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第七节　二项分布、超几何分布、正态分布
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题． 3．了解服从正态分布的随机变量，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 4．了解正态分布的均值、方差及其含义． 2020年新高考未考查二项分布、超几何分布、正态分布； 2021年新高考(Ⅱ)中第6题考查了正态分布． 数据分析 数学运算 逻辑推理
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做________________________________________________________________________．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0(3)两点分布与二项分布的均值、方差
若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝____，D(X)＝________．
若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝__________．
【微点拨】
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点：
①在一次试验中，事件A发生与不发生，二者必居其一，且A发生的概率不变；②试验可以独立重复进行n次．
(2)两点分布(0—1分布)和二项分布的关系：
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布；二项分布可以看作两点分布的一般形式．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取任取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
【微点拨】
超几何分布与二项分布的关系
不同点 联系
假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件，用X表示抽取的n件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)；若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X服从超几何分布 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律，并且二者的均值相同．对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，超几何分布可以用二项分布近似
3.正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．特别地，当μ＝0，σ＝1时，相应曲线称为标准正态曲线．
(2)正态曲线特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线与x轴之间的区域的面积为____．
③曲线是单峰的，它关于直线________对称．
④曲线在x＝μ处达到峰值(最大值).
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为________________．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值．
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________．
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________．
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________．
【微点拨】
1．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.
2．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项，其中a＝p，b＝1－p.(　　)
2．从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)
3．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．(　　)
4．一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(　　)
题组二　教材改编
5．设随机变量X～B，则P(X＝3)等于(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
6．若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，则P(2题组三　易错自纠
7．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)
B．
8．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X题型突破·提高“四能”
题型一　二项分布及其应用
[例1]　[2022·山东师大附中月考]某调研机构就该市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了5 000名市民，他们月收入人数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表∶
月收入 (单位：百元) [30， 50) [50， 70) [70， 90) [90， 110) [110， 130) [130， 150)
调查人数 500 1 000 1 500 1 000 500 500
赞成人数 400 800 1 200 414 99 87
(1)若从抽调的5 000名市民中随机选取一名市民，求该市民赞成“楼市限购令”的概率；
(2)依据上表中的数据，若从该市工薪阶层随机选取两人进行调查，记赞成“楼市限购令”的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)若从抽调的收入在[30，50)(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为X1，期望记作E(X1)；若从抽调的收入在[50，90)(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为X2，期望记作E(X2)，比较E(X1)与E(X2)的大小关系．(直接写出结论即可)
[听课记录]
类题通法
二项分布的解题策略
[巩固训练1]　一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”．
(1)求一个试用组为“甲类组”的概率；
(2)观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和期望．
题型二　超几何分布及其应用
[例2]　某高中学校德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：
52，63，67，68，72，76，76，76，82，88，93，94.
(1)写出该样本的中位数，若该校共有3 000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；
(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望．
[听课记录]
类题通法
求超几何分布的分布列的步骤
[巩固训练2]　为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．
套数人数性别 1 2 3 4 5
男生 1 4 3 2 2
女生 0 1 3 3 1
(1)从这个班的学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率；
(2)若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列．
题型三　正态分布及其应用　　　
角度1 正态分布的概率计算
[例3]　(1)[2022·安徽蚌埠模拟]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<1)·P(X>3)＝，则P(1A． B．
C． D．
(2)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X～N(90，a2)(a>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人．
[听课记录]
类题通法
正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个．
[巩固训练3]　(1)[2022·辽宁锦州模拟]已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(x>－1)＋P(x≥5)＝1，则μ＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
(2)[2022·广东揭阳模拟]某地市在一次测试中，高三学生数学成绩ξ服从正态分布N(80，σ2)，已知P(60<ξ<80)＝0.3，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从100分以上的试卷中抽取(　　)
A．10份 B．15份
C．20份 D．30份
角度2 正态分布的实际应用
[例4]　[2022·江苏南京模拟]“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．
(1)求最低录取分数(结果保留为整数)；
(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由．
参考资料：(1)当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1)．(2)当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85.
[听课记录]
类题通法
解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内取值的概率．在此过程中会用到归纳思想和数形结合思想．
[巩固训练4]　为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件数，求P(X≥1)及X的均值．
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.04，10.26，9.91，10.13，10.02，9.22，10.04，10.05，9.95.
经计算得＝9.97，s≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用样本平均数作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除[μ^－3σ^，μ^＋3σ^]之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3，0.997 316≈0.957 7，≈0.09.
第七节　二项分布、超几何分布、正态分布
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)伯努利试验　(2)X～B(n，p)　(3)p　p(1－p)　np　np(1－p)
3．(2)②1　③x＝μ　(3)X～N(μ，σ2)　0.682 7　0.954 5　0.997 3
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.√　4.√
5．解析：因为X～B，所以由二项分布可得，P(X＝3)＝＝.故选A.
答案：A
6．解析：∵P(X>5)＝P(X<－1)，
∴μ＝＝2.∴P(2答案：0.3
7．解析：由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为.故选B.
答案：B
8．解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于直线x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X答案：
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)由数据可知，在抽调的5 000名市民中，有400＋800＋1 200＋414＋99＋87＝3 000名，由频率估计概率，所以从抽调的5 000名市民中随机选取一名市民，该市民赞成“楼市限购令”的概率为P＝＝；
(2)由(1)知，市民赞成“楼市限购令”的概率为P＝，记赞成“楼市限购令”的人数为X，则X～B，则X的可能取值为0，1，2，
那么P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
则E(X)＝0×＋1×＋2×＝；
(3)由题意得：因为X1～B，X2～B，E(X1)＝E(X2)．
巩固训练1　解析：(1)设Ai表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有i人”，i＝0，1，2，Bj表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，j＝0，1，2，依题意有P(A1)＝2×＝，P(A2)＝＝，P(B0)＝＝，P(B1)＝2×＝，故一个试用组为“甲类组”的概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝＝；
(2)η的可能取值为0，1，2，3，
且η～B，则P(η＝0)＝＝，
P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝＝，
P(η＝3)＝＝，故η的分布列为
η 0 1 2 3
P
E(η)＝.
例2　解析：(1)由已知数据可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为＝，故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3 000×＝2 000(人)；
(2)由题意可得ξ的可能取值为0，1，2，3，4.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
巩固训练2　解析：(1)设事件A为“从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生完成套卷数之和为4”，由题意可知P(A)＝＝；
(2)完成套卷数不少于4的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4.由题意可得P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝＝；P(X＝2)＝＝＝；P(X＝3)＝＝＝；P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
例3　解析：(1)因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，由对称性可知，P(X<1)＝P(X>3)，又P(X<1)·P(X>3)＝，所以P(X<1)＝P(X>3)＝，故P(1(2)因为数学成绩服从正态分布X～N(90，a2)，所以其正态分布曲线关于直线x＝90对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的＝，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有×900＝180(人)．
答案：(1)A　(2)180
巩固训练3　解析：(1)因为随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，对称轴为X＝μ，又P(X>－1)＋P(x≥5)＝1，而P(X>－1)＋P(x≤－1)＝1，所以P(X≥5)＝P(X≤－1)，所以5和－1关于对称轴对称，则μ＝＝2，故选D.
解析：(2)可知正态曲线的对称轴为x＝80，得P(80<ξ<100)＝P(60<ξ<80)＝0.3，P(ξ>100)＝0.5－0.3＝0.2，应从100分以上的试卷中抽取100×0.2＝20.故选C.
答案：(1)D　(2)C
例4　解析：(1)设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，令Y＝，则Y～N(0，1)．由360分及以上高分考生30名可得P(X≥360)＝，即P(X<360)＝1－＝0.985，即有P＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得X～N(180，832)，设最低录取分数线为x0，则P(X≥x0)＝P＝，即有P＝1－＝0.85，即有＝1.04，可得x0＝266.32，即最低录取分数线为266；
(2)考生甲的成绩286>267，所以能被录取，P(X<286)＝P＝P(Y<1.28)≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1－0.90＝0.10，2 000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．
巩固训练4　解析：(1)抽取的一个零件的尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率约为0.997 3，从而零件的尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率约为0.002 7，故X～B(16，0.002 7)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 316≈0.042 3.E(X)≈16×0.002 7＝0.043 2.
解析：(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率只有0.002 7，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件的概率只有0.042 3，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在[－3，＋3]之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除[－3，＋3]之外的数据9.22，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.剔除[ －3 ，＋3]之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为[0.2122×16＋16×9.972－9.222－2×10.02×(16×9.97－9.22)＋10.022×15]≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09.

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