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第五节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解两个随机事件独立性的含义，利用独立性计算概率． 2．了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 3．了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率． 2020年新高考未考查事件的相互独立性和条件概率； 2021年新高考(Ⅰ)中第8题考查了相互独立事件的判断，第18题中也有考查． 数学建模 数据分析 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.事件的相互独立性
事件A与事件B 相互独立 对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝____________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
性质 若事件A与事件B相互独立，则A与与B，与也都相互独立．
【微点拨】
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
2．条件概率
条件概率 的定义 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率
条件概率 的性质 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B＝________________； (3)设与B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)
【微点拨】
P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率．另外从计算公式上看：P(B|A)＝，而P(A|B)＝.
3．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B Ω，有______________．我们称这个公式为全概率公式．
【微点拨】
求复杂事件的概率时，可以按照某种标准，将一个复杂事件表示为两两互斥事件的并，就可以使用全概率公式将样本空间按照某种方式进行分割，使原本复杂的事件转化为两个或若干个简单事件，再使用条件概率和乘法公式对每个简单事件进行计算，最后使用加法公式将所有结果进行相加，就可以准确便捷地得到结果．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.相互独立事件就是互斥事件．(　　)
2．对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　)
3．P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　　)
4．若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　)
题组二　教材改编
5．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是(　　)
A．0.26　　B．0.08
C．0.18 D．0.72
6．根据历年气象统计资料，某地三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为(　　)
A． B．
C． D．
题组三　易错自纠
7．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则两人合作译出密码的概率为(　　)
A． B．
C． D．
8．甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　相互独立事件的概率
[例1]　某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各个家庭回答是否正确互不影响．
求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率．
[听课记录]
类题通法
求相互独立事件同时发生的概率的方法
[巩固训练1]　甲、乙、丙分别对一个目标射击，甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是，现在三人同时射击目标．
(1)求目标被击中的概率；
(2)求三人中至多有1人击中目标的概率．
题型二　条件概率
[例2]　(1)在某电视台有一闯关节目，该节目设置有两关，闯关规则是：当第一关闯关成功后，方可进入第二关．为了调查闯关的难度，该电视台调查了参加过此节目的100名选手的闯关情况，第一关闯关成功的有80人，第一关闯关成功且第二关闯关也成功的选手有72人，以闯关成功的频率近似作为闯关成功的概率，已知某个选手第一关闯关成功，则该选手第二关闯关成功的概率为(　　)
A．0.72 B．0.8
C．0.9 D．0.576
(2)[2022·湖北恩施模拟]小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(B|A)＝(　　)
A． B．
C． D．
[听课记录]
类题通法
求条件概率的常用方法
[巩固训练2]　(1)[2022·广东广州模拟]2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲同学答对第一道题”，事件B表示“甲同学答对第二道题”，则P(B|A)＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则P(B|A)＝________．
题型三　全概率公式的应用
[例3]　甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
[听课记录]
类题通法
利用全概率公式求解概率的步骤
[巩固训练3]　有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
第五节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．P(A)·P(B)
2.　P(B|A)＋P(C|A)
3．P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.√　4.√
5．解析：由题设，甲、乙两批种子不发芽率分别为0.2和0.1，∴两批种子中各取一粒恰有一粒种子能发芽的概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.故选A.
答案：A
6．解析：设事件A表示某地三月份吹东风，事件B表示三月份下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)＝＝.
答案：
7．解析：由题意，两人合作译出密码的概率P＝＝.故选D.
答案：D
8．解析：设第一个路口遇到红灯为事件A，第二个路口遇到红灯为事件B，则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.3，所以P(B|A)＝＝＝0.6，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为0.6.
答案：0.6
题型突破　提高“四能”
例1　解析： 记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，且有即所以P(B)＝，P(C)＝.
巩固训练1　解析：(1)由题意，甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，可得目标不被击中的概率为＝，所以由对立事件的概率公式，可得目标被击中的概率为1－＝.
解析：(2)由题意，可分为两类：
①三人都未击中，其概率为＝；
②三人中恰有1人击中，其概率为
＝，所以三人中至多有1人击中目标的概率为＝.
例2　解析：(1)第一关闯关成功的选手有80人，则第一关闯关成功的频率为0.8，第一关闯关成功且第二关闯关也成功的选手有72人，则两关都成功的频率为0.72.设“第一关闯关成功”为事件A，“第二关闯关成功”为事件B，P(A)＝0.8，P(AB)＝0.72，某个选手第一关闯关成功，则该选手第二关闯关成功的概率为P(B|A)＝＝0.9.故选C.
解析：(2)设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则n(A)＝44－4，n(AB)＝4×33，则P(B|A)＝＝＝.故选A.
答案：(1)C　(2)A
巩固训练2　解析：(1)∵P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝＝.故选D.
(2)由题意得
n(A)＝＝43，n(AB)＝＝15，∴P(B|A)＝＝.
答案：(1)D　(2)
例3　解析：(1)从甲箱中任取2个产品的样本点的个数为＝＝28，这2个产品都是次品的样本点的个数为＝3.
∴这2个产品都是次品的概率为.
解析：(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝＝.
巩固训练3　解析：设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3.
B1＝S，
由全概率公式得
P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)．
P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.

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