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第三节　二项式定理
课程标准 考情分析 核心素养
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 2020年新高考和2021年新高考都未考查二项式定理． 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝____________________________________，n∈N*.
(2)通项：________________________，它表示展开式的第k＋1项．
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．
【微点拨】
二项式系数(k＝0，1，2，…，n)是组合数，它与二项展开式中对应项的系数不一定相等，应注意区分二项式系数与项的系数这两个不同的概念．
项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是，而该项的系数是an－kbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．
2．二项式系数的性质
【微点拨】
利用赋值法可求．
已知(1＋x)n＝
＋…＝2n－1.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.(a＋b)n的展开式中的第k项是an－kbk.(　　)
2．在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项．(　　)
3．通项Tk＋1＝an－kbk中的a和b不能互换．(　　)
4．在(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　)
题组二　教材改编
5．在(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)
A．80　　　B．40　 C．20　　　D．10
6．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)
A．9　　　B．8 C．7　　　D．6
题组三　易错自纠
7．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为________．
8．(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________．(用数字作答)
题型突破·提高“四能”
题型一　二项展开式的通项公式及其应用
角度1 二项展开式中的特定项(或系数)
[例1]　(1)[2022·清华大学附中模拟]在()6的二项展开式中含x2项的系数为(　　)
A．　　B．－
C． D．－
(2)[2022·湖南师大附中模拟]设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为________．
(3)[2022·河南许昌模拟]二项式(ax2＋)5展开式中的常数项为15，则实数a＝________________________________________________________________________.
[听课记录]
类题通法
求二项展开式中特定项的步骤
[巩固训练1]　(1)[2022·安徽师大附中模拟]的展开式中常数项为(　　)
A．－15 B．－20
C．15 D．20
(2)已知(x－)5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________．
角度2 已知两个因式之积求其特定项(或系数)
[例2]　(1)[2022·山东菏泽模拟]已知正整数n≥7，若(1－x)n的展开式中不含x5的项，则n的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)[2022·福建厦门模拟](x－1)(x－)6展开式中的常数项为________(用数字作答)．
[听课记录]
类题通法
求两个因式之积的特定项(或系数)的两种常用方法
[巩固训练2]　(1)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是(　　)
A．－4 B．－3
C．3 D．4
(2)[2022·重庆七中模拟](2－x)(2x＋1)6的展开式中的x4系数为________．
角度3 已知三项式求其特定项(或系数)
[例3]　(1)[2022·河北沧州模拟](x2＋3x－1)5展开式中x的系数为(　　)
A．－3 B．3
C．－15 D．15
(2)()5的展开式中的常数项为________．
[听课记录]
类题通法
求三项展开式中某些特定项(或系数)的三种方法
[巩固训练3]　(1)[2022·湖北武汉模拟](x＋－1)4展开式中常数项为(　　)
A．11 B．－11
C．8 D．－7
(2)(1＋x＋)4的展开式中x2的系数为__________．
题型二　二项式系数与各项的系数和问题 　 　 　
[例4]　(1)(多选)[2022·湖北十堰模拟]在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　)
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
(2)若(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝(　　)
A．28－1 B．28
C．38－1 D．38
[听课记录]
类题通法
形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．
[巩固训练4]　(1)已知(2＋x)2 021＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a2 021(x＋1)2 021，则a1＋a2＋…＋a2 021＝(　　)
A．24 042＋1 B．22 021－1
C．22 021 D．22 021＋1
(2)[2022·广东广州五校联考]已知二项式的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为________．
题型三　二项式系数的性质
[例5]　(1)[2022·湖南雅礼中学模拟]若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________．
(2)的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中系数最大的项为________________________________________________________________________．
[听课记录]
类题通法
1.二项式系数最大项的确定方法
2．二项展开式系数最大项的求法
[巩固训练5]　(1)[2022·辽宁丹东模拟]在(x－1)n的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则n＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
(2)已知的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则展开式中系数最大的项为________________．
第三节　二项式定理
基础知识
1．(1)an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn　(2)Tk＋1＝an－kbk
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.√　4.×
5．解析：Tk＋1＝(2x)k＝2kxk，当k＝2时，x2的系数为·22＝40.故选B.
答案：B
6．解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.故选B.
答案：B
7．解析：的展开式中第3项的二项式系数为，
＝15，解得n＝6，∴＝，
令x＝1，得到展开式中所有项系数之和为＝.
答案：
8．解析：(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项是T4＝·(2x)3·(－1)3＝－160x3.
∴系数为－160.
答案：－160
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)的二项展开式的通项公式为Tk＋1＝·＝·，
令12－k＝2，解得k＝4，则含x2项的系数为＝.故选C.
(2)∵(x＋i)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝x6－kik，k＝0，1，2，…6，
∴令6－k＝4，则k＝2，此时T3＝x4i2＝－15x4，即含x4的项为－15x4.
(3)由二项式知：Tk＋1＝(ax2)5－k＝，
∴当k＝4时，常数项为T5＝＝15，得a＝3.
答案：(1)C　(2)－15x4　(3)3
巩固训练1　解析：(1)根据题意，的展开式的通项公式Tk＋1＝x6－k＝x6－2k，
令6－2k＝0，解得k＝3，所以常数项为T3＋1＝＝－20.故选B.
(2)的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k·＝.由5－k＝5，得k＝0，由5－k＝2，得k＝2，所以A＝×(－a)0＝1，B＝×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
答案：(1)B　(2)±1
例2　解析：(1)(1－x)n的二项展开式中第k＋1项为Tk＋1＝(－1)kxk，
又因为(1－x)n＝x(1－x)n－(1－x)n的展开式不含x5的项，
所以(－1)6x6＝x5＝0，即＝，所以n＝10.故选D.
解析：(2)依题意，因式x－1中的常数项－1与的常数项相乘时得到展开式的常数项．而展开式的通项公式为Tk＋1＝x6－k＝，(k＝0，1，2，…，6)，令6－k＝0得k＝4，此时的常数项为(－2)4＝240，故(x－1)展开式中的常数项为－1×240＝－240.
答案：(1)D　(2)－240
巩固训练2　解析：(1)方法1　(1－)6的展开式的通项为·(－)m＝，(1＋)4的展开式的通项为·()n＝.令＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于＝－3.
方法2　(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为×(－1)1×1＝－3.故选B.
(2)因为(2x＋1)6的展开式的通项公式为(2x)6－k·1k＝26－kx6－k，因此(2－x)(2x＋1)6的展开式中的x4系数×24＝320.
答案：(1)B　(2)320
例3　解析：(1)∵(x2＋3x－1)5＝[(3x－1)＋x2]5＝(3x－1)4·x2＋…＋(x2)5，含x的项只存在于(3x－1)5中，∴x的系数为(－1)4×3＝15.故选D.
(2)原式＝＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.求原展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即·()5.所以所求的常数项为＝.
答案：(1)D　(2)
巩固训练3　解析：(1)将x＋看成一个整体，展开得到：Tk＋1＝(－1)k，：Tm＋1＝
×(－1)4＝1，当m＝1时，k＝1系数为：×(－1)1＝－12，常数项为1－12＝－11.故选B.
解析：(2)由于x2＝x2·()0，x2＝x·()2，x2＝x0·()4，据此结合排列、组合的性质可得x2的系数为＝6＋12＋1＝19.
答案：(1)B　(2)19
例4　解析：(1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A、B正确；展开式的通项为Tk＋1＝·(3x)6－k·＝·(－1)k36－k·，令6－k＝0，得k＝4，因此，展开式中的常数项为T5＝·(－1)4·32＝135.故D正确．故选ABD.
解析：(2)由题可知，x的奇数次幂的系数均为负数，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8.因为(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38.故选D.
答案：(1)ABD　(2)D
巩固训练4　解析：(1)令x＝－1，得a0＝1，令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝22 021，所以a1＋a2＋…＋a2 021＝22 021－1.故选B.
(2)因为展开式的二项式系数和为64，所以2n＝64，∴n＝6.所以Tk＋1＝(2x)6－k＝，当k＝0时，T1＝26x9＝64x9；当k＝6时，T7＝20x－2＝x－2；所以展开式中的有理项系数和为64＋1＝65.
答案：(1)B　(2)65
例5　解析：(1)Tk＋1＝)n－k＝，由题意，此不等式组只有一解，因此n＝＝)．＝0，k＝2，所以常数项为＝180.
(2)由题得(1＋a)5＝－1，∴a＝－2.的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k＝·(－2)kx5－2k，所以当k＝4时，其项的系数最大，且为(－2)4x－3＝80x－3.
答案：(1)180　(2)80x－3
巩固训练5　解析：(1)因为在(x－1)n的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，所以＋1＝4，解得n＝6，故选B.
(2)令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，所以22n－2n＝992，n＝5.设展开式中第k＋1项系数最大，则Tk＋1＝(3x2)k＝.所以解得≤k≤.所以k＝4，即展开式中第5项的系数最大，T5＝.
答案：(1)B　

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