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第六节　双曲线
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3．了解双曲线的简单应用． 2020年新高考第9题考查了双曲线方程和渐近线方程； 2021(Ⅰ)中第21题考查了利用双曲线的定义求双曲线方程； 2021(Ⅱ)中的第13题考查了双曲线的几何意义． 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的______________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
【微点拨】
(1)双曲线定义的数学表达式：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}(2a<2c)．
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：________，对称中心：________
顶点 ________________ A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴 实轴|A1A2|＝________；虚轴|B1B2|＝________；实半轴长________，虚半轴长________
a，b，c的关系 c2＝________(c>a>0，c>b>0)
,
【微点拨】
(1)双曲线焦点位置看x2与y2的正负，焦点随着正的跑．
(2)双曲线的实轴、虚轴与椭圆的长轴、短轴既有区别又有联系，勿将它们混淆．
(3)双曲线的焦点总在实轴所在直线上，而椭圆的焦点总在长轴上．
(4)双曲线离心率e决定双曲线开口的大小，e越大开口越大．
(5)双曲线每一支上的所有点中顶点离焦点最近．
[常用结论]
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
(2)离心率e＝＝＝.
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
(4)若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)．
(5)双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
(6)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
(7)焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
2．双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.(　　)
3．关于x，y的方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
4．若双曲线＝1(a>0，b>0)与＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＝1.(　　)
题组二　教材改编
5．双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(－，0)，(，0)　　B．(－2，0)，(2，0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0，2)
6．若双曲线＝1(a>0)的离心率为，则a＝________．
题组三　易错自纠
7．已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
8．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　双曲线的定义及其应用
[例1]　(1)[2022·浙江金华模拟]已知点Q是圆O：x2＋y2＝16(O为坐标原点)上一动点，点P(5，0)，若线段PQ的垂直平分线交直线OQ于点M，则点M的轨迹是(　　)
A．直线　　B．圆
C．椭圆 D．双曲线
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则＝________．
(3)已知F是双曲线＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[听课记录]
类题通法
双曲线定义的应用主要有两个方面
[巩固训练1]　(1)[2022·河北保定二中月考]已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．192 B．96
C．48 D．102
(2)[2022·安徽芜湖一模]已知定点A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，以C为一个焦点作过A，B两点的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是________．
题型二　双曲线的标准方程
[例2]　(1)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(x≥)
B．＝1(x≤－)
C．＝1(x≥)
D．＝1(x≤－)
(2)在平面直角坐标系中，经过点P(2，－)，渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为(　　)
A．＝1　　　　B．＝1
C．＝1 D．＝1
(3)[2022·天津大港一中月考]已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，焦点坐标为(±5，0)，则双曲线的标准方程为________．
[听课记录]
类题通法
求双曲线方程的两种方法
[巩固训练2]　(1)已知双曲线＝1(0A． B．
C．1 D．2
(2)经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为__________．
题型三　双曲线的几何性质
角度1 渐近线
[例3]　(1)(多选)已知双曲线C：＝1的焦距为2，则C的一条渐近线方程可能为(　　)
A．y＝x　　　 B．y＝－x
C．y＝－x D．y＝x
(2)已知双曲线mx2＋y2＝1的一条渐近线方程为2x＋y＝0，则m的值为(　　)
A．－ B．－1
C．－2 D．－4
(3)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
[听课记录]
类题通法
求双曲线渐近线方程的两种常用方法
[巩固训练3]　(1)[2022·北京朝阳区模拟]已知双曲线C：x2－＝1的一个焦点为(－2，0)，则双曲线C的一条渐近线方程为(　　)
A．x＋y＝0 B．x＋y＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y－1＝0
(2)[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.
角度2 离心率
[例4]　(1)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)[2022·山东烟台模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右支上，AF1与C交于点B，若F2A·F2B＝0，且|F2A|＝|F2B|，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(3)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．
[听课记录]
类题通法
求双曲线离心率(或其范围)的两种常用方法
[巩固训练4]　(1)已知A，B是双曲线＝1(a>0，b>0)上两点，直线AB垂直于双曲线的实轴，原点O到直线AB的距离为，且OA⊥OB，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．＋1
C．＋1或 D．＋1或
(2)[2022·山东泰安模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右顶点到其一条渐近线的距离为，则C的离心率是________．
角度3 与双曲线有关的最值和范围问题
[例5]　已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点，若<0，则y0的取值范围是(　　)
A．(－) B．(－)
C．(－) D．(－)
[听课记录]
类题通法
与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
[巩固训练5]　已知焦点在x轴上的双曲线＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________．
第六节　双曲线
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．距离的差的绝对值　焦点　焦距
2．坐标轴　原点　A1(－a，0)，A2(a，0)　2a　2b　a　b　a2＋b2
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.√
5．解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．
答案：B
6．解析：由题意可得，e2＝＝，即a2＝16.又a>0，所以a＝4.
答案：4
7．解析：设双曲线x2－＝1的左右焦点分别为F1，F2，∴a＝1，b＝4.
则||PF1|－|PF2||＝2，
可设|PF2|＝4，
则|PF1|＝2或|PF1|＝6，
∵c＝>4，∴|PF1|>2，
∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.
答案：6
8．解析：由题意知＝tan ＝或＝tan ＝，
当＝时，e＝ ＝ ＝2；
当＝时，e＝ ＝ ＝.
答案：2或.
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)依题意，|OQ|＝4，|OP|＝5，因线段PQ的垂直平分线交直线OQ于点M，于是得|MP|＝|MQ|,
当点M在线段QO的延长线上时，|MP|－|MO|＝|MQ|－|MO|＝|QO|＝4，如图，
当点M在线段OQ的延长线上时，|MO|－|MP|＝|MO|－|MQ|＝|QO|＝4，如图，
从而得||MP|－|MO||＝4<5＝|OP|，由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线．
故选D.
解析：(2)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4，
所以cos ∠F1PF2＝
＝＝.
(3)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
答案：(1)D　(2)　(3)9
巩固训练1　解析：(1)由双曲线C：＝1可得：a2＝36，b2＝64，
所以c2＝a2＋b2＝36＋64＝100，即a＝6，b＝8，c＝10，
所以|F1F2|＝2c＝20，可得|PF2|＝|F1F2|＝20，
由双曲线的定义可得|PF1|＝|PF2|＋2a＝20＋12＝32，
所以△PF1F2是等腰三角形，且|PF2|＝|F1F2|＝20，|PF1|＝32，
可得PF1边上的高为 ＝＝12，
所以△PF1F2的面积为×32×12＝192，
故选A.
(2)∵A，B在以C，F为焦点的椭圆上，
∴|AC|＋|AF|＝|BC|＋|BF|，
∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝＝2，
则可得F的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的下支，
设双曲线方程为＝1(y≤－a)，
则可得2a＝2，即a＝1，c＝2，∴b2＝c2－a2＝3，
则焦点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．
答案：(1)A　(2)y2－＝1(y≤－1)
例2　解析：(1)设动圆M的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，|C1C2|＝8，所以|MC1|－|MC2|＝2<|C1C2|，所以由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上，所以a＝，c＝4，所以b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为＝1(x≥)．故选A.
解析：(2)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以可设所求双曲线的方程为2x2－y2＝k(k≠0)．又点P(2，－)在双曲线上，所以k＝16－2＝14，所以双曲线的方程为2x2－y2＝14，所以双曲线的标准方程为＝1.故选B.
(3)将3x±4y＝0化为±＝0，设以±＝0为渐近线的双曲线方程为＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点坐标为(±5，0)，所以16λ＋9λ＝25，解得λ＝1，即双曲线的方程为＝1.
答案：(1)A　(2)B　(3)＝1
巩固训练2　解析：(1)由题知a2＝3－m，b2＝m，所以c＝，
因为|OP|＝|F1F2|，所以PF1⊥PF2，
又∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝3，|PF2|＝，
所以由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝3－＝2，解得m＝.
故选B.
解析：(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为所求双曲线经过点P(3，2)，Q(－6，7)，
所以解得
故所求双曲线的方程为＝1.
答案：(1)B　(2)＝1
例3　解析：(1)当焦点在x轴上时，得m<4.C的方程可化为＝1，
依题意得8－m＋4－m＝6，解得m＝3，故C的方程为－y2＝1，
其渐近线方程为y＝±x；
当焦点在y轴上时，得m>8.C的方程可化为＝1，
依题意得m－4＋m－8＝6，解得m＝9，故C的方程为－x2＝1，
其渐近线方程为y＝±x，
对照各选项，
只有C不符合．
故选ABD.
解析：(2)由题知m＜0，则双曲线为：y2－＝1，渐近线方程为：±x＋y＝0，
所以＝2，解得m＝－4.
故选D.
(3)∵双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，
∴32－＝1，
解得b2＝2，
即b＝.
又a＝1，
∴该双曲线的渐近线方程是y＝±x.
答案：(1)ABD　(2)D　(3)y＝±x
巩固训练3　解析：(1)由题意，a＝1，c＝2，又c2＝a2＋b2，解得b＝.
所以双曲线C的一条渐近线方程为y＝－x＝－x，即x＋y＝0.
故选B.
(2)因为双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝ ＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：(1)B　(2)y＝±x
例4　解析：(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.故选A.
(2)由F2A·F2B＝0且|F2A|＝|F2B|知：△ABF2为等腰直角三角形且∠AF2B＝，∠BAF2＝，即|AB|＝|F2A|＝|F2B|，
∵，
∴|AB|＝4a，故|F2A|＝|F2B|＝2a，则|F1A|＝2(＋1)a，
而在△AF1F2中，|F1F2|2＝|F2A|2＋|F1A|2－2|F2A||F1A|cos ∠BAF2，
∴4c2＝8a2＋4(3＋2)a2－8(＋1)a2，则c2＝3a2，故e＝＝.
故选B.
(3)过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l的倾斜角．
已知l的倾斜角是60°，从而，故e＝≥2.
答案：(1)A　(2)B　(3)[2，＋∞)
巩固训练4　解析：(1)由点O到直线AB的距离为＝c，直线AB垂直于双曲线的实轴，可知|AB|＝.
因为OA⊥OB，所以根据等腰直角三角形及双曲线的对称性可知c＝，即b2＝ac，又b2＝c2－a2，所以ac＝c2－a2，即c2－ac－a2＝0，等式两边同时除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝.又因为e>1，所以e＝.
故选A.
解析：(2)由渐近线方程y＝±x知，右顶点(a，0)到其一条渐近线的距离为a×，
则a×＝，即c＝2b，由a2＋b2＝c2知，a＝b，
则离心率e＝＝.
答案：(1)A　(2)
例5　解析：依题意＝1，所以＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝答案：A
巩固训练5　解析：因为双曲线＝1的焦点在x轴上，所以解得4答案：(0，2)

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