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第六节　离散型随机变量的分布列、均值与方差
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解离散型随机变量的概念． 2．理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差)． 2020年新高考第12题考查了有关随机变量的新定义问题； 2021年新高考(Ⅰ)中第18题考查了随机变量的分布列与期望． 数据分析 数学运算 逻辑推理
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.随机变量的有关概念
(1)随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．通常用大写英文字母表示，例如X，Y，Z；随机变量的取值用小写英文字母表示，例如x，y，z.
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以________的随机变量．
【微点拨】
离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的____________________________为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi____0，i＝1，2，…，n；
②________________＝1.
【微点拨】
判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．
3．离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
称E(X)＝____________________＝________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．
(2)方差
称D(X)＝____________________为随机变量X的方差，并称√〖D(X)〗为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
【微点拨】
(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．
(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的．
4．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝________．(a，b为常数)
(2)D(aX＋b)＝________．(a，b为常数)
[常用结论]
1．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y必是离散型随机变量．
2．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
3．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X)．
4．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)
2．随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(　　)
3．均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．(　　)
4．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　)
题组二　教材改编
5．已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A.　　　B．4
C.－1 D．1
6．某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击一次不小于9环为优秀，其射击一次优秀的概率为________．
题组三　易错自纠
7．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA.(－∞，2] B．[1，2]
C.(1，2] D．(1，2)
8．已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a
则变量X的数学期望E(X)＝________，方差D(X)＝________．
题型突破·提高“四能”
题型一　离散型随机变量分布列的性质
[例1]　(1)若离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ (1≤k≤5，k∈Z)，则P(A． B．
C． D．
(2)某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab.
X 0 2 3
P a b c
则这名运动员得3分的概率是________．
[听课记录]
类题通法
离散型随机变量的分布列性质的应用
[巩固训练1]　已知分布列
Y 1 2 3 4 5 6
P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2
则(1)x＝________；
(2)P(Y＞3)＝________；
(3)P(1＜Y≤4)＝________．
题型二　求离散型随机变量的分布列
角度1 与互斥事件、独立事件有关的分布列
[例2]　[2022·山东威海模拟]在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市A，城市B进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市A比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市B比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
(1)求两场比赛甲队恰好负一场的概率；
(2)求两场比赛甲队得分X的分布列．
[听课记录]
类题通法
在求几个互斥事件构成的事件的概率时，一般先利用独立事件的定义求出各个互斥事件发生的概率，然后用概率加法公式求概率，审题时应注意关键词语，如“至多有一个”“至少有一个”“恰有一个”等，在求复杂事件的概率时，应学会对事件等价分解(互斥事件的和、几个独立事件同时发生)，或者考虑结合对立事件求解，从而使问题变得更易解决．
[巩固训练2]　为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场滑雪，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为 ，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．
角度2 与古典概型有关的分布列
[例3]　[2022·广东清远模拟]某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
[听课记录]
类题通法
1.求古典概型的离散型随机变量的分布列，要注意应用计数原理、排列组合的知识求基本事件的个数及事件A包含的基本事件的个数，然后应用古典概型的概率公式求概率．
2．求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
[巩固训练3]　某探险队分为四个小组探险甲、乙、丙三个区域，若每个小组只能探险一个区域，且每个小组选择任何一个区域是等可能的．
(1)求恰有2个小组探险甲区域的概率；
(2)求被探险区域的个数X的分布列．
题型三　离散型随机变量的均值与方差
[例4]　[2022·北京海淀模拟]据有关权威发布某种传染病的传播途径是通过呼吸传播，若病人(患了某种传染病的人)和正常人(没患某种传染病的人)都不戴口罩而且交流时距离小于一米90%的机率被传染，若病人不戴口罩正常人戴口罩且交流时距离小于一米时有60%的机率被传染，若病人戴口罩而正常人不戴口罩且交流距离小于一米时有30%的机率被传染上，若病人和正常人都带口罩且交流距离大于一米时不会被传染．为此对某地经常出入某场所的人员通过抽样调查的方式对戴口罩情况做了记录如下表
男士 女士
戴口罩 不戴口罩 戴口罩 不戴口罩
甲地 40 20 30 10
乙地 10 30 45 15
假设某人是否戴口罩互相独立
(1)求去甲地的男士带口罩的概率，用上表估计所有去甲地的人戴口罩的概率．
(2)若从所有男士中选1人，从所有女士中选2人，用上表的频率估计概率，求戴口罩人数X的分布列和期望．
(3)上表中男士不戴口罩记为“ξ＝0”，戴口罩记为“ξ＝1”，确定男士戴口罩的方差为Dξ，和女士不戴口罩记为“η＝0”，戴口罩记为“η＝1”确定女士戴口罩的方差为Dη.比较Dξ和Dη的大小，并说明理由．
[听课记录]
类题通法
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
[巩固训练4]　某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列、期望和方差．
第六节　离散型随机变量的分布列、均值与方差
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(2)一一列举
2．(1)概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n　(2)①≥　②p1＋p2＋…＋pn
3．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　　(2)
4．(1)aE(X)＋b　(2)a2D(X)
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.√
5．解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.故选A.
答案：A
6．解析：由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次优秀的概率为0.4.
答案：0.4
7．解析：因为P(X＝－2)＋P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.8，所以P(X答案：C
8．解析：根据概率和为1，得
a＋＝1，解得a＝.
∴变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，
方差D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.
答案：1　
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)由题P(X＝k)＝m(1≤k≤5，k∈Z)，则由离散型随机变量分布列的性质可得P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝5)＝m＝m＝1，所以m＝，故P＝＝.故选A.
(2)由题知，c＝ab，又a，b，c成等差数列，有a＋c＝2b，由分布列的性质知，a＋b＋c＝1，且0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1，联立解得a＝，b＝，c＝.由表可知，这名运动员得3分的概率是P(X＝3)＝c＝.
答案：(1)A　(2)
巩固训练1　解析：(1)由概率和为1，∴0.1＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.20＝1，解得x＝0.1；
(2)P(Y>3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；
(3)P(1答案：(1)0.1　(2)0.45　(3)0.55
例2　解析：(1)设甲队在城市A比赛负的事件为A0，甲队在城市B比赛负的事件为B0，由题意可知P(A0)＝1－＝，P(B0)＝1－＝，甲队恰好负一场的事件是A0与B0的和，它们互斥，所以P(A0＋B0)＝··＝；
(2)由题意可知，随机变量X的所有可能值是0，1，2，3，4，6，P(X＝0)＝·＝，P(X＝1)＝··＝，P(X＝2)＝·＝，P(X＝3)＝··＝，P(X＝4)＝··＝，P(X＝6)＝·＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4 6
P
巩固训练2　解析：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，两人都付0元的概率为P1＝＝，两人都付40元的概率为P2＝＝，两人都付80元的概率为P3＝＝＝，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＝；
(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0，40，80，120，160.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝40)＝＝，P(ξ＝80)＝＝，P(ξ＝120)＝＝，P(ξ＝160)＝＝，ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
例3　解析：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝；
(2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的分布列为
X 1 2 3
P
巩固训练3　解析：(1)记“恰有2个小组探险甲区域”为事件A，P(A)＝＝；
(2)X所有可能的取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－＝，所以分布列为
X 1 2 3
P
例4　解析：(1)设“去甲地的男士带口罩”为事件M，则P(M)＝＝，设“去甲地的人戴口罩”为事件N，则P(N)＝＝；
(2)设“男士带口罩”为事件A，则P(A)＝＝，设“女士带口罩”为事件B，则P(B)＝＝，所有男士中选1人，从所有女士中选2人，戴口罩人数X＝0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
分布列为：
X 0 1 2 3
P
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2；
(3)Eξ＝0×＋1×＝，Dξ＝＝，Eη＝0×＋1×＝，Dη＝＝，100名男士中有50人戴口罩，50人不戴口罩，100名女士中有75人戴口罩，25人不戴口罩，从数据分布可看出来女士戴口罩的集中程度要好于男士，所以其方差偏小．
巩固训练4　解析：(1)购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，P()＝(1－0.2)3＝0.512，
∴P(A)＝1－P()＝1－0.512＝0.488；
解析：(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，300元，400元．得到变量对应的事件的概率，P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.2，
P(η＝300)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＋0.3＝0.6，
P(η＝400)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，
η的分布为
η 200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
∴E(η)＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300，
∴D(η)＝(200－300)2×0.2＋(300－300)2×0.6＋(400－300)2×0.2＝4 000.

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