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第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
课程标准 考情分析 核心素养
了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义 2020年新高考第3题考查了组合计数和乘法原理； 2021年新高考(Ⅰ)卷和(Ⅱ)卷都未考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
两个基本计数原理
名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
条件 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论 完成这件事共有N＝________种不同的方法 完成这件事共有N＝________种不同的方法
依据 能否独立完成整件事 能否逐步完成整件事
推广 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________________种不同的方法 完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法
【微点拨】
(1)分类加法计数原理中，完成一件事的各种方法是相互独立的．从集合角度看，如果完成一件事有A，B两类方案，集合A与B的交集为空集，在A中有m1个元素(m1种方法)，在B中有m2个元素(m2种方法)，则完成这件事的不同方法的种数即为集合A∪B的元素个数，即m1＋m2.
(2)分步乘法计数原理中，必须且只需连续完成n个步骤后才能完成这件事，各个步骤之间不重复、不遗漏．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)
2．在分类加法计数原理中，每类方案中的每种方法都能独立完成这件事．(　　)
3．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)
4．在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　)
题组二　教材改编
5．3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同的选法种数为(　　)
A．243 B．125
C．128 D．264
6．有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成________种不同的信号．
题组三　易错自纠
7．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种．(用具体数字作答)
8．6名同学争夺3项冠军，不同的结果有________种．(用具体数字作答)
题型突破·提高“四能”
题型一　分类加法计数原理
[例1]　(1)算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51)．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为(　　)
A．16 B．15
C．12 D．10
(2)已知直线方程Ax＋By＝0，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则Ax＋By＝0可表示________条不同的直线．
[听课记录]
类题通法
使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．
[巩固训练1]　(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
(2)甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．
题型二　分步乘法计数原理
[例2]　
(1)[2022·湖北宜昌模拟]如图，某市由四个县区组成，现在要给地图上的四个区域染色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数有(　　)
A．64 B．48
C．24 D．12
(2)某种旅行箱的密码锁由三个数字组成(每个位置上的数字可从0～9这10个数字中任选一个)．小张购买一个旅行箱后，打算设置密码，自上而下第一个位置的数字设置为质数，第二个位置的数字设置为奇数，第三个位置的数字设置为偶数，则他可选择的不同密码的个数为________．
[听课记录]
类题通法
使用分步乘法计数原理的原则
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤．
(2)将完成这件事划分几个步骤完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．
[巩固训练2]　(1)[2022·广东汕头模拟]在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有(　　)
A．12种 B．24种
C．64种 D．81种
(2)[2022·重庆朝阳中学模拟]甲、乙、丙、丁四人准备到A、B、C、D四座城市旅游，每人只到其中一座城市旅游．若A、B、C三座城市为低风险城市，D为中风险城市，且规定疫苗接种未成功的人不能到中高风险城市，接种成功的人不受限制，已知这四人中只有丁疫苗接种还未成功，则这四人到这四座城市旅游共有________种安排方法．
题型三　两个计数原理的综合应用
[例3]　(1)[2022·辽宁沈阳模拟]用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为(　　)
A．81 B．48
C．36 D．24
(2)如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．
[听课记录]
类题通法
1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤
2．涂色问题常用的两种方法
[巩固训练3]　(1)某旅行社共有5名专业导游，其中3人会英语，3人会日语，若在同一天要接待3个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要安排会英语的导游，1个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
(2)[2022·山东肥城模拟]某新闻采访组由5名记者组成，其中甲、乙、丙、丁为成员，戊为组长．甲、乙、丙、丁分别来自A、B、C、D四个地区．现在该新闻采访组要到A、B、C、D四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同．则所有采访的不同安排方法有________种．
第十一章　计数原理、概率、随机变量及其分布
第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
m＋n　m×n　m1＋m2＋…＋mn　m1×m2×…×mn
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.√　4.×
5．解析：因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，所以由分步乘法计数原理可得，不同的选法有5×5×5＝125(种)．故选B.
答案：B
6．解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号，根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．
答案：39
7．解析：由题意，5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则每位同学都有2种报名方法，则这5位同学共有2×2×2×2×2＝25＝32种不同的报名方法．
答案：32
8．解析：每一项冠军的情况都有6种，故6名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是63＝216(种)．
答案：216
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)由题意，拨动三枚算珠，有4种拨法：①个位拨动三枚，有2种结果：3、7；②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有4种结果：12、16、52、56；③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有4种结果：21、25、61、65；④十位拨动三枚，有2种结果：30、70.综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为2＋4＋4＋2＝12.故选C.
(2)当A＝0时，可表示1条直线；当B＝0时，可表示1条直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5×4＝20条不同的直线．由分类加法计数原理，知共可表示1＋1＋20＝22条不同的直线．
答案：(1)C　(2)22
巩固训练1　解析：(1)分两种情况：①4位朋友中有2个人得到画册，有＝6(种)赠送方法；②4位朋友中只有1个人得到画册，有＝4(种)赠送方法．由分类加法计数原理，得不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．故选B.
(2)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)；
甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的也有3种传递方式，由分类加法计数原理可知共有3＋3＝6(种)传递方式．
答案：(1)B　(2)6
例2　解析：(1)先染④有4种染法，①有3种染法，③有2种染法，②有2种染法，所以不同的染法种数有4×3×2×2＝48.故选B.
(2)因为0～9中的质数为2，3，5，7，共有4个数字；0～9中奇数为1，3，5，7，9，共有5个数字；0～9中偶数为0，2，4，6，8，共有5个数字，故由分步乘法计数原理可知，他可选择的不同密码的个数为4×5×5＝100.
答案：(1)B　(2)100
巩固训练2　解析：(1)根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意1人，有4种排班方法，同理第二天和第三天也有4种排班方法，根据分步计数原理可知，不同的排班方法有4×4×4＝64种，故选C.
(2)丁疫苗接种还未成功，即丁不能去D城市，甲乙丙三人不受限制，则共有3×4×4×4＝192种安排方法．
答案：(1)C　(2)192
例3　解析：(1)根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2＝16个；②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2＝32个，故有16＋32＝48个四位数，故选B.
解析：(2)方法一　由题图可知，2区与4区不相邻，3区与5区不相邻，且不相邻的区域可用同1种颜色涂色，所以最少可用3种颜色，故可根据选用颜色的种数进行分类．第1类，使用3种颜色，则2区与4区同色，3区与5区同色，可分三步进行涂色：第1步，涂2区与4区，有4种颜色可选；第2步，涂3区与5区，有3种颜色可选(除涂2区、4区的颜色)；第3步，涂1区，有2种颜色可选(除前2步所选的颜色)．由分步乘法计数原理知，该类涂色方法共有4×3×2＝24(种)．第2类，使用4种颜色，2区与4区同色，3区与5区不同色，可分4步进行涂色：第1步，涂2区与4区，有4种颜色可选；第2步，涂1区，有3种颜色可选；第3步，涂3区，有2种颜色可选；第4步，涂5区，有1种颜色可选．由分步乘法计数原理可知，该类涂色方法共有4×3×2×1＝24(种)．第3类，使用4种颜色，3区与5区同色，2区与4区不同色，同理可得该类涂色方法共有24种．综上，由分类加法计数原理可知，不同的涂色方法共有24＋24＋24＝72(种)．
方法二　因为1区与其他4个区都相邻，首先考虑1区，有4种涂法．若2区与4区同色，有3种涂法，此时3区与5区均有2种涂法，涂法种数为4×3×2×2＝48；若2区与4区不同色，先涂2区，有3种方法，再涂4区，有2种方法，此时3区与5区都只有1种涂法，涂法种数为4×3×2×1×1＝24.因此，满足条件的涂色方法共有48＋24＝72(种)．
答案：(1)B　(2)72
巩固训练3　解析：(1)由题意知有1名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类：第一类，甲被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，从会英语的另外2人中选出1人，有2种选法，将选出的人和甲安排到2个需要会英语的旅游团，有2种安排方法，所以有2×2＝4种安排方法；第二步，从会日语的另外2人中选出1人安排到需要会日语的旅游团，共2种选法．故此时共有4×2＝8种安排方法；第二类，甲没有被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，将会英语的另外2人安排到需要会英语的旅游团，有2种安排方法；第二步，从会日语的3人(包括甲)中选出1人安排到需要会日语的旅游团，有3种选法．故此时共有2×3＝6种选法．综上，不同的安排方法种数为8＋6＝14.故选C.
解析：(2)分两类：①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有(3×3×1×1)×4＝36；②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有(2×1×1)×4＝8.所以总数为36＋8＝44.
答案：(1)C　(2)44

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