]　(1)在等腰三角形MON中，|MO|＝|MN|，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
(2)过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________________________________________________________________________．
(3)过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________________________________________________________________．
题型三　直线方程的综合应用
角度1 直线过定点问题
[例3]　(1)直线ax＋(a＋1)y＋a－1＝0过定点(　　)
A．(2，1)　　　　　　B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(－2，3)
(2)已知实数m，n满足2m－n＝1，则直线mx－3y＋n＝0必过定点________．
[听课记录]
类题通法
1.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标．
2．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
[巩固训练3]　(1)对于任意的实数k，直线y＝kx－k＋1恒过定点P，则点P的坐标为(　　)
A．(－1，－1) B．(－1，1)
C．(1，－1) D．(1，1)
(2)直线y＝kx＋3k＋1经过的定点为________．
角度2 与直线方程有关的最值问题
[例4]　过点P(4，1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
[听课记录]
类题通法
与直线方程有关的最值问题的解题策略
[巩固训练4]　(1)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0(2)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
第九章　平面解析几何
第一节　直线的倾斜角、斜率与直线的方程
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)向上的方向　平行或重合　(2)0°≤α＜180°
3．y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　(A2＋B2≠0)
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.√　4.×
5．解析：过点M(－2，m)、N(m，4)的直线的斜率等于1，所以k＝＝＝1，解得m＝1.
故选A.
答案：A
6．解析：设直线解析式为y＝x＋b，把P(2，－3)代入，得b＝－5，
故直线方程为y＝x－5.
答案：y＝x－5
7．解析：A中，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，A正确；
B中，根据斜率的定义可得B正确；
C中，当倾斜角θ＝时，tan θ＝1，当倾斜角θ＝时，tan θ＝－1，C不正确；
D中，截距可以为正，也可以为负，还可以为0，D正确．
故选ABD.
答案：ABD
8．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案：x＋y－5＝0或3x－2y＝0
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)由图可知k1>0，k2<0，k3<0，且直线l3的倾斜角大于直线l2的倾斜角，所以k3>k2.综上可知k2(2)由－kx＋y＋k－1＝0，即y－1＝k(x－1)，可知直线l恒过定点P(1，1)，则kAP＝－4，kBP＝.
作出直线AP，BP(图略)，可知当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率k的取值范围为(－∞，－4].故选A.
解析：(3)因为sin α∈[－1，1]，
所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是.
答案：(1)D　(2)A　(3)
巩固训练1　解析：(1)直线l1：ax－y－b＝0可化为y＝ax－b，直线l2：bx－y＋a＝0可化为y＝bx＋a.
对于A，由l1得a>0，b<0，由l2得b<0，a>0，故A正确；
对于B，由l1得a>0，b>0，由l2得b>0，a>0，故B正确；
对于C，由l1得a<0，b<0，由l2得b>0，a>0，故C不正确；
对于D，由l1得a<0，b<0，由l2得b<0，a>0，故D不正确．故选AB.
(2)∵y′＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴切线的斜率k≥－1，∴切线的倾斜角α∈.故选B.
解析：(3)由已知得kAP＝＝2，kBP＝＝.如图，因为直线l与线段AB始终没有交点，所以斜率k的取值范围是.
答案：(1)AB　(2)B　(3)
例2　解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)．
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知纵、横截距不为0.设直线方程为＝1.又直线过点(－3，4)，从而＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
解析：(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意．当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
巩固训练2　解析：(1)因为|MO|＝|MN|，点N在x轴的负半轴上，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0.故选C.
(2)依题意，所求直线的斜率为－4×＝－.又所求直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
解析：(3)依题意，所求直线的截距一定存在，设直线方程是＝1(a≠0)，则＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＝1或＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
答案：(1)C　(2)4x＋3y－13＝0　(3)2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0
例3　解析：(1)直线方程可化为a(x＋y＋1)＋y－1＝0，由，解得，
因此，直线ax＋(a＋1)y＋a－1＝0过定点(－2，1)．
故选C.
(2)由已知得n＝2m－1，
代入直线mx－3y＋n＝0得mx－3y＋2m－1＝0，
即(x＋2)m＋(－3y－1)＝0，
由，解得，
∴直线必过定点.
答案：(1)C　(2)
巩固训练3　解析：(1)由y＝kx－k＋1可得y－1＝k(x－1)，
由，可得x＝1，y＝1，
所以直线y＝kx－k＋1恒过定点P(1，1)，
故选D.
(2)由题意，直线y＝kx＋3k＋1可化为y－1＝k(x＋3)，
又由，解得x＝－3，y＝1，即直线过定点(－3，1)．
答案：(1)D　(2)(－3，1)
例4　解析：设直线l：＝1(a>0，b>0)．
因为直线l经过点P(4，1)，所以＝1.
(1)因为1＝≥2＝，
所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．
所以，当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小．
此时直线l的方程为＝1，即x＋4y－8＝0.
解析：(2)因为＝1(a>0，b>0)，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＝1，即x＋2y－6＝0.
巩固训练4　解析：(1)由题意知直线l1，l2都恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋.又0解析：(2)由直线x＋my＝0求得定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，得定点B(1，3)．当m＝0时，两条动直线垂直；当m≠0时，因为－×m＝－1，所以两条动直线也垂直．因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.
答案：(1)　(2)5

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