资源简介

第五节　椭圆
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程即简单几何性质． 3．了解椭圆的简单应用． 2020年新高考第9题考查了椭圆方程，第22题考查了椭圆方程及几何意义； 2021(Ⅰ)中第5题考查了椭圆的定义的应用； 2021(Ⅱ)中的第20题考查了椭圆方程及几何意义． 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于常数(________|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的__________，两焦点间的距离叫做椭圆的__________，焦距的一半称为________．
【微点拨】
(1)椭圆定义的数学表达式：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(2a>|F1F2|)．
(2)当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点P的轨迹不存在．
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图形
性 质 范围 ____________ ____________ ____________ ____________
对称性 对称轴：________，对称中心：________
顶点 A1________， A2________， B1________， B2____________ A1________， A2________， B1________， B2____________
轴 长轴A1A2的长为________； 短轴B1B2的长为________
焦距 |F1F2|＝________
离心率 e＝________∈(0，1)
【微点拨】
(1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上，焦点跟着分母大的跑．
(2)椭圆的离心率越接近于1，椭圆越扁；越接近于0，椭圆越圆．
[常用结论]
1．若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＝1(a>b>0)中，
(1)当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
2．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
3．关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)
4．椭圆＝1(a>b>0)与椭圆＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　)
题组二　教材改编
5．已知椭圆C：＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
6．若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是________________________________________________________________________．
题组三　易错自纠
7．已知椭圆＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________．
8．已知椭圆＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　椭圆定义的应用
角度1 利用椭圆定义求轨迹方程
[例1]　已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A．＝1　　B．＝1
C．＝1 D．＝1
[听课记录]
类题通法
通过对题设条件分析、转化后，能明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程．
[巩固训练1]　[2022·湖南长郡中学月考]P为椭圆C：＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为(　　)
A．(x＋2)2＋y2＝34 B．(x＋2)2＋y2＝68
C．(x－2)2＋y2＝34 D．(x－2)2＋y2＝68
角度2 利用椭圆定义解决焦点三角形问题
[例2]　[2022·安徽六安一中月考]已如F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．24 B．26
C．22 D．24
[听课记录]
类题通法
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧．
[巩固训练2]　已知P是椭圆＝1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积＝________．
角度3 利用椭圆定义求最值
[例3]　[2022·重庆巴蜀中学月考]动点M分别与两定点A(－4，0)，B(4，0)连线的斜率的乘积为－，设点M的轨迹为曲线C，已知N(1，)，F(－2，0)，则|MF|＋|MN|的最小值为(　　)
A．2 B．6
C．2 D．10
[听课记录]
类题通法
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．
[巩固训练3]　[2022·辽宁沈阳模拟]已知椭圆C：＝1的左焦点为F，点M在椭圆C上，点N在圆E：(x－2)2＋y2＝1上，则|MF|＋|MN|的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．7 D．8
题型二　椭圆的标准方程
[例4]　(1)[2021·江苏南京十三中月考]已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　)
A．x2＋＝1
B．x2＋＝1或＋y2＝1
C．＋y2＝1
D．以上都不对
(2)已知方程(k－1)x2＋(9－k)y2＝1，若该方程表示椭圆方程，则k的取值范围是________．
(3)过点(，－)，且与椭圆＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程为________．
[听课记录]
类题通法
求椭圆方程的方法与步骤
[巩固训练4]　
(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为(　　)
A.＝1　　　B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)[2022·福建上杭一中模拟]已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为，则椭圆C的标准方程可以为________．
(3)[2022·中国农业大学附属中学模拟]已知F1，F2为椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点，若P在椭圆上，且满足|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆C的方程为________．
题型三　椭圆的简单几何性质
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
[例5]　[2022·山东临沂模拟]椭圆＝1与＝1(0A．有相等的长轴　　　　B．有相等的短轴
C．有相等的焦点 D．有相等的焦距
[听课记录]
类题通法
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴、短轴、焦距等基本量的内在联系．
[巩固训练5]　[2022·浙江杭州模拟]已知点A(3，0)，椭圆C：＝1(a>0)的右焦点为F，若线段AF的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的长轴长为________．
角度2 求椭圆的离心率
[例6]　(1)[2022·河北保定模拟]已知F1、F2是椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若|AF1|∶|AB|∶|BF1|＝3∶4∶5，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．2－
C． D．
(2)设B是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A．[，1) B．
C．(0，] D．
[听课记录]
类题通法
求椭圆离心率(或其范围)的两种常用方法
[巩固训练6]　(1)椭圆＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若F到直线AB的距离为，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)[2022·湖北孝感模拟]设椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率的取值范围是(　　)
A．(0，] B．
C．(，1) D．()
角度3 与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
[例7]　如图焦点在x轴上的椭圆＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
[听课记录]
类题通法
与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略
[巩固训练7]　以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
第五节　椭圆
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．和　大于　焦点　焦距　半焦距
2．－a≤x≤a　－b≤y≤b　－b≤x≤b　－a≤y≤a　坐标轴　原点　(－a，0)　(a，0)　(0，－b)　(0，b)　(0，－a)　(0，a)　(－b，0)　(b，0)　2a　2b　2c　
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.√　4.√
5．解析：不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
故选C.
答案：C
6．解析：因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＝1.
答案：＝1
7．解析：根据题意得椭圆＝1中，
a＝6，
P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且|PF1|＝3，
故|PF1|＋|PF2|＝2a＝12.
又|PF1|＝3，
∴|PF2|＝12－3＝9，
即点P到另一个焦点的距离为9.
答案：9
8．解析：若a2＝5，b2＝m，则c＝，由＝，即＝，解得m＝3；若a2＝m，b2＝5，则c＝.由＝，即＝，解得m＝.
答案：3或
题型突破　提高“四能”
例1　解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r.因为圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.
|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴为16的椭圆，则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，
所以动圆的圆心M的轨迹方程为＝1.
答案：D
巩固训练1　解析：由＝1可得：a＝，
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，|PQ|＝|PF2|
所以|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|＝2a＝2，
所以动点Q的轨迹为以F1(－2，0)为圆心，2为半径的圆，
故动点Q的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝68.
故选B.
答案：B
例2　解析：由椭圆方程可得焦点在y轴上，a＝7，b＝2，c＝＝5，
由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
又3|PF1|＝4|PF2|，则可解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，
∵|F1F2|＝2c＝10，满足|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，则PF1⊥PF2，
＝|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.
故选A.
答案：A
巩固训练2　解析：由椭圆的方程可得：a＝4，b＝3，c＝＝，
在△F1PF2中，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝2c＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理可得：|F1F2|2＝－2|PF1|×|PF2|×cos 60°，
即4c2＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|×|PF2|，可得28＝64－3|PF1|×|PF2|，
解得：|PF1|×|PF2|＝12，
由三角形面积公式可得△F1PF2的面积为×|PF1|×|PF2|sin 60°＝×12×＝3.
答案：3
例3　解析：根据题意，设M(x，y)，则kMA·kMB＝·＝＝－，
即C：＝1(x≠±4)，F(－2，0)为C的左焦点，
设C的右焦点为F′(2，0)，则|MF|＋|MF′|＝8，
从而|MF|＋|MN|＝8－|MF′|＋|MN|≥8－|NF′|＝8－＝6，
当M，N，F′共线，且N在线段MF′上时取等号，故|MF|＋|MN|的最小值为6.
故选B.
答案：B
巩固训练3　解析：易知圆心E为椭圆的右焦点，且a＝3，b＝，c＝2，
由椭圆的定义知：|MF|＋|ME|＝2a＝6，所以|MF|＝6－|ME|，
所以|MF|＋|MN|＝6－|ME|＋|MN|＝6－(|ME|－|MN|)，
要求|MF|＋|MN|的最小值，只需求|ME|－|MN|的最大值，显然M，N，E三点共线时|ME|－|MN|取最大值，且最大值为1，所以|MF|＋|MN|的最小值为6－1＝5.
故选B.
答案：B
例4　解析：(1)设经过两点P和点Q的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
代入A、B得，，解得∴所求椭圆方程为x2＋＝1.
故选A.
(2)因为方程(k－1)x2＋(9－k)y2＝1，所以＝1，
所以有，解得1(3)椭圆＝1的焦点为(0，±4)，
则所求椭圆的c＝4，
可设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，
则有a2－b2＝16，①
再代入点(，－)，得，
＝1，②
由①②解得，a2＝20，b2＝4.
则所求椭圆方程为＝1.
答案：(1)A　(2)1巩固训练4　解析：(1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，则a＝7，a2＝49，
所以b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以椭圆C的方程为＝1.故选C.
(2)设椭圆方程为＝1，由离心率为可得＝，
由a2＝b2＋c2可得＝，可取a2＝9，b2＝8，
则椭圆C的标准方程可以为＝1.
(3)由|PF1|＋|PF2|＝4得2a＝4，解得a＝2，又P在椭圆C：＝1(a>b>0)上，
所以＝1，解得b＝，
所以椭圆C的方程为＝1.
答案：(1)C　(2)＝1　(3)＝1
例5　解析：椭圆＝1的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为(－4，0)，(4，0)，
椭圆＝1(0所以两椭圆的焦距相同，故选D.
答案：D
巩固训练5　解析：由线段AF的中点恰好在椭圆C上，即为右顶点，
可得3＋＝2a，
解得a＝2，所以椭圆C的长轴长为4.
答案：4
例6　解析：(1)如图所示，设|AF1|＝3t，则|AB|＝4t，|BF1|＝5t，所以，|AF1|2＋|AB|2＝|BF1|2，
所以，∠F1AF2＝90°，
由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝12t＝4a，∴t＝，∴|AF1|＝3t＝a，
所以，|AF2|＝2a－|AF1|＝a，
所以，△AF1F2为等腰直角三角形，可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴2a2＝4c2，
所以，该椭圆的离心率为e＝＝.
故选D.
解析：(2)设P(x0，y0)，有B(0，b)，因为＝1，a2＝b2＋c2，所以|PB|2＝＋(y0－b)2＝2＝＋＋a2＋b2，
因为－b≤y0≤b，当－≤－b，即b2≥c2时b2b2≥c2可得a2≥2c2－>－b，即b2答案：(1)D　(2)C
巩固训练6　解析：(1)直线AB方程＝1，bx＋ay－ab＝0，
F(c，0)到直线的距离为d＝＝，
∴c2－2ac＋a2＝(a2＋b2)＝(2a2－c2)，
∴e2－2e＋1＝(2－e2)，∴5e2－8e＋2＝0.
∵0故选C.
解析：(2)如图，
当点M在y上最大，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N，
满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需>sin ＝，
又0所以e∈，
故选C.
答案：(1)C　(2)C
例7　解析：由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为＝1.设P的坐标为(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因为F(－1，0)，A(2，0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x0＝－x0＋1＝(x0－2)2.
则当x0＝－2时，·取得最大值，最大值为4.
答案：4
巩固训练7　解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
答案：D

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