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第七节　抛物线
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 2．了解抛物线的简单应用． 2020年新高考第13题考查了抛物线的焦点弦； 2021(Ⅰ)中第14题考查了抛物线的求解； 2021(Ⅱ)中的第3题考查了抛物线的几何意义． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的______________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
【微点拨】
(1)设点M是抛物线上的任意一点，它到准线l的距离为d，则定义表达式为|MF|＝d.
(2)抛物线定义中，若l经过点F，则到F与到l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线．2.抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O
对称轴 x轴 y轴
焦点 ________ _______ _______ _______
离心率 e＝1
准线方程 ________ _______ _______ _______
范围 x≥0 y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
【微点拨】
(1)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．
(2)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确选择抛物线的标准方程．
(3)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
[常用结论]
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)；
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(4)S△AOB＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)；
(5)∠CFD＝90°.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
2．若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(　　)
3．抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
4．方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是.(　　)
题组二　教材改编
5．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为(　　)
A．(0，－2)　　　　　　B．(0，2)
C． D．
6．已知点A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝________．
题组三　易错自纠
7．顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________．
8．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　抛物线的定义及其应用
[例1]　(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A．直线　　　B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
(2)[2022·河北石家庄模拟]抛物线y＝ax2经过点M(2，1)，则M到焦点F的距离为(　　)
A． B．2
C．3 D．
(3)(多选)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标可能为(　　)
A．(0，－4) B．(0，－2)
C．(0，2) D．(0，4)
[听课记录]
类题通法
抛物线定义的应用策略
[巩固训练1]　(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)
A．　　　B．1　 C．　　　D．2
(2)[2022·天津塘沽一中月考]已知F是抛物线y＝4x2的焦点，点P(x0，y0)在抛物线上，且|PF|＝2，则y0＝________．
题型二　抛物线的标准方程与几何性质
[例2]　(1)[2022·广东江门二中月考]已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝2x　　B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝16x
(2)[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
(3)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上．若抛物线的准线与双曲线5x2－y2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积等于4，则抛物线的方程为________．
[听课记录]
类题通法
求抛物线的标准方程的两种常用方法
[巩固训练2]　(1)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A． B．
C．(1，0) D．(2，0)
(2)[2022·北京东城区模拟]若三个点M(3，2)，N(2，2)，Q(3，－2)中恰有两个点在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的方程为________________________．
题型三　与抛物线有关的最值问题
角度1 利用抛物线定义求最值
[例3]　(1)[2022·河北唐山第十一中学月考]已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点(0，)的距离与P到y轴的距离之和的最小值为(　　)
A．1　　B．
C．2 D．1＋
(2)点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：
①|PA|＋|PF|的最小值为________；
②|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________．
[听课记录]
类题通法
利用抛物线定义求最值的三种题型与策略
[巩固训练3]　(1)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)
A．2　　　B． C．　　　D．3
(2)已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M(－4，3)，则|PF|＋|PM|的最小值是________．
角度2 利用函数思想求最值
[例4]　抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是________．
[听课记录]
类题通法
抛物线上的动点到定直线的距离可以利用单变量设点利用函数思想求最值，也可以转化为平行线间的距离求解．
[巩固训练4]　[2022·江苏连云港月考]已知点P在抛物线y2＝4x上，点Q在圆(x－5)2＋y2＝1上，则PQ长度的最小值为________．
14 抛物线焦点弦结论的应用
抛物线焦点弦的四个重要结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．
(4)＝为定值(F是抛物线的焦点)．
过抛物线焦点的直线与抛物线的位置关系是高考命题的切入点．如果掌握以上结论，在解题时可迅速打开思路．
[典例1]　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4　　　B． C．5　　　D．6
【一般解法】　易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1.①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
【应用结论】　
方法一　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E.
设|BF|＝m，|AF|＝2m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m.
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，
|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，
所以sin2θ＝.
又y2＝4x，所以2p＝4，
利用弦长公式|AB|＝＝.
方法二　因为|AF|＝2|BF|，＝＝＝＝1，
解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
【答案】　B
[典例2]　[2022·山东泰安模拟]已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且＝2，则△AOB(O为坐标原点)的面积为(　　)
A．　　　B． C．3　　　D．3
【一般解法】　由题意，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(，0)，
设直线AB为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为＝2，可得y1＝－2y2，
由，整理得y2－4my－8＝0，所以y1y2＝－8，
又由，可得＝4，解得y2＝－2或y2＝2，
当y2＝－2时，y1＝4，可得S△AOB＝×|OF|×|y1－y2|＝×6＝3；
当y2＝2时，y1＝－4，可得S△AOB＝×|OF|×|y1－y2|＝×6＝3.
故选D.
【应用结论】　因为＝2，所以||＝2||，又＝，
所以|BF|＝，|AF|＝，所以|AB|＝＝，
所以sin2α＝＝，sinα＝，
所以原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin α＝.
故S△AOB＝|AB|·d＝＝3.
故选D.
【答案】　D
[典例3]　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若F是AC的中点，且|AF|＝4，求线段AB的长．
【一般解法】　如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D.由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4.因为F是AC的中点，所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)．又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)．代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.
【应用结论】　前面同一般解法，求得抛物线的方程为y2＝4x.
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3.又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.
方法二　因为＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
第七节　抛物线
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．距离相等　焦点　准线
2．F　F　F　F　x＝－　x＝　y＝－　y＝
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.×　4.×
5．解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－y.所以抛物线的焦点坐标为.故选C.
答案：C
6．解析：设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，
由抛物线定义得|AF|＝x0＋.
因为点A到y轴的距离为9，所以x0＝9，
所以9＋＝12，所以p＝6.
答案：6
7．解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或 x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
答案：y2＝－x或 x2＝y
8．解析：设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点的个数为2.
答案：2
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于动圆的半径r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆圆心到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D.
(2)∵M(2，1)在抛物线y＝ax2上，∴4a＝1，解得：a＝，
∴抛物线标准方程为x2＝4y，∴F(0，1)，∴|MF|＝1＋1＝2.
故选B.
(3)根据题意，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－，
设点M(0，a)，因为B为FM的中点，所以点B.又点B到抛物线准线的距离为，所以＝，解得p＝.所以点B，抛物线的方程为y2＝2x.又点B在抛物线上，所以＝2，解得a＝±2.所以点M的坐标为(0，2)或(0，－2)．
故选BC.
答案：(1)D　(2)B　(3)BC
巩固训练1　解析：(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1，0)，
准线方程为x＝－1.
又点P到焦点F的距离为2，
∴由定义知点P到准线的距离为2.
∴xP＋1＝2，∴xP＝1.
代入抛物线方程得|yP|＝2，
∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.
故选B.
(2)抛物线y＝4x2即x2＝y，焦点F，
因为点P(x0，y0)在抛物线上且|PF|＝2，
所以结合抛物线定义易知，y0＝2－＝.
答案：(1)B　(2)
例2　解析：(1)设抛物线C的方程为y2＝2px，p>0，因为|MF|＝2＋＝6，所以p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝16x.
故选D.
(2)不妨设P，∴Q＝(6，－p)，
因为PQ⊥OP，所以×6－p2＝0，∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－.
(3)设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线的准线方程为x＝－，双曲线的渐近线方程为y＝±x.
由围成的三角形面积为4，可得p＝4，解得p＝4.所以抛物线的方程为y2＝8x.
答案：(1)D　(2)x＝－　(3)y2＝8x
巩固训练2　解析：(1)因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p>0)交于E，D两点，且OD⊥OE，
根据抛物线的对称性可以确定∠DOx＝∠EOx＝，所以D(2，2)，
代入抛物线方程得4＝4p，求得p＝1，所以其焦点坐标为，
故选B.
(2)由抛物线的对称性知：M(3，2)，Q(3，－2)在y2＝2px上，
∴6p＝24，可得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.(验证点N不在抛物线上，符合题意)．
答案：(1)B　(2)y2＝8x
例3　解析：(1)如图所示，
设此抛物线的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1.
过点P作PM⊥l，垂足为M.
则|PM|＝|PF|，P到y轴的距离|PM|－1＝|PF|－1，
则点P到点(0，)的距离与点P到y轴的距离之和为|PQ|＋|PF|－1.
设Q(0，)，因此当F、P、Q三点共线时，|PF|＋|PQ|取得最小值．
∴(|PF|＋|PQ|)min＝|QF|＝＝2.
即|PM|＋|PQ|的最小值为2，
所以点P到点(0，)的距离与P到y轴的距离之和为|PQ|＋|PF|－1＝1.
故选A.
(2)①如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离，则|PA|＋|PF|的最小值为3.
②如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－.
当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝.
故|PA|－|PF|的最小值为－，最大值为.
答案：(1)A　(2)①2　②－
巩固训练3　解析：(1)如图所示，过点P作PA⊥l，垂足为点A，过点P作直线3x＋4y＋7＝0的垂线段PB，垂足为点B，
抛物线y2＝4x的准线为l：x＝－1，焦点为F(1，0)，
点F到直线3x＋4y＋7＝0的距离为d＝＝2，
由抛物线的定义可知|PA|＝|PF|，所以，|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|≥d＝2，
当且仅当B、P、F三点共线时，等号成立，
因此，P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是2.
故选A.
(2)由抛物线的方程可得抛物线的焦点F(0，2)，
由题意可得M在抛物线的内部，连接MF，
过M作准线y＝－2的垂线，交抛物线于P，垂足为N，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，
所以|PF|＋|PM|＝|PM|＋|PN|≥|MN|＝3＋2＝5.
答案：(1)A　(2)5
例4　解析：设抛物线上y＝4x2任意一点P的坐标为(t，4t2)，
则点P到直线4x－y－5＝0的距离为d＝＝＝，
当t＝时，d取得最小值，此时点P的坐标为.
答案：
巩固训练4　解析：因为抛物线和圆都关于横轴对称，所以不妨设P(m，2)，(m≥0)，
设圆(x－5)2＋y2＝1的圆心坐标为：A(5，0)，半径为1，
因此|PA|＝＝，当m＝3时，|PA|min＝＝4，
所以PQ长度的最小值为4－1＝3.
答案：3

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