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第四节　随机事件与概率
课程标准 考情分析 核心素养
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 2．了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算． 3．理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 4．理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则． 5．会用频率估计概率． 2020年新高考第19题第(1)问考查了古典概型； 2021年新高考未单独考查该节内容，但在其它概率题中有所体现，如2021(Ⅰ)中的第18题． 数据分析 数学运算 逻辑推理
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.事件的分类
确定事件 必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能 事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件
基本事件 把只包含一个样本点的事件称为基本事件
2.频率与概率
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用____________________来估计概率________．
【微点拨】
理解频数与频率需注意：
①前提：对于给定的随机事件A，在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现．
②频数：指的是n次试验中事件A出现的次数nA.
频率：指的是事件A出现的比例fn(A)＝.
3．事件的关系与运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 ______
并事件(和事件) A与B至少一个发生 ____或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 ____或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A＝____
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A＝____， A＝____
【微点拨】
(1)当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
(2)定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生．
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：____________．
(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.
(3)不可能事件的概率P( )＝0.
(4)①如果事件A与事件B互斥，则P(A＝________________．
②如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________________．
③如果A B，那么P(A)≤P(B)．
④设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A＝P(A)＋P(B)－P(A
古典概型
(1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①有限性：样本空间的样本点只有________；
②等可能性：每个样本点发生的可能性________．
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
2．两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生．(　　)
3．若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(　　)
4．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)
题组二　教材改编
5．从一批羽毛球中任取一个，其质量小于4.8克的概率为0.3，质量不小于4.85克的概率为0.32，则质量在[4.8，4.85)(单位：克)范围内的概率为(　　)
A．0.62　　B．0.38
C．0.7 D．0.68
6．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为(　　)
A． B．
C． D．
题组三　易错自纠
7．对于概率是1‰(千分之一)的事件，下列说法正确的是(　　)
A．概率太小，不可能发生
B．1 000次中一定发生1次
C．1 000人中，999人说不发生，1人说发生
D．1 000次中有可能发生1 000次
8．袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黑球，现随机从中不放回地依次摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为________．
题型突破·提高“四能”
角度1 随机事件之间关系的判断
题型一　随机事件
[例1]　(1)(多选)[2022·山东枣庄模拟]一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则(　　)
A．R1 R B．R＝
C．R＝M D．M＝
(2)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是(　　)
A．A与C是互斥事件，也是对立事件
B．B与D是互斥事件，也是对立事件
C．A与B是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B是互斥事件，也是对立事件
[听课记录]
类题通法
判断互斥事件、对立事件的两种方法
[巩固训练1]　从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是(　　)
A．至少有一名男同学与都是男同学
B．至少有一名男同学与都是女同学
C．恰有一名男同学与恰有两名男同学
D．至少有一名男同学与至少有一名女同学
角度2 随机事件的频率与概率
[例2]　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[听课记录]
类题通法
计算简单随机事件的频率或概率的解题步骤
[巩固训练2]　某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：
贫困地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率
发达地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率
(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；
(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
角度3 互斥事件与对立事件的概率
[例3]　经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
[听课记录]
类题通法
求复杂互斥事件概率的两种方法
[巩固训练3]　(1)[2022·河南洛阳模拟]人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；③X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者)．已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为(　　)
A．0.27 B．0.31
C．0.42 D．0.69
(2)某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为________．
题型二　古典概型
[例4]　(1)[2022·湖南常德一中月考]从只读过《论语》的3名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是(　　)
A． B．
C． D．
[听课记录]
类题通法
古典概型中样本点个数的探求方法
[巩固训练4]　(1)[2022·河北唐山模拟]在0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的两位整数中任取一个，则取到的整数十位上数字比个位上数字大的概率是(　　)
A． B．
C． D．
(2)[2022·湖南雅礼中学模拟]老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为(　　)
A． B．
C． D．
题型三　古典概型与统计的综合应用
[例5]　[2022·河北衡水第一中学月考]“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行．成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识．为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计这300名业主评分的中位数；
(2)若先用分层抽样的方法从评分在[90，95)和[95，100]的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在[95，100]的概率．
[听课记录]
类题通法
古典概型与统计综合的题型，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，此类问题即可解决．
[巩固训练5]　为研究患肺癌与吸烟是否有关，某机构做了一次相关调查，制成如下图的2×2列联表，其中数据丢失，但可以确定的是不吸烟人数与吸烟人数相同，吸烟患肺癌人数占吸烟总人数的；不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的比为1∶4.
是否吸烟 患肺癌 不患肺癌 合计
吸烟
不吸烟
总计
(1)若吸烟不患肺癌的有4人，现从患肺癌的人中用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率；
(2)零假设为H0：患肺癌与吸烟无关联．若依据α＝0.001的独立性检验，认为患肺癌与吸烟有关联，则吸烟的人数至少有多少？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
第四节　随机事件与概率
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
2．频率fn(A)　P(A)
3．A B　A　A　 　 　Ω
4．0≤P(A)≤1　P(A)＋P(B)　1－P(B)
5．(1)①有限个　②相等　(2)＝
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.√
5．解析：由互斥事件的概率计算公式可得质量在[4.8，4.85)(单位：克)范围内的概率为P＝1－0.3－0.32＝0.38.故选B.
答案：B
6．解析：一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)，(反，反)，(正，反)，(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故概率P＝＝.故选D.
答案：D
7．解析：概率是1‰说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小．故选D.
答案：D
8．解析：因为三个小球的大小质地完全相同，所以从袋中不放回的依次摸出2个球，所包含的总的情况有：第一次红球第二次黑球，第一次黑球第二次红球，第一次和第二次都是黑球，共3种情况；满足第二次摸到红球的只有一种，故所求的概率为P＝.
答案：
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3)，R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，R＝{(1，2)，(2，1)}，G＝{(3，4)，(4，3)}，M＝{(3，4)，(4，3)，(1，2)，(2，1)}，N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}，由集合的包含关系可知BCD正确．
解析：(2)由于A，B，C，D彼此互斥，且A是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.
答案：(1)BCD　(2)D
巩固训练1　解析：从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，
在A中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故错误；
在B中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故错误；
在C中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的事件，故正确；
在D中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故错误．故选C.
答案：C
例2　解析：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
解析：(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a(元)．因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
巩固训练2　解析：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.
(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.
例3　解析： 记“0人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A所以P(G)＝P(A＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一　记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D所以P(H)＝P(D＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
方法二　记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
巩固训练3　解析：(1)当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为：P＝24%＋7%＝31%＝0.31.故选B.
解析：(2)4人到3个车站的方法总数为＝36，其中小李和小明在同一车站的方法数为＝6.因此小李和小明在同一车站的概率是P′＝＝，小李和小明不在同一车站的概率为P＝1－P′＝.
答案：(1)B　(2)
例4　解析：(1)将只读过《论语》的3名同学分别记为x，y，z，只读过《红楼梦》的3名同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都读过《红楼梦》”为事件A，则从6名同学中任选2人的所有可能情况有(x，y)，(x，z)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，z)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(z，a)，(z，b)，(z，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)共15种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)共3种，故P(A)＝＝.故选A.
(2)在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，样本点总数n＝“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的样本点个数＝36，所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率P＝＝＝.故选D.
答案：(1)A　(2)D
巩固训练4　解析：(1)在0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的两位整数中任取一个，基本事件总数n＝5×5＝25，取到的整数十位上数字比个位上数字大包含的基本事件有：m＝5＋4＋3＋2＋1＝15，则取到的整数十位上数字比个位上数字大的概率是P＝＝＝，故选B.
解析：(2)若该同学能及格，只需抽取的3篇文章里至少有2篇是会背诵的，所以，抽取的3篇里有2篇会背诵的概率为＝，抽取的3篇里有3篇会背诵的概率为＝，故该同学能及格的概率为＝.故选D.
答案：(1)B　(2)D
例5　解析：(1)∵第三组的频率为1－(0.020＋0.025＋0.030＋0.035＋0.050)×5＝0.200，∴a＝＝0.040，又第一组的频率为0.025×5＝0.125，第二组的频率为0.035×5＝0.175，第三组的频率为0.200.∴前三组的频率之和为0.125＋0.175＋0.200＝0.500，∴这300名业主评分的中位数为85.
(2)由频率分布直方图，知评分在[90，95)的人数与评分在[95，100]的人数的比值为3∶2.∴采用分层抽样法抽取5人，评分在[90，95)的有3人，评分在[95，100]的有2人．
不妨设评分在[90，95)的3人分别为A1，A2，A3；评分在[95，100]的2人分别为B1，B2，则从5人中任选2人的所有可能情况有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}共10种．其中选取的2人中至少有1人的评分在[95，100]的情况有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}共7种．故这2人中至少有1人的评分在[95，100]的概率为P＝.
巩固训练5　解析：(1)设吸烟人数为x，依题意有x＝4，所以吸烟的人有20人，故有吸烟患肺癌的有16人，不患肺癌的有4人．用分层随机抽样的方法抽取5人，则应抽取吸烟患肺癌的4人，记为a，b，c，d.不吸烟患肺癌的1人，记为A.从5人中随机抽取2人，所有可能的结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(b，c)，(b，d)，(a，b)，(c，d)，(c，A)，(d，A)，共10种，则这两人都是吸烟患肺癌的情形共有6种，因此所求概率为＝，即这两人都是吸烟患肺癌的概率为.
解析：(2)设吸烟人数为5x，由题意可得列联表如下：
是否吸烟 患肺癌 不患肺癌 合计
吸烟 4x x 5x
不吸烟 x 4x 5x
总计 5x 5x 10x
由表得χ2＝＝3.6x，由题意知3.6x≥10.828，∴x≥3.008，∵x为整数，∴x的最小值为4.则5x＝20，即吸烟人数至少为20.

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