资源简介

第二节　两条直线的位置关系
课程标准 考情分析 核心素养
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能用解方程的方法求两条直线的交点坐标． 3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查两直线的位置关系和距离，但有与其它解析几何题一并考查，如：2020年的第13题，2021(Ⅰ)中的第11、21题，2021(Ⅱ)中的第3、11、20题． 直观想象 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.两条直线的平行与垂直
两条直线的方程 位置关系的判定
l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2x＋b2 l1与l2重合 k1＝k2，且b1＝b2
l1∥l2 ______________
l1与l2相交 k1≠k2
l1⊥l2 ______________
l1：A1x＋B1y＋C1＝≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝≠0) l1与l2重合 ＝＝
l1∥l2 ______________，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
l1与l2相交 A1B2－A2B1≠0
l1⊥l2 ______________
【微点拨】
(1)当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交 方程组有________，交点坐标就是方程组的解；
平行 方程组________；
重合 方程组有________．
【微点拨】
虽然利用方程组解得个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
3．三种距离
点点距 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝______________________________________________________________
点线距 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝________________
线线距 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝________________
【微点拨】
(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离．
(2)应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：
①将方程化为最简的一般形式
②利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等．
[常用结论]
1．两种求直线方程的设法
(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.
(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线可设为Ax＋By＋n＝0.
2．六种常见的对称点
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
3．三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线系方程为Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线系方程为Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝≠0)与l2：A2x＋B2y＋C2＝≠0)的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
2．若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
3．若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
4．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝≠0)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)
题组二　教材改编
5．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为，则a＝________．
6．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
题组三　易错自纠
7．平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是(　　)
A．　　　　　　　B．2
C． D．
8．若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________．
题型突破·提高“四能”
题型一　两条直线的位置关系
角度1 判断两直线的位置关系
[例1]　[2022·天津南开中学模拟]已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　)
A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[听课记录]
类题通法
解决此类问题的关键是掌握两条直线平行与垂直的充要条件．
[巩固训练1]　直线l1：ax＋y－1＝0，l2：(a－1)x－2y＋1＝0，则“a＝2”是“l1⊥l2”的(　　)条件
A．必要不充分
B．充分不必要
C．充要
D．既不充分也不必要
角度2 由两直线的位置关系求参数
[例2]　[2022·广东深圳外国语学校月考]已知两条直线l1：(3＋t)x＋4y＝5－3t，l2：2x＋(5＋t)y＝8，l1∥l2，则t＝(　　)
A．－1或－7 B．－1
C．－7 D．－
[听课记录]
类题通法
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
[巩固训练2]　已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，直线l2：2x＋ay＋1＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　)
A．0 B．2
C．±2 D．4
角度3 由两直线的位置关系求直线方程
[例3]　经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为________________．
[听课记录]
类题通法
求过两直线交点的直线方程的两种方法
[巩固训练3]　经过两条直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋6＝0 B．4x－3y－6＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．3x－4y－6＝0
题型二　与距离有关的问题
[例4]　(1)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围为________________________________________________________________________．
(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝(　　)
A．0　　　B．1
C．－2 D．－1
[听课记录]
类题通法
利用距离公式应注意
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；
(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x，y的系数分别相等．
[巩固训练4]　(1)[2022·安徽六安一中月考]若直线x－y－m＝0与直线mx＋y－4＝0平行，则它们之间的距离为(　　)
A．2 B．
C． D．
(2)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为____________．
题型三　对称问题
角度1 中心对称问题
[例5]　过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为
________________________________________________________________________．
[听课记录]
类题通法
两类中心对称问题
1．点关于点对称：点P(x，y)关于M(a，b)对称点P′(x′，y′)满足
2．直线关于点对称的两种方法：
[巩固训练5]　若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　)
A．(0，4)　　　B．(0，2)
C．(－2，4) D．(4，－2)
角度2 点关于线对称
[例6]　[2022·河南郑州模拟]已知点A(0，4)，B(1，0)，动点P在直线x＝－1上，则|PA|＋|PB|的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[听课记录]
类题通法
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对称，
则由方程组,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标．
[巩固训练6]　一束光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，则入射光线所在直线的方程为________．
角度3 线关于线对称
[例7]　直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
[听课记录]
类题通法
线关于线对称的两种求解方法
[巩固训练7]　直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是(　　)
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
第二节　两条直线的位置关系
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．k1＝k2，且b1≠b2　k1k2＝－1　A1B2－A2B1＝0　A1A2＋B1B2＝0
2．唯一解　无解　无数个解
3.　　
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.√　4.√
5．解析：因为点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为，所以＝，又a>0，
所以a＝1.
答案：1
6．解析：由得
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
答案：－9
7．解析：直线6x＋8y＋2＝0化为3x＋4y＋1＝0，
所以两条平行线之间的距离为＝2.
故选B.
答案：B
8．解析：由题意知：＝≠，
解得：a＝1.
答案：1
题型突破　提高“四能”
例1　解析：由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，
故选C.
答案：C
巩固训练1　解析：l1⊥l2的充要条件是a(a－1)－2＝0，解得a＝2或a＝－1，
所以“a＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
故选B.
答案：B
例2　解析：由于l1∥l2，所以，解得t＝－7.
故选C.
答案：C
巩固训练2　解析：当a＝0时，直线l1：y＝－，直线l2：x＝－，易知l1⊥l2，满足条件；
当a≠0时，若l1⊥l2，则两直线斜率乘积为－1，即－＝1≠－1，不满足；
综上所述，a＝0，
故选A.
答案：A
例3　解析：方法一　由解得故交点的坐标为，
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为.
所以所求直线的方程为y－＝，即4x－3y＋9＝0.
方法二　由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0.
由可解得交点的坐标为.
将点的坐标代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，
故所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.
方法三　由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
解得λ＝2.所以所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.
答案：4x－3y＋9＝0
巩固训练3　解析：解方程组解得，
即交点坐标为(3，2)，
又与直线4x－3y－7＝0平行，
∴所求直线的斜率为.故所求直线的方程为：y－2＝(x－3)，即4x－3y－6＝0
故选B.
答案：B
例4　解析：(1)由题意得，点P到直线的距离为＝.
由≤3，即|15－3a|≤15，得0≤a≤10.所以a的取值范围为[0，10].
(2)由题意两直线平行，则＝，n＝－2，
又d＝＝，而m>0，所以m＝2.
所以m＋n＝0.
故选A.
答案：(1)[0，10]　(2)A
巩固训练4　解析：(1)∵直线x－y－m＝0与直线mx＋y－4＝0平行，
则m≠0，且＝≠，
求得m＝－1，两直线即为直线x－y＋1＝0与直线x－y＋4＝0，
它们之间的距离为＝.
故选C.
解析：(2)方法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－.
所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
方法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点时，AB的中点为(－1，4)．所以直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案：(1)C　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1
例5　解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4.故A(4，0)．
因为点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
答案： x＋4y－4＝0
巩固训练5　解析：直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)．
故选B.
答案：B
例6　解析：B关于直线x＝－1的对称点C的坐标为(－3，0)，
则|PB|＝|PC|，
则|PA|＋|PB|的最小值是|AC|＝＝5.
故选C.
答案：C
巩固训练6　解析：设点Q(1，1)关于直线l的对称点为Q′(x′，y′)，由已知得解得
即Q′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q′在入射光线所在的直线上，又kPQ′＝＝，所以入射光线所在直线的方程为y－3＝(x－2)，即5x－4y＋2＝0.
答案：5x－4y＋2＝0
例7　解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于直线x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
因为点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
故所求直线方程为x－2y＋3＝0.
故选A.
答案：A
巩固训练7　解析：在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.故选A.
答案：A

展开更多......

收起↑