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第二节　排列与组合
课程标准 考情分析 核心素养
1.理解排列、组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 2020年新高考第3题考查了组合计数和乘法原理； 2021年新高考(Ⅰ)卷和(Ⅱ)卷都未考查排列和组合． 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照________排成一列
组合 作为一组
【微点拨】
定义中规定m≤n，如果m2．排列数与组合数
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数
公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ＝＝______________________________________________________________________
性质 ＝____，0！＝____ ＝ ， + ＝
【微点拨】
排列数与组合数的两种形式：连乘积形式；阶乘形式
前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．
[常用结论]
1．＝(n-m+1) .
2．＝n.
3．(n＋1)！－n！＝n·n！.
4．k ＝n .
5．＝＝ ＝ .
6． ＝ · .
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
2．两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
3．若组合式 ＝ ，则x＝m成立．(　　)
4．(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　)
题组二　教材改编
5． + ＝(　　)
A．35　　B．47
C．45 D．57
6．若甲、乙、丙、丁四人排队照相，则甲、乙两人必须相邻的不同排法数是(　　)
A．6 B．12
C．18 D．24
题组三　易错自纠
7．8名学生站成两排，前排3人，后排5人，则不同站法的种数为(　　)
A. B. +
C. + D．
8．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　排列问题　　
[例1]　(1)[2022·广东实验中学模拟]某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有(　　)
A．18种　B．36种 C．60种　D．72种
(2)某校高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(　　)
A．1 800　B．3 600 C．4 320　D．5 040
(3)[2022·天津耀华中学模拟]三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有________种．
[听课记录]
类题通法
求解排列问题的四种常用方法
[巩固训练1]　(1)[2022·安徽合肥模拟]有8位学生春游，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名．现将他们排成一列，要求2名小学生相邻、3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有(　　)
A．288种 B．144种
C．72种 D．36种
(2)某高中元旦晚会有一节目是现代舞，选了5位男生和4位女生参加，舞蹈老师在排练前，让他们男女间隔排列，则排列的方式有________种．
题型二　组合问题
[例2]　男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
[听课记录]
类题通法
组合问题的两类题型
[巩固训练2]　(1)某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1＋2”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去两所共建学校交流学习．若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则共有选派方法(　　)
A．160种 B．80种
C．40种 D．20种
(2)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
题型三　分组、分配问题
角度1 不等分问题
[例3]　[2020·新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
[听课记录]
类题通法
对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题．
[巩固训练3]　若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
角度2 整体均分问题
[例4]　国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
[听课记录]
类题通法
对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的阶乘．
[巩固训练4]　将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
角度3 部分均分问题
[例5]　[2022·河北辛集中学模拟]有5名同学考虑报书法、围棋、绘画3个暑假兴趣班，如果每人只能报1个兴趣班，每个兴趣班都有同学报名，可能的报名结果共有________种．(用数字作答)
[听课记录]
类题通法
对于部分均分，即若有m组元素个数相同，则分组时应除以m！.
[巩固训练5]　[2022·山东日照模拟]某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村必须有1名干部，每个干部至多去3个村，则不同的选派方案共(　　)
A．243种 B．210种
C．150种 D．125种
16排列、组合问题的解题策略
策略一　特殊元素与特殊位置优先策略
[典例1]　[2022·北京丰台模拟]若从0，2，4中任取2个数字，从1，3中任取1个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为(　　)
A．18　　B．24
C．28 D．32
【解析】　根据题意，分2种情况讨论：
①从0，2，4中任取2个数字中不含0，其取法有1种，从1，3中任取1个数字，其取法有2种，将选出的3个数字全排列，组成三位数，有种情况，此时有2×6＝12个没有重复数字的三位数从0，2，4中任取2个数字中含有0，其取法有2种，从1，3中任取1个数字，其取法有2种，用选出的3个数字组成三位数＝4种情况，此时有2×2×4＝16个没有重复数字的三位数，故有12＋16＝28 个符合题意的三位数．故选C.
【答案】　C
类题通法
策略二　相邻元素捆绑策略
[典例2]　[2022·河北正定中学月考]张老师、孙老师与三位学生共五人在清华大学数学系楼前排成一排照相，两位老师相邻且都不在两端的排法数是(　　)
A．12 B．24
C．36 D．48
【解析】　把2位老师捆绑在一起看作一个元素，剩下3位同学全排列，有
＝24种．故选B.
【答案】　B
类题通法
策略三　不相邻问题插空策略
[典例3]　某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本．现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数为(　　)
A．12 B．24
C．48 D．720
【解析】　先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有种不同的排
法，再排2本语文书，有种不同的排法，最后排2本英语书，有种不同的排法．根据分步乘法计数原理，得共有＝48种不同的排法．故选C.
【答案】　C
类题通法
策略四　定序问题倍缩、空位插入策略
[典例4]　7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有________种不同的排法．
【解析】　方法一　共有＝840种不同的排法．
方法二　设想有7把椅子让除甲、乙、丙以外的4人坐，共有种坐法，其余的三个位置给甲、乙、丙坐，有1种坐法，则坐法种数为＝840.故共有840种不同的排法．
方法三　先让甲、乙、丙排队，有1种排法，再把其余4人分别插入，不同排法的种数为4×5×6×7＝840.故共有840种不同的排法．
【答案】　840
类题通法
策略五　分排问题直排策略
[典例5]　有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是(　　)
A．234 B．346
C．350 D．363
【解析】　方法一　一共可坐的位子有20个，2个人坐的方法数为还需排除两左右相邻的情况．把可坐的20个座位排成连续一行，将其中两个相邻座位看成一个整体，
则相邻的坐法有还应再加上所以不同坐法的种数为
方法二　因为前排中间的3个座位不能坐，实际上可坐的位置是前排8个，后排12个，分成以下3种情况：①甲、乙2人一个前排，一个后排，有排法；②两人均在后排，共种排法，还需排除甲、乙2人相邻的情况，即种排法故有甲、乙均在前排，又分两类：第一类，甲乙2人一左一右，有种排法)种排法．综上不同排法种类有 + - + )＝346.故选B.
【答案】　B
类题通法
策略六　元素相同问题隔板策略
[典例6]　将十个相同的小球装入编号为1、2、3的三个盒子(每次要把十个球装完)中，要求每个盒子里的个数不少于盒子的编号数，则这样的装法种数为(　　)
A．9 B．12
C．15 D．18
【解析】　根据题意，先在编号为2、3的三个盒子中分别放入1、2个小球，编号为1的盒子里不放；再将剩下的7个小球放入3个盒子里，每个盒子里至少一个，分析可得，7个小球排好，有6个空位，在6个空位中任选2个，插入挡板，共＝15种放法，即可得符合题目要求的放法共15种．故选C.
【答案】　C
类题通法
第二节　排列与组合
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．一定的顺序
2．不同排列　不同组合　　n！　1
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.√
5．解析：＝＝12＋35＝47.故选B.
答案：B
6．解析：由题可知，甲、乙两人必须相邻，使用捆绑法，看作一个整体，则所求的不同排法数为＝12.故选B.
答案：B
7．解析：8名学生站成两排，前排3人，后排5人，等价于8人去站已排好的8个位置，无任何条件限制，所以不同站法的种数为.故选D.
答案：D
8．解析：分以下2种情况：
(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有种不同的选法．
(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有
＝18＋12＝30(种)．
答案：30
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)因为A在B的前面出场，且A，B都不在3号位置，则情况如下：①A在1号位置，B有2、4、5三种位置选择，有＝18种次序；②A在2号位置，B有4，5号两种选择，有种次序；③A在4号位置，B有5号一种选择，有＝6种；故共有18＋12＋6＝36种．故选B.
(2)先排除舞蹈节目以外的5个节目，共种排法，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有种排法，所以共有＝3 600(种)排法．故选B.
解析：(3)先将甲乙捆绑再与另一男生排列有4种站法，三名女生任选两名捆绑，再与另一女生插入男生的3个空位中有＝36种站法，所以不同的站法有4×36＝144种站法．
答案：(1)B　(2)B　(3)144
巩固训练1　解析：(1)第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中
第三步，排2名小学生有种不同排法，排3名初中生有种不同排法．根据分步乘法计数原理共有＝144种不同排法．故选B.
解析：(2)现将5名男生全排列，然后再将4名女生插入5名男生之间，则共有＝120×24＝2 880种排列方法．
答案：(1)B　(2)2 880
例2　解析：(1)分两步完成：第1步，选3名男运动员，有＝120(种)选派方法．
(2)方法一　直接法，“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得选派方法共有＝246(种)；
方法二　间接法，从10人中任选5人有种选派方法，其中全是男运动员的选派方法有所以“至少有1名女运动员”的选派方法有＝246(种)．
(3)方法一　直接法，可分类求解：“只有男队长”的选派方法种数为“只有女队长”的选派方法种数为“男、女队长都入选”的选派方法种数为所以共有＝196(种)选派方法；
方法二　间接法，从10人中任选5人有种选派方法，其中不选队长的选派方法有所以“至少有1名队长”的选派方法有＝196(种)．
(4)当有女队长时，其他人任意选，共有种选派方法；当不选女队长时，必选男队长，共有种选派方法，其中不含女运动员的选派方法有种，所以不选女队长时的选派方法共有)种．所以既要有队长又要有女运动员的选派方法共有＝191(种)．
巩固训练2　解析：(1)先给一所学校派3名教师和1名中层干部，则有种选派方法，剩余的3名教师和1名中层干部直接去另一所学校，只有1种方法，由分步乘法计数原理可知共有＝40(种)选派方法，故选C.
(2)方法一　直接法，1女2男，有12，2女1男，有＝4，根据分类计数原理可得，共有12＋4＝16种；
方法二　间接法种．
答案：(1)C　(2)16
例3　解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有
将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有种取法．根据分步乘法计数原理，共有60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法
答案：360
解析：先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有＝90种分配方法
解析：先选出3人，有种，再由剩下的6人中选出3人，有最后由剩下的3人为一组，有种．由分步乘法计数原理以及每中只能算一种不同的分组方法，可得不同的安排方案共有1 680.
＝10(种)不同分法；若按1，2，2分组，共有＝15(种)不同分法，所以共有10＋15＝25(种)不同分组方法，所以分配到3个兴趣班共有＝150(种)不同分配方案．
答案：150
巩固训练5　解析：3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村都需要1名干部，每个干部至多去3个村，于是可以把5个村分为(1，1，3)和(1，2，2)两组，当为(1，1，3)时，有＝60(种)；当为(1，2，2)时，有＝90(种)．根据分类加法计数原理可得不同的选派方案共60＋90＝150(种)．故选C.
答案：C

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