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2．1.2　两条直线平行和垂直的判定
【考点梳理】
知识点一　两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L39.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L39.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L40.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L40.TIF" \* MERGEFORMATINET
知识点二　两条直线垂直的判定
图示 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L41.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L41.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L42.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L42.TIF" \* MERGEFORMATINET
对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
思考　两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
答案　不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
【题型归纳】
题型一：由斜率判断两条直线平行
1．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
2．已知直线，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3．已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ）．
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．以上都不对
题型二：已知直线平行求参数
4．已知直线经过点，，且与直线：平行，则（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
5．已知直线 ， ，若，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．2
6．过点和点的直线与平行，则的值为（ ）
A．6 B．2 C． D．不能确定
题型三：由斜率判断两条直线垂直
7．已知直线l的倾斜角为120°，则下列直线中，与直线l垂直的是（ ）
A． B．
C． D．
8．以，，为顶点的三角形是（ ）
A．以点为直角顶点的直角三角形 B．以点为直角顶点的直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
9．设向量，，若，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交且垂直 C．相交但不垂直 D．重合
题型四：已知直线垂直求参数
10．将直线绕着原点顺时针旋转，得到新直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
11．已知过A（m，1）、B(－1，m)两点的直线与过P（1，2）、Q(－5，0)两点的直线垂直，则m=（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
12．若两直线与互相垂直，则k的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-1或1 D．2
题型五：直线的平行、垂直在几何中的应用
13．下列说法正确的有
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行.
（1）直线经过点，直线经过点；
（2）直线平行于y轴，直线经过点，；
（3）直线经过点，直线经过点.
15．在等腰中，，顶点，，求顶点C的坐标．
【双基达标】
一、单选题
1．已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（ ）
A．平行或重合 B．平行
C．垂直 D．重合
2．直线与垂直，则的值为（ ）
A．3 B． C．15 D．
3．若方程表示平行于轴的直线，则的值是（ ）
A． B． C．， D．1
4．设直线，，若，则（ ）
A．-1 B．1 C．±1 D．0
5．直线l1过点A(-1,m)，B(m,1)，l2过点C(-1,1)，D(1,0)，且l1⊥l2，则m的值为（ ）
A．-3 B．- C．3 D．
6．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为（ ）
A．－4 B．20
C．0 D．24
7．下列直线中与直线垂直的是（ ）
A． B． C． D．
8．若过点和点的直线与方向向量为的直线平行，则实数的值是（ ）
A． B． C．2 D．
9．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
10．对于直线，下列说法不正确的是　　
A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变
B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限
C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限
D．当取不同数值时，可得到一组平行直线
11．已知直线与直线垂直，则a＝（ ）
A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1
12．已知，则直线与直线平行的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
13．已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
14．已知直线l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，则m的值为（　　）
A．﹣1 B． C．或﹣2 D．﹣1或﹣2
15．下列说法中正确的有（ ）
（1）若两条直线斜率相等，则两直线平行；
（2）若，则
（3）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
（4）若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若，则
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
18．已知直线，若，则实数（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．-3
19．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（ ）．
A．的斜率为2，过点，
B．经过点，，平行于轴，且不经过点
C．经过点，，经过点，
D．的方向向量为，的倾斜角为
20．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．l的倾斜角等于
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线垂直
D．l上不存在与原点距离等于的点
三、填空题
21．已知三条直线，，，若，则的值为______.
22．直线与垂直，则实数a的值是______．
23．已知直线，直线，若，则实数的值为______．
24．在平面直角坐标系中，若直线与直线将平面划分成3个部分，则________.
25．已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为_______；
26．已知直线，直线，若，则实数______．
四、解答题
27．已知两条直线：，为何值时，与：
（1）垂直；
（2）平行
28．已知直线，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
29．已知直线和直线.
(1)当m为何值时，直线和平行？
(2)当m为何值时，直线和重合？
30．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）若是直角，求实数的值；
（2）求过坐标原点，且与的高垂直的直线的方程．
31．已知直线，，分别求实数的值，使得：
(1)；
(2)．
32．已知直线经过点，，直线经过点，且，求实数的值.
参考答案
【题型归纳】
1．B
【解析】
【分析】
根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.
【详解】
充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线与的斜率相等，则必有直线与平行，故必要性成立；
综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的必要非充分条件.
故选：B
2．B
【解析】
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义结合两直线平行的性质判断即可
【详解】
当时，与可能平行，可能重合，
当时，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
利用两点式求斜率，由倾斜角与斜率的关系判断的斜率，即可知直线，的位置关系.
【详解】
∵直线经过点，，
∴以直线的斜率，又直线的倾斜角为60°，
∴直线的斜率，故直线与直线平行或重合．
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
由平行得到斜率相等，列出方程，求出答案.
【详解】
直线的斜率，直线的斜率，所以，解得.
故选：C
5．D
【解析】
【分析】
根据两条直线的斜率相等可得结果.
【详解】
因为直线 ， ，且，
所以，
故选：D.
6．C
【解析】
【分析】
根据两直线平行求得的关系式，利用两点间的距离公式求得.
【详解】
由题意知，即，则．
故.
故选：C
7．A
【解析】
【分析】
两条直线斜率均存在时，两直线垂直，则它们斜率之积等于－1，据此即可求解.
【详解】
直线l的倾斜角为120°，则其斜率为tan120°＝，则与l垂直的直线斜率为.
A、B、C、D选项中的直线斜率分别为，，，，
故选：A.
8．A
【解析】
【分析】
根据两点求斜率以及斜率之间的关系即可求解.
【详解】
由，，，
，，
由，所以直线与直线垂直，
所以以点为直角顶点的直角三角形.
故选：A
9．B
【解析】
根据向量垂直，得到，从而可得两直线斜率之间的关系，即可得出结果.
【详解】
因为向量，，若，则，即，
所以直线可化为，直线可化为，
两直线斜率之积为，
所以两直线相交且垂直.
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
依据两直线垂直充要条件即可求得新直线的斜率.
【详解】
直线的斜率为
由题意可知新直线与直线互相垂直，
则新直线的斜率为
故选：A
11．D
【解析】
【分析】
利用直线垂直的斜率关系即求.
【详解】
由题可知，
∴，解得.
故选：D.
12．B
【解析】
【分析】
根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可.
【详解】
由，因此直线的斜率为，
直线的斜率为，
因为两直线与互相垂直，
所以，
故选：B
13．A
【解析】
【分析】
斜率相等两直线可能重合，①错误；两条直线斜率不存在，则不重合时两直线必平行，可知②错误，④正确；一条直线斜率不存在，另一条直线只有斜率为时才与该直线垂直，③错误.
【详解】
两条直线斜率相等，则两条直线平行或重合，①错误
若两条直线均垂直于轴，则两条直线可能平行，但此时斜率不存在，②错误
当一条直线斜率不存在，另一条直线与该直线垂直时，该直线斜率必为，③错误
两条直线斜率都不存在时，两条直线均垂直于轴，若两条直线不重合，则必平行，④正确
本题正确选项：
【点睛】
本题考查直线平行与垂直位置关系相关命题的判定，易错点是忽略直线重合或斜率不存在的情况，造成判断错误.
14．（1）不平行；（2）平行；（3）不平行.
【解析】
【分析】
（1），所以直线与不平行；
（2）直线与y轴重合，所以直线与平行；
（3）E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行.
【详解】
解：（1）直线的斜率，直线的斜率，显然，所以直线与不平行.
（2）直线与y轴重合，所以直线与平行.
（3）直线的斜率，直线的斜率，所以，又，所以E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行.
15．或
【解析】
【分析】
设出C点坐标，根据等腰三角形腰相等以及两直角边垂直斜率乘积为-1，列方程组求解．
【详解】
设点
，则①
又，
②
由①②解得或
则C的坐标为或
【点睛】
本题考查垂直直线的斜率关系以及两点距离公式，是基础题．
【双基达标】
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
计算出两直线的斜率，结合斜率关系可得出结论.
【详解】
由题意可知直线的斜率，直线的斜率．
因为，所以，或、重合．
故选：A.
2．A
【解析】
利用直线的一般式方程与直线的垂直关系，列出方程组，即可求解．
【详解】
由题意，直线与垂直，
可得，解得.
故选：．
3．B
【解析】
【分析】
根据直线与x轴平行，由直线方程各项系数的特征，即可求的值.
【详解】
直线与轴平行
∴，解得：
故选：B．
4．D
【解析】
【分析】
由得，当斜率存在时，，计算可得.
【详解】
，
当时，，矛盾，
当时，符合题意，
故选：D.
【点睛】
此题考直线垂直的性质，属于简单题.
5．B
【解析】
【分析】
由两点式求、，根据l1⊥l2有，即可求m的值.
【详解】
由题意，知：，，
∵l1⊥l2，即，
∴，即，解得.
故选：B.
6．A
【解析】
由垂直求出，垂足坐标代入已知直线方程求得，然后再把垂僄代入另一直线方程可得，从而得出结论．
【详解】
由直线互相垂直可得，∴a＝10，所以第一条直线方程为5x＋2y－1＝0，
又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.
故选：A．
7．B
【解析】
【分析】
根据两条直线斜率存在时它们的乘积等于-1逐一判断可得答案.
【详解】
在直线斜率都存在的情况下，若两直线垂直则斜率乘积为-1，
直线的斜率为，
选项A：直线的斜率为，显然不与直线垂直，错误；
选项B：直线的斜率为5，因为，所以与直线垂直，正确；
选项C：直线的斜率为，因为，所以与直线不垂直，错误；
选项D：直线的斜率为，显然不与直线垂直，错误，
故选：B.
8．B
【解析】
【分析】
求出坐标，由向量共线可得关于的方程，进而可求出的值.
【详解】
由题意得，与共线，所以，
解得．经检验知，符合题意，
故选:B．
【点睛】
本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.
9．A
【解析】
【分析】
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，C正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，D正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.
10．C
【解析】
直线，化为：，根据直线斜率与在轴上的截距的意义即可判断出正误．
【详解】
直线，化为：，
可得斜率，倾斜角为轴上的截距为，
因此无论如何变化，直线必经过第一、二、四象限，C错；
直线一定不经过第三象限，B对；
直线的倾斜角的大小不变，A对；
当取不同数值时，可得到一组平行直线，D对；
故选：．
11．D
【解析】
【分析】
根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.
【详解】
直线与直线垂直，
所以，解得或.
故选：D.
12．C
【解析】
【分析】
利用直线平行的判定可得求参数a，注意验证是否存在重合情况.
【详解】
由题设，，解得或，
当a＝0时， ，两条直线重合，
当时，，故．
故选：C.
13．C
【解析】
【分析】
根据斜率的定义以及斜率的坐标公式分别求出直线，的斜率，即可判断出直线，的位置关系．
【详解】
因为，，所以，即直线，的位置关系是垂直．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用斜率判断两条直线的位置关系，涉及斜率的定义以及斜率公式的应用，属于基础题．
14．A
【解析】
【分析】
利用直线与直线平行的性质直接求解．
【详解】
根据两直线平行的公式可得，故
解得
故选：A．
15．A
【解析】
【分析】
根据直线平行和斜率之间的关系分别判断即可．
【详解】
①若两直线斜率相等，则两直线平行或重合，所以错误．
②若，则两直线的斜率相等或都不存在，所以错误．
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率存在，则两直线相交，正确．
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，所以错误．
故选：A
16．B
【解析】
【分析】
由两直线垂直求出，再利用基本不等式求出的最大值．
【详解】
解：由直线与直线互相垂直
所以
即
又a、b为正实数，所以
即，当且仅当a，b时取“＝”；
所以的最大值为．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.
17．AD
【解析】
【分析】
根据直线倾斜角、斜率的概念可判断ABD选项的正误，根据两直线平行与倾斜角的关系可判断C选项的正误.
【详解】
对于A选项，平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，A对；
对于B选项，平面直角坐标系中倾斜角为的直线没有斜率，B错；
对于C选项，当、都与轴垂直时，、的斜率都不存在，但，C错；
对于D选项，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，D对.
故选：AD.
18．BD
【解析】
【分析】
根据及线线垂直公式，即可求的值
【详解】
由知：
解得：或
故选：BD
【点睛】
本题考查了两直线的垂直关系，结合直线的一般公式有求参数值
19．BC
【解析】
【分析】
根据题意，结合直线斜率的计算公式以及两直线平行的结论，一一判断即可.
【详解】
对于A，由题意得，所以与平行或重合，故A错；
对于B，由题意得，因平行于轴，且不经过点，所以，故B正确；
对于C，由题意得，，，所以，故C正确；
对于D，直线的斜率为，直线的斜率为，
所以与不平行，故D错．
故选：BC．
20．CD
【解析】
【分析】
由已知得直线l的斜率，可判断A选项；得直线l的方程为，令可判断B选项；求得直线的斜率为可判断C选项；求得原点到直线l的距离可判断D选项．
【详解】
由已知得直线l的斜率，设其倾斜角为，则，所以，故A选项错误；
直线l的方程为，即，所以它在x轴上的截距等于，故B选项错误；
直线的斜率为，所以两直线垂直，故C选项正确；
原点到直线l的距离，即l上的点与原点的最小距离大于，故l上不存在与原点距离等于的点，D选项正确．
故选：CD.
【点睛】
本题考查直线的斜率、倾斜角、在x轴上的截距，以及两直线垂直的条件，属于基础题.
21．
【解析】
【分析】
由两直线平行和垂直的关系，直接列方程求解即可
【详解】
，解得.
不满足题意，舍去，
，
解得.则.
故答案为：
【点睛】
此题考查由两直线的位置关系求参数，属于基础题
22．或
【解析】
【分析】
根据直线垂直关系的系数公式即可求解．
【详解】
因为直线与垂直，
故有，解得或．
故答案为：或
23．或
【解析】
【分析】
根据两直线垂直的充要条件求解即可.
【详解】
因为，
所以，解得或，
故答案为：或
24．3
【解析】
由题可得两直线平行，建立关系即可求解.
【详解】
由题可得直线与直线互相平行，
，解得.
故答案为：3.
25．0或1
【解析】
【分析】
根据直线的斜率存在和不存在分类讨论．
【详解】
当时，直线方程为，直线方程为，两直线平行，
当时，，，由得，此时直线方程为，即，直线方程为，即，两直线平行．
故答案为：0或1．
【点睛】
本题考查由两直线平行求参数值，解题时根据直线斜率存在和不存在分类讨论．由斜率相等求出参数时还需检验两直线是否重合．
26．
【解析】
【分析】
由由有，即可求，然后验证、是否重合.
【详解】
∵，有，
∴，解得或，
当时，，，即、为同一条直线；
当时，，，即；
∴，
故答案为：
27．（1）（2）
【解析】
【分析】
先考虑x和y的系数为0时，与直线的方程，得出两直线是否平行或垂直，
再考虑x和y的系数不为0时，两直线的斜率，根据两直线平行或垂直的条件，列出方程求解m，注意验证两直线是否重合.
【详解】
当时，，此时与不平行也不垂直，
当时，直线的斜率，直线的斜率
（1）由得，所以
（2）由得，即，所以或，
当时，此时与重合，不符，舍去；
当时，，此时，符合
综上所述，.
【点睛】
本题考查两直线平行和垂直的判断条件，注意先需考虑x和y的系数为0的情况，属于基础题.
28．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．
（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m 的值．
【详解】
（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，
由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．
（2）由题意可知m不等于0,
由l1∥l2 可得，解得 m＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题．
29．(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）（2）由直线平行与重合的公式列方程组求解.
(1)
由题意，，
得，解得或
当或时，直线和平行.
(2)
由题意，，
得，解得，
当时，直线和重合.
30．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据是直角可知且，由此构造方程求得；
（2）易知直线与直线平行或重合，知直线的斜率，结合直线过坐标原点可得结果.
【详解】
（1）当时，不是直角，不合题意；
当时，是直角，，
即，解得：；
综上所述：.
（2）直线与的高垂直，直线与直线平行或重合，
不重合，，直线的斜率，
又直线过坐标原点，直线的方程为．
31．(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行关系可直接构造方程组求得结果；
（2）由垂直关系可直接构造方程求得结果.
(1)
由得：，解得：或.
(2)
由得：，解得：.
32．0或5
【解析】
【分析】
分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，即得解
【详解】
①当直线的斜率不存在时，，解得.
此时，，直线的斜率为0，满足.
②当直线的斜率存在时，
直线的斜率，
直线的斜率，
∵，∴，∴.
综上，实数的值为0或5.
试卷第1页，共3页

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