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第八节　直线与圆锥曲线的位置关系
课程标准 考情分析 核心素养
1.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法． 2．掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法． 2020年新高考第13题考查了直线与抛物线相交的弦长，第22题考查了直线与椭圆相交下的定点与定值问题； 2021(Ⅰ)中第21题考查了直线与双曲线相交下的斜率问题； 2021(Ⅱ)中第20题考查了直线与椭圆相交下的弦长问题． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C的交点个数
a＝0 b＝0 无解 ________
b≠0 有一解 ________
a≠0 Δ＞0 两个________的解 ________
Δ＝0 两个相等的解 ________
Δ＜0 无实数解 ________
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．
【微点拨】
(1)判定直线与圆锥曲线的位置关系，一般用代数法．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
(3)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切．而当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(4)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行或重合时也与抛物线相交于一点．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|
＝.
【微点拨】
1．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的规律：“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
2．当直线过抛物线的焦点时，可利用焦点弦长公式求弦长．
[常用结论]
(1)椭圆和双曲线的焦点弦中以通径最短，弦长lmin＝.抛物线的通径长为2p.
(2)直线AB为椭圆＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率k＝－.
(3)AB为双曲线＝1(a>0，b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率k＝.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C只有一个公共点”．(　　)
2．“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”．(　　)
3．“直线l与抛物线C相切”的充要条件是“直线l与抛物线C只有一个公共点”．(　　)
4．若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.(　　)
题组二　教材改编
5．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条　　B．2条
C．3条 D．4条
6．若直线y＝x＋2与椭圆＝1有两个交点，则m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1，3)
C．(3，＋∞) D．(0，3)
题组三　易错自纠
7．直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为________．
8．直线l与双曲线C：＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点．若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　直线和圆锥曲线的位置关系
[例1]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[听课记录]
类题通法
直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法
[巩固训练1]　(1)过抛物线x2＝4y上一点(4，4)的抛物线的切线方程为________．
(2)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)
A．(－)　　B．(0，)
C．(－，0) D．(－，－1)
题型二　弦长问题
[例2]　[2021·新高考Ⅰ卷]在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M 的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
[听课记录]
类题通法
求直线与圆锥曲线相交时的弦长问题的三种常用方法
[巩固训练2]　已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
题型三　中点弦问题
角度1 由中点弦确定直线方程或曲线方程
[例3]　已知椭圆＋y2＝1.
(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
(2)求过点P且被点P平分的弦所在直线的方程．
[听课记录]
类题通法
用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤
[巩固训练3]　已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点．若线段MN中点的横坐标为－，求此双曲线的方程．
角度2 对称问题
[例4]　
如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
[听课记录]
类题通法
椭圆中对称问题的解题策略
[巩固训练4]　已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．求实数m的取值范围．
15 解析几何减少运算量的常见技巧
很多同学厌烦解析几何题目，是因为运算量过大．尤其在考试过程中，在规定时间内，保质保量的完成解题，计算能力是一个重要的方面．下面介绍四种减轻计算量的技巧．
技巧一　灵活运用定义
[典例1]　如图F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A.　　　　B． C．　　　　D．
【解析】　设|AF1|＝x，|AF2|＝y，
∵点A为椭圆C1：＋y2＝1上的点，
∴2a＝4，b＝1，c＝；
∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
即x＋y＝4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
即x2＋y2＝(2c)2＝12，②
由①②得x＝2－，y＝2＋.
设双曲线C2的实轴长为2a ′，焦距为2c ′，
则2a ′＝|AF2|－|AF1|＝y－x＝2，
2c ′＝2，
∴C2的离心率是e＝＝＝，
故选D.
【答案】　D
类题通法
解决此类问题要熟练掌握平面几何的性质，利用数形结合，灵活运用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．
技巧二　设而不求，整体代换
[典例2]　[2022·天津河西区模拟]已知倾斜角为的直线与双曲线C：＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，M(4，2)是弦AB的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A. 　　　　B. C．　　　　D．
【解析】　因为倾斜角为的直线与双曲线C：＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，所以直线的斜率k＝tan ＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝1，①
＝1.②
由①－②得＝，
则k＝＝·.
因为M(4，2)是弦AB的中点，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
因为直线的斜率为1，所以1＝，即＝.
所以e2＝＝1＋＝，即e＝.故选D.
【答案】　D
类题通法
运用“设而不求”方法技巧的两点注意
技巧三　巧用“根与系数的关系”，化繁为简
[典例3]　 [2022·湖北宜昌模拟]设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点P(0，4)的动直线l与抛物线C交于A，B两点，当F在l上时，直线l的斜率为－2.
(1)求抛物线的方程；
(2)在线段AB上取点D，满足＝λ＝λ，
证明：点D总在定直线上．
【解析】　(1)由题意，得F，则＝－2，解得p＝4，
故抛物线的方程为y2＝8x.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x，y)，
直线l的方程为x＝m(y－4)．
由得y2－8my＋32m＝0，
y1＋y2＝8m，y1y2＝32m，
由＝λ＝λ，得y1－4＝λ(y2－4)，y－y1＝2－y)，
故＝＝λ，化简得y＝＝.
又x＝m(y－4)，故y＝，
化简得xy－y2＋4y－4x＝0，
即(x－y)(y－4)＝0，则y＝x或y＝4.
当点D在定直线y＝4上时，直线l与抛物线C只有一个交点，与题意不符．
故点D在定直线y＝x上．
类题通法
在圆锥曲线问题中，常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标，联立直线方程与圆锥曲线方程，消元得到一元二次方程，利用根与系数的关系，得到两个交点横坐标或纵坐标的关系．这是解决圆锥曲线问题的常用方法．通过设而不求，大大降低了运算量，体现了整体思想．
技巧四　巧妙“换元”减少运算量
[典例4]　如图，已知椭圆C的离心率为，A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
【解析】　(1)由已知得椭圆C的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，则点A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)，c＝.
由已知得e2＝＝＝，所以a2＝4b2，
即a＝2b，则c＝b.
又S△ABF＝|AF||OB|＝(a－c)b＝1－，
所以(2b－b)b＝1－，解得b＝1.
所以a＝2，c＝.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)圆O的圆心坐标为(0，0)，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，故m2＝1＋k2.
由消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.
由题意可知k≠0，
所以Δ＝16(4k2－m2＋1)＝48k2>0.
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|x1－x2|＝
＝＝＝，所以|x1－x2|＝.所以|MN|＝|x1－x2|＝·＝.
所以△OMN的面积S＝|MN|×1＝.
令t＝4k2＋1，则t>1，k2＝，
所以S＝2＝
＝＝
＝.
当t＝3，即4k2＋1＝3，即k＝±时，S取得最大值，最大值为＝1.
类题通法
圆锥曲线中的最值问题往往转化为函数的最值问题，可先根据已知条件建立目标函数，再求出函数的最值．在求函数的最值时，有时会利用换元，起到消除根号、降次等目的．
第八节　直线与圆锥曲线的位置关系
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)0　1　不相等　2　1　0
基本技能、思想、活动经验
1．√　2.×　3.×　4.×
5．解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的两条直线．
故选C.
答案：C
6．解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ>0，且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.
故选B.
答案：B
7．解析：直线y＝kx－k＋1可化为y＝k(x－1)＋1，所以直线恒过点(1，1)，
∵<1，
∴(1，1)在椭圆的内部，
∴直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系是相交．
答案：相交
8．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．把A，B两点坐标分别代入双曲线的方程，
得两式相减得＝0.又所以＝.所以＝＝kOMkl＝1，所以e2＝1＋＝2.
又e>1，所以e＝.
答案：
题型突破　提高“四能”
例1　解析：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.　①
则Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数根，则直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程①没有实数根，则直线l与椭圆C没有公共点．
巩固训练1　解析：(1)方法一　设切线方程为y－4＝k(x－4)．
由得x2＝4(kx－4k＋4)，x2－4kx＋16(k－1)＝0，
由Δ＝(－4k)2－4×16(k－1)＝0，
得k2－4k＋4＝0.∴k＝2.
故切线方程为y－4＝2(x－4)即y＝2x－4.
方法二　由x2＝4y得y＝，
∴y′＝.∴y′|x＝4＝＝2.
∴切线方程为y－4＝2(x－4)．
∴y＝2x－4.
解析：(2)由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.
设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
解得－故选D.
答案：(1)y＝2x－4　(2)D
例2　解析：(1)因为＝2<＝2，
所以，轨迹C是以点F1，F2为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹C的方程为＝1，则2a＝2，可得a＝1，b＝ ＝4，
所以，轨迹C的方程为x2－＝1.
解析：(2)设点T，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，
不妨设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，即y＝k1x＋t－k1，
联立，消去y并整理可得x2＋k1x＋2＋16＝0，
设点A，B，则x1>且x2>.
由韦达定理可得x1＋x2＝，x1x2＝，
所以，·＝··＝·
＝，
设直线PQ的斜率为k2(k2≠0)，同理可得·＝，
因为·＝·，即＝，整理可得＝，
即＝0，显然k1－k2≠0，故k1＋k2＝0.
因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.
巩固训练2　解析：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
解析：(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
故|AB|＝.
例3　解析：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有＝1，两式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，所以kAB＝－.①
(1)设弦中点为M(x，y)，由①式，2＝－，所以x＋4y＝0.故所求的轨迹方程为x＋4y＝0.
(2)由①式及题意可知，弦所在的直线的斜率k＝－＝－，所以其方程为y－＝－，即2x＋4y－3＝0.
巩固训练3　解析：设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)．由题意可得a2＋b2＝7.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中点为.
由＝＝1，
得＝，
即＝，所以＝.
联立a2＋b2＝7，解得a2＝2，b2＝5，
故所求双曲线的方程为＝1.
例4　解析：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，
整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以直线AB与椭圆必有两个交点，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，
所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＝－＝－.
因为k≠0，所以－巩固训练4　解析：由题意知m≠0，
可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，
得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0.①
将线段AB中点M代入直线方程y＝mx＋，
解得b＝－.②
由①②得m的取值范围是.

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