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直线的倾斜角与斜率
2．1.1　倾斜角与斜率
【考点梳理】
考点一　直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
考点二　直线的斜率
1．直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2．斜率与倾斜角的对应关系
图示 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P490.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P490.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P491.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P491.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P492.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P492.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P493.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\P493.TIF" \* MERGEFORMATINET
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
3．过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
思考　任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
答案　由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
【题型归纳】
题型一：直线的倾斜角
1．下列命题中正确的是（ ）．
A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．平行于x轴的直线的倾斜角为
D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线，且的倾斜角为，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
题型二：直线的斜率
4．直线过点，，那么直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
5．若直线的倾斜角为，且，则直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C． D．
6．如图，直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三：直线的倾斜角与斜率的关系
7．已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型四：斜率公式的应用
10．设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）
A．或 B．
C． D．以上都不对
11．已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，则m的值是（ ）
A．－6 B．－2 C．2 D．6
12．已知经过两点(5，m)和(2，8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是（ ）
A．(2，8) B．(8，+∞) C．(11，+∞) D．( ∞，11)
【双基达标】
一、单选题
1．已知直线过点和点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点A（2，4），B（3，6），则直线AB的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．-2
4．设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
5．已知点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C．3 D．
6．若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线，点，，若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知，，若直线与线段AB有公共点，则的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，，
9．已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
10．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．设直线 l 的方程为 x y sin 2 0 ，则直线 l 的倾斜角的范围是（ ）
A．[0, ] B． C． D．
13．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．或
C．或
D．或
14．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A． B． C． D．
15．直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．直线:与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．（多选）对于下列选项中正确的是（ ）
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
18．如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
19．若直线的倾斜角是，则实数是_______________.
20．若过点，的直线的倾斜角为，则_____.
21．已知两点，，且，则直线的倾斜角的取值范围是______．
22．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
23．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______．
24．已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________．
四、解答题
25．已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3,－5)，求证：这三点在同一条直线上．
26．已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
27．过，两点的直线l的倾斜角为，求的值．
28．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围.
29．（1）若直线l的倾斜角，求直线l斜率k的范围；
（2）若直线l的斜率，求直线l倾斜角的范围.
30．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
参考答案：
【题型归纳】
1．D
【解析】
【分析】
根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案.
【详解】
对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确；
对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确；
对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确；
对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的.
故选：D
2．C
【解析】
【分析】
根据直线的一般式方程，求得斜率，即可求得直线的倾斜角.
【详解】
直线的斜率
设其倾斜角为，故可得，又，故.
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
利用两直线的位置关系与直线的倾斜角的关系即得．
【详解】
∵直线，
所以它们的倾斜角相等，又的倾斜角为，
∴的倾斜角为60°，.
故选：D．
4．B
【解析】
【分析】
由题意利用直线的斜率公式，计算求得结果．
【详解】
解：直线过点，，
直线的斜率，
故选：B．
5．C
【解析】
【分析】
将两边平方，并求出，进一步求出，然后求出得到.
【详解】
由题意， ，由，则，所以.
于是，联立.
故选：C.
6．D
【解析】
【分析】
直接由斜率的定义判断大小即可.
【详解】
由斜率的定义知，.
故选：D.
7．B
【解析】
【分析】
利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】
由直线的方程为，
所以，
即直线的斜率，由.
所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，
由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.
【详解】
因为直线的斜率为，且，
，因为，
.
故选：A.
9．B
【解析】
【分析】
直线倾斜角的范围是[0°,180°)，直线斜率为倾斜角(不为90°)的正切值，据此即可判断求解.
【详解】
直线的斜率不大于0，则直线l斜率可能等于零，此时直线倾斜角为0°，不为钝角，故“直线的斜率不大于0”不是“直线的倾斜角为钝角”充分条件；
直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率为负，满足直线的斜率不大于0，即“直线的倾斜角为钝角”是“直线的斜率不大于0”的充分条件，“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要条件；
综上，“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
先画出线段AB，之后连接PA，PB求得PA，PB的斜率，通过观察图像找到直线l斜率的取值范围
【详解】
如图所示，直线PB，PA的斜率分别为，
结合图形可知或
故选：A
11．A
【解析】
【分析】
利用斜率相等可求解.
【详解】
由三点共线，可得，即，得.
故选：A
12．C
【解析】
利用斜率公式列式可解得结果.
【详解】
由题意得，解得.
故选：C
【双基达标】
1．A
【解析】
【分析】
根据直线斜率公式直接求解即可．
【详解】
直线的斜率为，
故选：A.
2．D
【解析】
【分析】
先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.
【详解】
依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查直线倾斜角，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
直角利用两点坐标求直线斜率的公式计算即可.
【详解】
因为，
所以.
故选：C
4．D
【解析】
【分析】
如图，求出可得斜率的取值范围.
【详解】
由题设可得，
因为直线与线段相交，则或，
故选：D.
5．D
【解析】
【分析】
直接根据斜率公式即可求出答案.
【详解】
因为点，所以.
故选：D.
6．C
【解析】
根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率，分析可得斜率的范围，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得，又由倾斜角的范围，分析可得答案．
【详解】
根据题意，直线经过，，
则直线的斜率，
又由，则，则有，
又由，则；
故选：．
7．A
【解析】
【分析】
若直线与线段有公共点，由、在直线的两侧（也可以点在直线上），得（）可得结论．
【详解】
若直线与线段有公共点，则、在直线的两侧（也可以点在直线上）.
令，则有，，，即.
解得，
故选：A.
8．C
【解析】
【分析】
先确定直线恒过定点，再计算公共点在A，B之间运动时，临界状态两个端点处的斜率，数形结合即得的取值范围.
【详解】
由于直线的斜率为，且经过定点，如图设直线与线段AB有公共点为，则在A，B之间运动，
在A点时，直线的斜率为；在B点时，直线的斜率为，故.
故选:C.
9．C
【解析】
【分析】
根据斜率的定义以及斜率的坐标公式分别求出直线，的斜率，即可判断出直线，的位置关系．
【详解】
因为，，所以，即直线，的位置关系是垂直．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用斜率判断两条直线的位置关系，涉及斜率的定义以及斜率公式的应用，属于基础题．
10．D
【解析】
【分析】
求得直线的斜率以及倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率.
【详解】
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，
所以直线的倾斜角为，
所以的斜率为，
故选：D.
11．B
【解析】
【分析】
利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】
由直线的方程为，
所以，
即直线的斜率，由.
所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，
由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论，当时，；当时，结合的范围，可得斜率的取值范围，进而得到倾斜角的范围.
【详解】
直线l的方程为，
当时直线方程为，倾斜角
当时，直线方程化为，斜率，
因为，所以，
即，又因为，
所以
综上可得
故选：C
13．B
【解析】
【分析】
根据斜率的公式结合的范围求解出倾斜角的正切值取值范围，由此确定出倾斜角的取值范围.
【详解】
根据题意，直线的斜率，
由，得的取值范围为，
即的取值范围为．
又，则或．
故选：B．
14．C
【解析】
【分析】
由五角星的内角为，可知，又平分第三颗小星的一个角，过作轴平行线，则，即可求出直线的倾斜角.
【详解】
都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为，可知，
过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线的倾斜角，解题的关键是通过做辅助线找到直线的倾斜角，通过几何关系求出倾斜角，考查学生的数形结合思想，属于基础题.
15．D
【解析】
【分析】
根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围.
【详解】
解：直线的斜率为，因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题考查了利用两点求直线的斜率以及倾斜角的应用问题，属于基础题.
16．C
【解析】
【分析】
由题知直线l的倾斜角为30°，从而求得旋转后的倾斜角，利用特殊角的两角和与差的余弦公式求得结果.
【详解】
解：设的倾斜角为，则，
，
由题意知，
．
故选：C
17．ABC
【解析】
【分析】
根据倾斜角和斜率的定义分析即可得解.
【详解】
由倾斜角的范围，可得正确；
由正切函数的值域可得斜率为一切实数，故正确；
任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，
故正确；错误．
故选：．
18．BC
【解析】
【分析】
根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.
【详解】
直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；
故选：BC
19．
【解析】
【分析】
根据直线方程得直线斜率，结合倾斜角列方程，解得结果.
【详解】
因为直线的倾斜角是，
所以直线的斜率为
因此
或（舍）
故答案为：
【点睛】
本题考查斜率与倾斜角关系、由直线方程求直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.
20．
【解析】
【分析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，求得的值.
【详解】
由题意可得，求得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用斜率公式求参数，考查计算能力，属于基础题.
21．
【解析】
【分析】
根据斜率与倾斜角的对应关系，求得的取值范围.
【详解】
设，
所以，直线对应的倾斜角为.
，直线对应的倾斜角为.
所以的取值范围是.
故答案为：
22．
【解析】
【分析】
由斜率相等得的关系．
【详解】
解析：由题意得，
ab+2(a+b)=0，．
故答案为：．
23．
【解析】
【分析】
结合函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围，进而求出倾斜角的范围即可.
【详解】
解：如图所示：
设直线过点时直线的斜率为，直线过点时直线的斜率为，
则，，，
所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：,
所以倾斜角的取值范围.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了求直线的斜率问题，斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的思想，是一道基础题.
24．[1，2]
【解析】
【分析】
可以看成过点与坐标原点的直线的斜率，数形结合即得解
【详解】
设，则可以看成过点与坐标原点的直线的斜率.
当点在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，如图所示.
又，，所以，即的取值范围是[1，2].
故答案为：[1，2]
25．证明见解析
【解析】
【分析】
由斜率的两点公式有kAB＝kAC，且AB与AC都过点A，结论即得证.
【详解】
证明：由斜率公式，得kAB＝＝2，kAC＝＝2，
∴kAB＝kAC，且AB与AC都过点A，
∴直线AB，AC斜率相同，且过同一点A，
∴A，B，C这三点在同一条直线上．
26．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
根据倾斜角与斜率的关系：进行逐个求解即可.
【详解】
设直线的斜率为，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
27．.
【解析】
【分析】
根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值.
【详解】
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又，整理得，
解得或，
当时，，不符合，
当时，，符合，
综上：.
28．k≤－1或k≥1
【解析】
【分析】
根据题意做出符合题意的图形，求出临界直线的斜率，即可得到答案
【详解】
如图所示
∵A(－3，4)，B(3，2)， P(1，0)，
∴kPA＝＝－1，kPB＝＝1．
要使直线l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1．
【点睛】
求斜率的方法：
①定义法：；②两点法求斜率：；③由直线方程求斜率；④由直线的方向向量求斜率.
29．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解.
【详解】
解：（1）因为，，，，
结合正切函数在的单调性得，
（2）直线l的斜率，，，
结合正切函数在的单调性得.
30．(1) m>－2. (2) m<－2. (3) 不可能为直角.
【解析】
【分析】
(1)由倾斜角为锐角，则斜率大于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解；
(2)由倾斜角为钝角，则斜率小于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解；
(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，即可作出判定．
【详解】
(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，
即k＝＝>0，
解得m>－2.
(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，
即k＝＝<0，
解得m<－2.
(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角.
【点睛】
本题主要考查了直线的斜率公式及其应用，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理利用斜率公式列出不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
试卷第1页，共3页

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